本試卷共19題 滿分：150分 考試時間：120分鐘
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知平面向量a=3,?4，則與a同向的單位向量為（ ）
A．1,0B．0,1C．35,?45D．?35,45
2．sinπ12的值是（ ）
A．6+24B．6?24C．?6+24D．?6?24
3．已知2sinπ?α=3sinπ2+α，則sin2α?12sin2α?cs2α=（ ）
A．513B．?113C．?513D．113
4．已知sinα?π6=34，則sin2α?5π6=（ ）
A．18B．?18C．78D．?78
5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=2 , A=π4 , sinB=33，則b=（ ）
A．233B．2C．3D．23
6．設點D,E,F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB的中點，則BE+CF=（ ）
A．DAB．12DAC．ADD．12BC
7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=13AD，BF=14BC，CE與DF交于點O.設AB=a，AD=b，若AO=λa+μb，則λ+μ=（ ）
817B．1917C．317D．1117
8．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°，AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點，則EA?EB的最小值為（ ）
A．2116B．32C．34D．2
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列關于向量的說法正確的是（ ）
A．若a//b，b//c，則a//c
B．若單位向量a，b夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量為csθb
C．若a?c=b?c且c≠0，則a=b
D．若非零向量a，b滿足a?b=ab，則a//b
10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知csBcsC=b2a?c，S△ABC=334，且b=3，則（ ）
A．csB=12B．csB=32
C．a(chǎn)+c=3D．a(chǎn)+c=23
11．在△ABC中，D，E為線段BC上的兩點，且BD=EC，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．AB?AC≥AD?AE
B．若AB2+AD2=AE2+AC2，則AB=AC
C．若BD=DE=12AD，∠BAC=π3，則∠ACB=π6
D．若BD=DE=1，∠BAD=∠EAC=π6，則△ABC的面積是334
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知向量a=(?1,x)(x∈R),b=(2,4)，且a∥b，則|a|= .
在△ABC中，AB=3，BC=2，M，N分別為BC，AM的中點，則AM?BN= .
14．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，M為AB的中點，b=2，CM=3，且2ccsB=2a?b，則 SΔABC= .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分13分）
已知向量a=(2,1),b=(3,?1)．
（1）求向量a與b的夾角；
（2）若c=(3,m)(m∈R)，且(a?2b)⊥c，求m的值．
16．（本小題滿分15分）
如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于點O，M為BO中點.設向量AB=a，AD=b.
(1)用a，b表示AM;
(2)求線段AM的長度
17.（本小題滿分15分）
18．（本小題滿分17分）
在△ABC中，點D在BC 上，滿足AD＝BC，ADsin∠BAC=ABsinB．
(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；
(2)若BD=2DC，求csB．
19．（本小題滿分17分）
已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ccsA+3csinA=a+b.
(1)求角C的大??；
(2)若c=23，角A與角B的內(nèi)角平分線相交于點D，求△ABD面積的取值范圍.
常州市第一中學2023-2024學年第二學期三月階段檢測高一數(shù)學試卷
參考答案
1．C
【分析】先根據(jù)a=x2+y2求得a=5，再根據(jù)結(jié)論：與a同向的單位向量為aa，運算求解．
【詳解】∵a=3,?4，則a=32+?42=5
∴與a同向的單位向量為aa=35,?45
∴故選：C．
2．B
【分析】由半角公式計算．
【詳解】sinπ12=1?csπ62=1?322=4?238=3?122=6－24．
故選：B．
3．B
【分析】運用誘導公式及齊次化即可或解.
【詳解】由2sin(π?α)=3sin(π2+α)，得2sinα=3csα，所以tanα=32，
從而sin2α?12sin2α?cs2α=sin2α?sinαcsα?cs2αsin2α+cs2α=tan2α?tanα?1tan2α+1=?113
故選：B
4．A
【分析】因為sin2α?5π6=sin2α?π3?π2=?cs2α?π3，先求出cs2α?π3的值，代入即可求出答案.
【詳解】∵cs2α?π3=cs2α?π6=1?2sin2α?π6=1?2×342=?18，
∴sin2α?5π6=sin2α?π3?π2=?cs2α?π3=??18=18.
故選：A.
5．A
【分析】直接利用正弦定理計算可得；
【詳解】解：因為a=2 , A=π4 , sinB=33，由正弦定理asinA=bsinB，
即222=b33，解得b=233.
故選：A
6．A
【分析】利用向量的線性運算和中點的向量表示進行計算，即得結(jié)果.
【詳解】由已知可得BE+CF=12BA+BC+12CA+CB
=12BA+CA=?12AB+AC=?12×2AD=?AD =DA，
故選：A.
7．B
【分析】根據(jù)D,O,F和E,O,C三點共線，可得AO=xAD+yAF和AO=mAE+nAC，利用平面向量線性運算可用a,b表示出AO，由此可得方程組求得x,y，進而得到λ+μ的值.
【詳解】連接AF，AC，
∵D,O,F三點共線，∴可設AO=xAD+yAF，則x+y=1，
∴AO=xAD+yAB+BF=xAD+yAB+14AD=x+14yb+ya；
∵E,O,C三點共線，∴可設AO=mAE+nAC，則m+n=1，
AO=m3AD+nAD+AB=m3+nb+na；
∴x+y=1m+n=1x+14y=m3+ny=n，解得：x=917y=817，∴AO=817a+1117b，即λ+μ=817+1117=1917.
故選：B.
【點睛】思路點睛：本題考查平面向量基本定理的應用，基本思路是根據(jù)O為兩線段交點，利用兩次三點共線，結(jié)合平面向量基本定理構造出方程組求得結(jié)果.
8．A
【分析】建立平面直角坐標系，求出相關點坐標，求得EA,EB的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示結(jié)合二次函數(shù)知識，即可求得答案.
【詳解】由于AB⊥BC,AD⊥CD，
如圖，以D為坐標原點，以DA,DC為x,y軸建立直角坐標系，
連接AC,由于AB=AD=1，則△ADC≌△ABC,
而∠BAD=120°，故∠CAD=∠CAB=60°，則∠BAx=60°，
則D(0，0),A(1,0),B(32,32),C(0,3)，
設E(0,y),0≤y≤3，則EA=(1,?y)，EB=(32,32?y)，
故EA?EB=32+y2?32y=(y?34)2+2116，
當y=34時，EA?EB有最小值2116，
故選：A．
9．BD
【分析】根據(jù)向量共線的定義，投影向量的定義，向量的數(shù)量積的定義判斷．
【詳解】若b=0，雖然有a//b，b//c，得a,c不一定平行，A錯；
根據(jù)投影向量的定義，若單位向量a，b夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量為csθb，B正確；
a?c=b?c且c≠0，?c?(a?b)=0?c⊥(a?b)，不能得出a=b，C錯；
非零向量a，b夾角為θ，滿足a?b=ab時，csθ=1，θ=0，兩向量同向，當然平行，D正確．
故選：BD．
10．AD
【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出B，由面積公式求出ac，再由余弦定理求出a+c，即可得解.
【詳解】∵csBcsC=b2a?c，
由正弦定理可得csBcsC=sinB2sinA?sinC，
整理可得sinBcsC=2sinAcsB?sinCcsB，
所以sinBcsC+sinCcsB=sin(B+C)=sinA=2sinAcsB，
∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，
∴csB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3，故A正確，B錯誤；
∵S△ABC=334，b=3，
∴334=12acsinB=12×a×c×32=34ac，解得ac=3，
由余弦定理b2=a2+c2?2accsB，得3=a2+c2?ac=(a+c)2?3ac=(a+c)2?9，
解得a+c=23或a+c=?23（舍去），故D正確，C錯誤.
故選：AD.
11．CD
【分析】由AD?AE= AB?AC+BD?BC?BD2即可判斷A；取特殊情況可判斷B；分別在△ADC和△ABC中用正弦定理可判斷C；D選項先證明得B=C，再在△ADE中用正弦定理建立方程可得角B，進而可求△ABC的面積.
【詳解】對于A，AD=AB+BD，AE=AC+CE=AC?EC，
因為D，E為線段BC上的兩點，且BD=EC，所以AE=AC?BD，且BD≤BC，
則AD?AE=(AB+BD)?(AC?BD)=AB?AC+BD?(AC?AB)?BD2
=AB?AC+BD?BC?BD2=AB?AC+BD?BC?BD2≥AB?AC，故A錯誤；
對于B，當點D,C重合，點E,B重合時，滿足BD=EC=BC，
此時AD=AC，AE=AB，則等式AB2+AD2=AE2+AC2即為AB2+AC2=AB2+AC2，此為恒等式，不一定有AB=AC，故B錯誤；
對于C，當BD=DE=12AD時，點D,E分別是線段BC的三等分點，
設BD=DE=t，則AD=DC=2t，BC=3t，
設∠ACB=θ(0

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