(2)求BD1與AC所成角的余弦值．
[解析] (1)記eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，
∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC1的長為eq \r(6).
(2)eq \(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
∴|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6).
∴AC與BD1夾角的余弦值為eq \f(\r(6),6).
2．(2024·河南創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟聯(lián)考)在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝2，AB＝CD＝1，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝( B )
A.eq \f(1,2) B．1
C．eq \f(3,2) D．2
[解析] 解法一：設(shè)H為BD的中點，連接FH，EH.
由題意知eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))·BA＝0，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·(eq \(CD,\s\up6(→))＋BA)＝eq \f(1,2)|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)|eq \(BA,\s\up6(→))|2＝1.
解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意易知B(0,0,0)，A(0,0,1)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，從而可知Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(CA,\s\up6(→))＝(－1，－2,1)．∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＋0×(－2)＋eq \f(1,2)×1＝1.選B.
3．(2024·山東學(xué)情質(zhì)檢)已知直線l1的一個方向向量a＝(1,2，x)，直線l2的一個方向向量b＝(eq \r(5)，y,1)，若|a|＝5，且l1⊥l2，則x＋y＝( A )
A.eq \f(\r(5),2)或－eq \f(3\r(5),2) B．－eq \f(\r(5),2)或eq \f(3\r(5),2)
C.eq \f(－\r(5),2) D．eq \f(\r(5),2)
[解析] 因為a＝(1,2，x)，|a|＝5，所以1＋4＋x2＝25，解得x＝±2eq \r(5).當(dāng)x＝2eq \r(5)時，a＝(1,2,2eq \r(5))，因為l1⊥l2，所以a·b＝eq \r(5)＋2y＋2eq \r(5)＝0，解得y＝－eq \f(3,2)eq \r(5)，x＋y＝eq \f(\r(5),2).當(dāng)x＝－2eq \r(5)時，a＝(1,2，－2eq \r(5))，因為l1⊥l2，所以a·b＝eq \r(5)＋2y－2eq \r(5)＝0，解得y＝eq \f(\r(5),2)，x＋y＝－eq \f(3\r(5),2).故選A.
名師點撥：空間向量數(shù)量積的應(yīng)用
【變式訓(xùn)練】
(2023·河南駐馬店期末)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，CD⊥平面PAD.AB＝6，∠BAD＝60°，PC＝AD＝2PD＝2BC＝4，則異面直線PA與BC所成角的余弦值為( D )
A.eq \f(\r(15),5) B．eq \f(\r(10),5)
C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(\r(5),5)
[解析] 由題意可知DA，DC，DP兩兩垂直，則以D為原點，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DP,\s\up6(→))的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題中數(shù)據(jù)可知A(4,0,0)，P(0,0,2)，B(1,3eq \r(3)，0)，C(0,2eq \r(3)，0)，則eq \(PA,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－eq \r(3)，0)．設(shè)異面直線PA與BC所成的角為θ，則cs θ＝|cs〈eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))|,|\(PA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,2\r(5)×2)＝eq \f(\r(5),5).
求夾角
設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角
求長度
(距離)
利用公式|a|2＝a·a，可將線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題
解決垂
直問題
利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

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