一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A.
2. 設(shè)全集，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?
所以，，
，，或，
.
故選：B.
3. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. 為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增
B. 為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】設(shè)冪函數(shù)為，
因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，
故，定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，所以為偶函數(shù)，
又因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故選：B.
4. 已知扇形的周長為，圓心角為，則扇形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)扇形半徑為，則，，所以.
故選：D.
5. 設(shè)a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（ ）
A. B.
C. D. 與的大小與的取值有關(guān)
【答案】A
【解析】由，且，即，
可得，即.
故選：A.
6. “函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，定義域?yàn)?，?br>令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充要條件是.
故選：C.
7. 將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線，再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫角€，最后將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的．若曲線恰好是函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線的圖象；
再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫角€的圖象；
最后將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的的圖象.
由于曲線恰好是函數(shù)的圖象.
在區(qū)間上，，，.
故在區(qū)間上的值域是.
故選：B.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，且在單調(diào)遞減，
所以的最小值為，
可得，且，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)榇嬖冢瑵M足，
則，
所以，
解得：.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．
9. 若函數(shù)（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】函數(shù)（其中且）的圖象在第一、三、四象限，
根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：，即.
故選：BD.
10. 下列不等式中，正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】對于A，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
所以，故B正確；
對于C，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
所以，故C正確；
對于D，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
所以，故D正確.
故選：BCD.
11. 若函數(shù)對于任意，都有，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中，具有性質(zhì)的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于任意，，
故函數(shù)圖像應(yīng)該是上凸的，此時(shí)，如圖所示：
或者函數(shù)圖像是一條直線，此時(shí)，
畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知：ACD滿足條件.
故選：ACD.
12. 已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，且）恰能滿足下列4個(gè)條件中的3個(gè)：
①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
則這3個(gè)條件的序號可以是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】AB
【解析】若①正確，則，解得；
若②正確，則，，，故；
若③正確，則，；
若④正確，則，；
對選項(xiàng)A：，取，，滿足條件，此時(shí)④不滿足，正確；
對選項(xiàng)B：，取，，滿足條件，此時(shí)③不滿足，正確；
對選項(xiàng)C：，，，不成立，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)D：相減得到，，則，，
此時(shí)，
整理的，，而，故不成立，錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】函數(shù)，則，
所以.
14. 已知為第二象限角，且滿足，則______．
【答案】
【解析】，則，即，
故，
為第二象限角，故，，，
解得，，故.
15. 已知在中，，若的內(nèi)接矩形的一邊在BC邊上，則該內(nèi)接矩形的面積的最大值為______．
【答案】150
【解析】如圖，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，交于點(diǎn)，
設(shè)矩形與，分別交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
且，，
由題意知，，所以，
又因?yàn)?，?br>所以，即，其中，
矩形面積，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值150.
16. 設(shè)分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則曲線與曲線在區(qū)間上的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為______．
【答案】4047
【解析】因?yàn)?，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù).
所以，.
所以，得到.
則，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù).
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易得為上的增函數(shù)，
又，則，，故，
所以的值域?yàn)?
則與曲線為周期為的函數(shù)在區(qū)間上的交點(diǎn)，
可以分為，兩部分進(jìn)行分析，
則當(dāng)時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，則一共由2024個(gè)交點(diǎn)，
則當(dāng)時(shí)，去掉在0處的交點(diǎn)，則一共有交點(diǎn)2023個(gè)交點(diǎn)，
所以兩個(gè)函數(shù)一共有交點(diǎn)4047個(gè)交點(diǎn).
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. （1）計(jì)算：；
（2）已知，計(jì)算的值并證明．
解：（1）
.
（2）因?yàn)?，所以，?br>，
因?yàn)?，?br>所以，且，
所以，即.
18. 設(shè)集合，集合，集合．
（1）求；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．
解：（1）因?yàn)椋遥?br>當(dāng)，原不等式等價(jià)于，解得或，
當(dāng)，原不等式等價(jià)于，無解，
所以，，
因?yàn)?，所?，即，
所以，
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，令，
又在上單調(diào)遞增，所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
19. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過第四象限內(nèi)的點(diǎn)，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因?yàn)榻堑氖歼厼閤軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過第四象限內(nèi)的點(diǎn)，
，所以，且，
解得.
（2）
，
因?yàn)?，所以?br>所以原式.
20 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值及取最值時(shí)的值；
（2）若的最小值為，求．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
令，，則，
的圖象對稱軸為，開口向上，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，最小值為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，最大值為，
所以在上的最小值為，此時(shí)，最大值為，此時(shí).
（2）因?yàn)?br>的最小值為，
所以，
且，所以，
又，所以.
21. 已知結(jié)論：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若對恒成立，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，反之亦然．特別地，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)為奇函數(shù)．設(shè)函數(shù)．
（1）判斷在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（2）計(jì)算的值，并根據(jù)結(jié)論寫出函數(shù)的圖象的對稱中心；
（3）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
解：（1）在上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)，則，
，則，
故，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（2），
則，
故函數(shù)的圖象的對稱中心為.
（3）設(shè)，故奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
，即，即，
則在上恒成立，即，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故，即的最大值為.
22. 已知．
（1）若為奇函數(shù)，求的值，并解方程；
（2）解關(guān)于的不等式．
解：（1）的定義域?yàn)镽，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，
解得，故，
又，即，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故.
又，即，
解得，即.
（2）因?yàn)椋?，
關(guān)于的不等式可轉(zhuǎn)化為
，
即，
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，，解得，
③當(dāng)時(shí)，或，
解得或，，
綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.

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