A. B. C. D.
2. 焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為橢圓方程為（）
A. B.
C. D.
3. 在空間直角坐標系中，直線的方向量分別為，則（）
A. B. C. 與異面D. 與相交
4. 已知動點滿足，則動點的軌跡是（）
A. 射線B. 直線
C. 橢圓D. 雙曲線一支
5. 圓：關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）
AB.
C. D.
6. 雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是（）
A. B. C. D.
7. 過點，且圓心在直線上的圓與軸相交于，兩點，則（）
A. 3B. C. D. 4
8. 如圖所示，用一束與平面成角的平行光線照射半徑為的球O，在平面上形成的投影為橢圓及其內(nèi)部，則橢圓的（）
A. 長軸長為3B. 離心率為
C. 焦距為2D. 面積為
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分（在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 已知雙曲線的焦點分別為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 漸近線方程為
B. 雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)
C. 若雙曲線上一點滿足，則的周長為28
D. 若從雙曲線的左?右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6
10. 有關(guān)圓與圓的下列哪些結(jié)論是正確的（）
A. 圓的圓心坐標為，半徑為5
B. 若分別為兩圓上兩個點，則的最大距離為
C. 兩圓外切
D. 若為圓上的兩個動點，且，則的中點的軌跡方程為
11. 如圖，在平行六面體中，，且，則下列說法中正確的有（）
A. B.
C. D. 直線平面
12. 若實數(shù)x，y滿足曲線C：，則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B. 的最小值為
C. 直線與曲線C恰有1個交點，則實數(shù)
D. 曲線C上有4個點到直線的距離為1.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知直線：，：，當時，的值為__________.
14. 若橢圓的對稱中心在原點，焦點在坐標軸上，且直線經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為______.
15. 設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為_________.
16. 已知，是圓：上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為___________．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知離心率為雙曲線C與橢圓的焦點相同.
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）求雙曲線C的焦點到漸近線的距離.
18. 已知圓，直線過點.
（1）當直線與圓相切時，求直線的斜率；
（2）線段的端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
19. 如圖，在直三棱柱中，，點是線段的中點，
（1）求證：
（2）求點到平面距離；
20. 橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且短軸長為2.
（1）求橢圓的標準方程：
（2）過點且傾斜角為的直線與橢圓交于A、兩點，線段的中垂線與軸交于點，是橢圓上的一點，求的最小值.
21. 如圖，在四棱柱中，，，平面平面，.
（1）求證：平面；
（2）若為線段的中點，直線與平面所成角為45°，求平面與平面的夾角的余弦值.
22. 已知圓：，點是圓上的動點，點，為的中點，過作交于，設(shè)點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）過點的動直線與曲線相交于，兩點.在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
銀川一中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級期中考試
數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)直線的傾斜角為，然后利用斜率公式即可
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，
由可得斜率，即
故選：A
2. 焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的標準方程，結(jié)合題干列出方程，即可.
【詳解】因為焦點在y軸上，故設(shè)橢圓方程為，
則，且，
解得：，所以橢圓的標準方程為.
故選：D
3. 在空間直角坐標系中，直線的方向量分別為，則（）
A. B. C. 與異面D. 與相交
【答案】A
【解析】
【分析】應(yīng)用空間向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合向量垂直表示即可確定直線的位置關(guān)系.
【詳解】由，故，
所以.
故選：A
4. 已知動點滿足，則動點的軌跡是（）
A. 射線B. 直線
C. 橢圓D. 雙曲線的一支
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩點間的距離公式分析條件的幾何意義可得.
【詳解】設(shè)，由題意知動點M滿足|，故動點M的軌跡是射線.
故選：A.
5. 圓：關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】圓關(guān)于直線對稱的圓之間的關(guān)系為：圓心關(guān)于直線對稱，半徑相等.所以求出關(guān)于直線對稱的對稱點即可解題.
【詳解】圓：的圓心為，半徑為2，
設(shè)關(guān)于直線對稱的對稱點為，
則，解得.
關(guān)于直線對稱的對稱點為，
圓：關(guān)于直線對稱的圓的方程為.
故選：D.
6. 雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由雙曲線的漸近線的斜率與雙曲線的離心率的關(guān)系，以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.
【詳解】由于雙曲線的漸近線為，
且注意到雙曲線的離心率為，
又在雙曲線中有平方關(guān)系：，
所以離心率為，
又由題意，
所以有，解得，
即雙曲線的漸近線的斜率為，
由直線斜率和傾斜角的關(guān)系可知此雙曲線的漸近線的傾斜角可以是或.
故選：B.
7. 過點，且圓心在直線上的圓與軸相交于，兩點，則（）
A. 3B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由題意設(shè)圓的圓心、半徑分別為，則圓的方程為，結(jié)合已知條件即可求出圓的方程，在圓的方程中令，即可求出，兩點的坐標，由此即可得解.
【詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓的圓心、半徑分別為，
則圓的方程為，
將，代入圓的方程有，解得，
所以圓的方程為，
在圓的方程中令得，解得，
所以
故選：C.
8. 如圖所示，用一束與平面成角的平行光線照射半徑為的球O，在平面上形成的投影為橢圓及其內(nèi)部，則橢圓的（）
A. 長軸長為3B. 離心率為
C. 焦距為2D. 面積為
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)投影的特點確定橢圓C的a，b的取值與球O半徑長之間的關(guān)系，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)計算離心率分別判斷各個選項即可．
【詳解】
由題意知：，
橢圓的長軸長，A錯誤；
橢圓短軸長為球的直徑，即,
橢圓的焦距為，C正確；
橢圓的離心率，B錯誤；
由圖可知：橢圓的面積大于球大圓的面積，又球大圓的面積，
橢圓的面積大于，D錯誤．
故選：C．
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分（在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 已知雙曲線的焦點分別為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 漸近線方程為
B. 雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)
C. 若雙曲線上一點滿足，則的周長為28
D. 若從雙曲線的左?右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義及性質(zhì)一一判定即可.
【詳解】由題意可得，令，故A錯誤；
易知雙曲線和橢圓的離心率分別為，
顯然它們不互為倒數(shù)，故B錯誤；
由雙曲線的定義可知，
若，則，
又，故的周長為，故C正確；
由雙曲線的圖象可知左右兩支上距離最近的兩點為左右頂點，故D正確.
故選：CD
10. 有關(guān)圓與圓下列哪些結(jié)論是正確的（）
A. 圓的圓心坐標為，半徑為5
B. 若分別為兩圓上兩個點，則的最大距離為
C. 兩圓外切
D. 若為圓上的兩個動點，且，則的中點的軌跡方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，將圓的方程化為標準方程即可判斷；對于B，畫出圖形結(jié)合三角不等式即可求解；對于C，由的關(guān)系即可判斷；對于D，畫出圖形，結(jié)合垂徑分線定理分析即可.
【詳解】對于A，將圓的方程化為標準方程得，
由此可知圓的圓心坐標為，半徑為5，故A選項正確；
對于B，將圓的方程化為，如圖所示：
不妨設(shè)分別為兩圓上兩個點，四個點共線，
則由三角不等式可知，
而分別為兩圓的半徑，即，
是指兩圓圓心之間的距離，即，
所以，
由等號成立的條件可知，當且僅當點與點重合，點與點重合時，，故B選項正確；
對于C，由B選項分析可知，
故兩圓相交，而不是外切，故C選項錯誤；
對于D，如圖所示：
由題意不妨設(shè)，中點為，則，
又由于的半徑為，
所以由垂徑分線定理可知，即，
所以點的坐標為，又點的坐標為，
所以，故D選項正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對于B、D兩選項的判斷，因而是否能夠準確作出圖形、利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想來判斷B、D兩選項是解題的關(guān)鍵.
11. 如圖，在平行六面體中，，且，則下列說法中正確的有（）
A. B.
C. D. 直線平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意由空間向量的加減運算即可得A正確；將兩邊平方利用向量數(shù)量積即可求得，可得B正確；由向量數(shù)量積計算可得，即C正確；易知是平面的一個法向量，可得D正確.
【詳解】由平行六面體可知，所以，即A正確；
設(shè)，，，則為空間的一個基底，
因為，，
所以，，
，
可得，故B錯誤；
即，所以，故C正確；
在平面上，取，為基向量，則對于平面上任意一點，
存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得．
又，，，
所以．
所以是平面的法向量．故D正確．
故選：ACD．
12. 若實數(shù)x，y滿足曲線C：，則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B. 的最小值為
C. 直線與曲線C恰有1個交點，則實數(shù)
D. 曲線C上有4個點到直線的距離為1.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先畫出曲線表示的半圓，再根據(jù)點與直線，直線與圓的位置關(guān)系逐項判斷；
【詳解】
對于A:曲線即圖象是以為圓心，2為半徑的半圓，如圖，，選項A正確；
對于B:代表曲線半圓上的點與的斜率，由圖可知，曲線取點時，斜率最小，，選項B正確；
對于C：直線過定點，由圖可知，當直線位于之間，或者直線與曲線C相切時恰有1個交點，
相切時，解得：或，故實數(shù)，選項C錯誤；
對于D：如圖，曲線上最多有2個點到直線的距離為1，D錯誤；
故選：AB.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知直線：，：，當時，的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩條直線的平行關(guān)系求a的值，再把a的值代入直線方程驗證平行關(guān)系，進而得出a.
【詳解】因為，所以，解得或.
當時，：，：，此時與重合，不符合題意；
當時，：，：，此時，符合題意.
綜上，的值為.
故答案為：.
14. 若橢圓的對稱中心在原點，焦點在坐標軸上，且直線經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為______.
【答案】或
【解析】
【分析】對橢圓的焦點進行分類討論，求出的值即可.
【詳解】由于直線與坐標軸的交點為與．
①當焦點為，頂點為時，
此時橢圓焦點在x軸上，且，，
所以
所以橢圓的標準方程為．
②當焦點為，頂點為時，
此時橢圓焦點在y軸上，且，，
所以
所以橢圓的標準方程為．
綜上所述，橢圓的標準方程為或．
故答案為：或．
15. 設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為_________.
【答案】##
【解析】
【分析】如圖，設(shè)，由題意，橢圓定義結(jié)合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.
【詳解】如圖，設(shè)，則，.
又由橢圓定義可得.
則在中，由余弦定理可得:
.
則，
則在由余弦定理可得：
.
又.
故答案為：
16. 已知，是圓：上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】
【分析】為和到直線距離之和的倍，是的中點到直線距離的倍，利用點軌跡，求取值范圍.
【詳解】由題知，圓的圓心坐標，半徑為2，因為，所以．
設(shè)為的中點，所以，所以點的軌跡方程為．
點的軌跡是以為圓心半徑為的圓.
設(shè)點，，到直線的距離分別為，，，
所以，，，
所以．
因為點到直線的距離為，所以，
即，所以．
所以的取值范圍為．
故答案為：
【點睛】思路點睛：
利用的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為為和到直線距離之和，再轉(zhuǎn)化為的中點到直線距離，由點軌跡是圓，可求取值范圍.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知離心率為的雙曲線C與橢圓的焦點相同.
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）求雙曲線C的焦點到漸近線的距離.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件取得雙曲線的，從而求得雙曲線的標準方程.
（2）利用點到直線的距離公式求得正確答案.
【小問1詳解】
橢圓的焦點坐標為，
設(shè)雙曲線的方程為，，
所以雙曲線的半焦距.
又由，得，
所以，
所以雙曲線C的標準方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，雙曲線C的焦點坐標為，漸近線方程為，
所以雙曲線C的焦點到漸近線的距離為.
18. 已知圓，直線過點.
（1）當直線與圓相切時，求直線的斜率；
（2）線段的端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解出即可；（2）建立點和點之間的關(guān)系式，再利用點的坐標滿足的關(guān)系式得到點的坐標滿足的條件，即可求出.
【小問1詳解】
已知的圓心是，半徑是，
設(shè)直線斜率為
則直線方程是，即，
則圓心到直線距離為，
解得直線的斜率.
【小問2詳解】
設(shè)點則，
由點是的中點得，
所以①
因在圓上運動，所以②
①代入②得，
化簡得點的軌跡方程是.
19. 如圖，在直三棱柱中，，點是線段的中點，
（1）求證：
（2）求點到平面的距離；
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理證得，再由線面垂直得線線垂直，進而線面垂直得線線垂直；
（2）建立空間直角坐標系，利用點面距離的向量公式求解即可.
【小問1詳解】
中，，所以，
在直三棱柱中，平面，平面，所以，
又因為，平面，平面，
所以平面，平面，所以.
【小問2詳解】
由（1）知，平面，平面，平面，
所以，又，如圖建立空間直角坐標系，
則，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，解得，令，則，
設(shè)到平面的距離為，由得.
20. 橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且短軸長為2.
（1）求橢圓標準方程：
（2）過點且傾斜角為的直線與橢圓交于A、兩點，線段的中垂線與軸交于點，是橢圓上的一點，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求解.
（2）由直線和橢圓方程式聯(lián)立得線段的中點坐標，得到線段的中垂線方程，由此求得的坐標，再由橢圓的參數(shù)方程得的坐標，再由兩點間的距離公式和復(fù)合函數(shù)求最值即得.
【小問1詳解】
由題意設(shè)橢圓的方?為，
因為橢圓經(jīng)過點且短軸長為2，所以，
所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
由已知得直線的方程為，
設(shè)，將直線代入，
得，解得，不妨設(shè)則；同理得，
即，所以線段的中點坐標，
所以線段的中垂線的方程為，
因為線段的中垂線與軸交于點，所以令得，得，
因為橢圓的標準方程為.
所以設(shè)橢圓的參數(shù)方程為，，因為是橢圓上的一點，
所以,
所以，
因為，所以，
當時，取得最小值為.
21. 如圖，在四棱柱中，，，平面平面，.
（1）求證：平面；
（2）若為線段的中點，直線與平面所成角為45°，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由平面平面，證明平面，得，又，可證明平面.
（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求解面面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
連接，設(shè)，
由，，得是線段的垂直平分線，即有，
平面平面，平面平面，平面，于是平面，
而平面，則，又，平面，，
所以平面.
【小問2詳解】
由，得，又，，，則，
于是，又，，則以為正交基底，建立空間直角坐標系，
在中，為中點，即有，
由平面，得為與平面所成角，即，有，
則，，，，，
由平面，平面，得，
又，平面，，則平面，
于是平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，，，
則，取，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面的夾角余弦值為.
22. 已知圓：，點是圓上的動點，點，為的中點，過作交于，設(shè)點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）過點的動直線與曲線相交于，兩點.在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在點滿足題意．
【解析】
【分析】（1）由動點的位置特征，判斷出軌跡為橢圓，待定系數(shù)法求方程；
（2）當直線l與y軸垂直時，得點Q必在y軸上；當直線l與x軸垂直時，得點Q的坐標只可能是；再證明直線l斜率存在且均滿足條件即可．
【小問1詳解】
依題意可知圓E的標準方程為，圓心，
因為線段的垂直平分線交于點，所以，
動點始終滿足，故動點S滿足橢圓的定義，
曲線是以為焦點的橢圓，設(shè)橢圓方程為，
因此，解得，
橢圓C的方程為.
【小問2詳解】
存在與點不同的定點，使得恒成立．理由如下：
當直線與軸平行時，由橢圓的對稱性可知，
又因為得，則，從而點Q必在y軸上，可設(shè)，
當直線與軸垂直時，則，如果存在定點滿足條件，
由，即，解得或，
若存在不同于點的定點滿足條件，則點坐標只能是；
當直線不平行于軸且不垂直與軸時，可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得：，
，設(shè)A、B的坐標分別為、，
，，
又點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，，
又，，
，則、、三點共線，；
故存在與點不同的定點，使得恒成立．
【點睛】方法點睛：
解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．

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2023-2024學(xué)年寧夏回族自治區(qū)銀川市興慶區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

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