1．已知，則＝（ ）
A．B．C．D．
2．若，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，，則△ABC的形狀一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
4．已知向量 ， .那么“”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
5．已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
6．已，且則等于（ ）
A．B．C．D．
7．若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，直線AE，CD交于點(diǎn)P，且滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9．下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．在中，，，，若，則為銳角三角形
B．非零向量和滿足，，則
C．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．在中，若，則與的面積之比為
10．已知函數(shù),則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
C．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是；
D．若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，則．
11．直角中，斜邊，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，（其中），則（ ）
A．的取值范圍是
B．點(diǎn)經(jīng)過(guò)的外心
C．點(diǎn)所在軌跡的長(zhǎng)度為2
D．的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若，，，，則 .
13．設(shè)是單位向量，且，則的最小值為 ．
14．笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量，在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為，，當(dāng) 時(shí)，.
四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15．已知
（1）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直
（2）若，且三點(diǎn)共線，求的值．
16．已知向量 和 ，則 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 與 的夾角θ的余弦值．
17．如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，G為BE與DF的交點(diǎn)．若，．
（1）試以，為基底表示，；
（2）求證：A，G，C三點(diǎn)共線．
18．已知函數(shù)．
（Ⅰ）化簡(jiǎn)的表達(dá)式并求函數(shù)的周期；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在時(shí)取得最大值，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；
（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；
（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
1．A
【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合正弦函數(shù)的和角公式可得答案.
【詳解】由題意
故選：A
2．A
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的求解公式可求.
【詳解】設(shè)，因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.
所以，即.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3．A
【分析】注意到，根據(jù)已知等式，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則和線性運(yùn)算法則可得到，進(jìn)而得到結(jié)論.
【詳解】




∴BA⊥AC,
∴△ABC為直角三角形，
故選：
4．A
【分析】先由向量平行求出,再討論充要性．
【詳解】向量， ， ，則解之得,
則“”是“”的充分而不必要條件.
即向量 ,.那么“”是“ ”的充分而不必要條件.
故選：A．
5．A
【分析】利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示及向量的模公式，再利用投影向量的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，
所以在上的投影向量是.
故選：．
6．D
【分析】平方求出，進(jìn)而求出，將所求的式子分子用二倍角公式化簡(jiǎn)，分母用兩角和余弦公式展開，即可求解.
【詳解】平方得，
，
.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)求值問(wèn)題，涉及到同角間的三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換的應(yīng)用，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
7．A
【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】解：將函數(shù)
的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，
可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
8．C
【分析】令，，令，，利用平面向量基本定理確定點(diǎn)的位置即可求解作答.
【詳解】如圖，令，，
于是，
而，并且不共線，因此，解得，
令，，
則，
從而，解得，因此點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
所以，所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．
9．BD
【分析】利用向量的數(shù)量積的定義得到角C為鈍角，從而否定A；利用向量的和、差的模的平方的關(guān)系求得，進(jìn)而判定B；注意到與同向的情況，可以否定C；延長(zhǎng)交于,∵共線，利用平面向量的線性運(yùn)算和三點(diǎn)共線的條件得到,進(jìn)而，然后得到，利用分比定理得到，從而判定D.
【詳解】即,∴,∴為鈍角，故A錯(cuò)誤；
，，
，，故B正確；
，當(dāng)時(shí)，與同向，夾角不是銳角，故C錯(cuò)誤；
∵，∴，
延長(zhǎng)交于,如圖所示.

∵共線，∴存在實(shí)數(shù)，，
∵共線，∴,∴,
∴，∴，∴.
∴，∴，故D正確.
故選：BD.
10．ACD
【分析】根據(jù)輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系變形為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】由，得.
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B不正確；
對(duì)于C，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到
所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以,解得，
當(dāng)時(shí)，m的最小值是，故C正確；
對(duì)于D，如圖所示，
實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，
則必有，或，此時(shí)，另一解為.
所以，故D正確.
故選：ACD.
11．ABD
【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有，結(jié)合已知即可判斷A；若為中點(diǎn)，根據(jù)已知有共線，即可判斷B、C；利用向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合基本不等式求范圍判斷D.
【詳解】由，又斜邊，則，則，A正確；
若為中點(diǎn)，則，故，又，
所以共線，故在線段上，軌跡長(zhǎng)為1，又是的外心，B正確，C錯(cuò)誤；
由上，則，
又，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
所以，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若為中點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，及向量線性運(yùn)算的幾何意義、數(shù)量積的幾何意義和運(yùn)算律判斷軌跡，求、.
12．
【解析】由于，利用兩角和差公式可求出的值.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
同理可得：，
故
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和差公式的知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是整體思想的意識(shí)，還要關(guān)注角的范圍的確定.
13．
【分析】設(shè)與的夾角為，根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算將化為關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.
【詳解】，且均為單位向量，
∴，
||=1，,
∴.
設(shè)與的夾角為θ，
則.
故的最小值為
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)斜角坐標(biāo)定義寫出向量（用兩個(gè)已知單位向量表示），然后由向量數(shù)量積計(jì)算可得．
【詳解】由已知，，，
，
解得：．
故答案為：．
15．（1）；（2）．
【分析】（1）與垂直，即與的數(shù)量積為，利用坐標(biāo)計(jì)算可得值；
（2）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，利用平面向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算可得的值．
【詳解】解：（1），
因?yàn)榇怪保裕?br>即，得.
（2）
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以．
所以，即，所以.
16．(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求解；
（3）根據(jù)平面向量的夾角公式即可求解．
【詳解】（1）∵ ,, .
∴ ；
（2）∵,
∴ ；
（3）∵,
∴
17．（1），；（2）證明見解析.
【解析】（1）根據(jù)向量的加法，減法以及數(shù)乘運(yùn)算，即可求出；
（2）以，為基底，利用向量共線定理，兩種方式表示出向量，由平面向量基本定理，解方程可求出，而，根據(jù)共線定理即可證出．
【詳解】（1），．
（2）因?yàn)镈，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則，，
即．
因?yàn)锽，G，E三點(diǎn)共線，則，
即，
由平面向量基本定理知，解得，
所以，
所以A，G，C三點(diǎn)共線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理和向量共線定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．(Ⅰ) ;（Ⅱ）;（Ⅲ） .
【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的周期公式可得函數(shù)的周期；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由可得的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，利用伸縮變換法則得到函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】(Ⅰ)
,
∴的周期為;
（Ⅱ）函數(shù)在時(shí)取得最大值,
∴,∴，
∴，
又∵；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,則將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大
到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，
由,解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
19．（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn).
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則求出的解析式，設(shè)，根據(jù)條件列出方程式求出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)即可.
【詳解】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函數(shù)為，
，.
，，.
.
（3）由為的相伴特征向量知：
.
所以.
設(shè)，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，這時(shí)式成立.
在圖像上存在點(diǎn)，使得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練使用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換是本題的關(guān)鍵.本題還考查了三角函數(shù)圖象變換后的解析式以及向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，屬于中檔題.

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