(2)在線段AB上是否存在一點G，使得直線BC∥平面PEG？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
[解析] (1)證明：取BA的中點H，連EH，在梯形ABCD中，由題意易知EH⊥AD，
∵PA＝PD，E為AD的中點，∴PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥EH，PE⊥AD，∴AE、EH、EP兩兩垂直，
如圖建立空間直角坐標系，則Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(2),2)))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0，0))，E(0,0,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，\f(\r(2),2)，0)).
eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0，－\f(\r(2),2)))，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(2)，0)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×0＋0×(－eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))×0＝0，
∴eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即PA⊥BD.
(2)設(shè)線段AB上存在點G滿足條件，
則eq \(AG,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)λ，eq \r(2)λ，0)(0≤λ≤1)，
eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)λ，eq \r(2)λ，0)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0，0))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)λ＋\f(\r(2),2)，\r(2)λ，0)).
且eq \(BC,\s\up6(→))＝meq \(EG,\s\up6(→))＋neq \(PE,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)λm＋\f(\r(2),2)m，\r(2)λm，－\f(\r(2),2)n))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(2)λm＋\f(\r(2),2)m＝－\f(\r(2),2)，,\r(2)λm＝－\f(\r(2),2)，,n＝0))解得λ＝eq \f(1,4).
∴存在點G，當AG＝eq \f(1,4)AB時，BC∥平面PEG.
注：本題也可用幾何法求解，或求平面PEG的法向量n，利用n·eq \(BC,\s\up6(→))＝0?n⊥eq \(BC,\s\up6(→))?BC∥平面PEG判斷解答．
名師點撥：
1．建立空間直角坐標系時盡可能地利用圖形中的垂直關(guān)系，要準確寫出相關(guān)點的坐標，進而確定向量的坐標．
2．用向量法證平行問題的類型及常用方法
3.利用向量法證垂直問題的類型及常用方法
【變式訓練】
如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．
(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求證：平面EGF∥平面ABD.
[證明] 以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(xiàn)(0,1,4)．
設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，
Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，4))，A1(a，0,4)．
(1)因為eq \(BA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq \(B1D,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0.
所以eq \(B1D,\s\up6(→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(B1D,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.
因為B1D?平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)證法一：因為eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，1))，eq \(EF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(B1D,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(EG,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因為EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.
證法二：∵eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，0))，∴eq \(GF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，
又GF?平面ABD，AB?平面ABD，
∴GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF?平面EGF，EF?平面EGF，
∴平面EGF∥平面ABD.線線平行
證明兩直線的方向向量共線
線面平行
①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直
②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行
③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量表示
面面平行
①證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)
②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題
線線垂直問題
證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零
線面垂直問題
直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直
面面垂直問題
兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直

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