專(zhuān)題7.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用（講+練）-備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練（新高考專(zhuān)用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【核心素養(yǎng)】
1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
2．?dāng)?shù)列與新定義問(wèn)題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
3．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等相結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析解決問(wèn)題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
知識(shí)點(diǎn)一
數(shù)列與函數(shù)
數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類(lèi)：
（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；
（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．
知識(shí)點(diǎn)二
數(shù)列與不等式
1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．
放縮法常見(jiàn)的放縮技巧有：
(1)eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).
(2)eq \f(1,k)－eq \f(1,k＋1)＜eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k－1)－eq \f(1,k).
(3)2(eq \r(n＋1)－eq \r(n))＜eq \f(1,\r(n))＜2(eq \r(n)－eq \r(n－1))．
2.數(shù)列中不等式恒成立的問(wèn)題
數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問(wèn)題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．
知識(shí)點(diǎn)三
數(shù)列與解三角形
兩大類(lèi)，一類(lèi)是以三邊（角）成等差（比）數(shù)列為條件，給出三角形邊角的關(guān)系，重點(diǎn)考查三角恒等變換，進(jìn)一步考查解三角形問(wèn)題，求邊、角、三角形面積、周長(zhǎng)等.另一類(lèi)是，在三角形中，證明三角函數(shù)式、三角形的邊角具有數(shù)列特征.都應(yīng)注意充分應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等思想方法.這類(lèi)問(wèn)題主要體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn)四
數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟
(1)確定模型類(lèi)型：理解題意，看是哪類(lèi)數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：
等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少
等比數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)或減少，常見(jiàn)的是增產(chǎn)率問(wèn)題、存款復(fù)利問(wèn)題
簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少．如年收入增長(zhǎng)率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開(kāi)銷(xiāo)，即數(shù)列
(2)準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．
(3)給出問(wèn)題的回答：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)．
?？碱}型剖析
題型一：數(shù)列與函數(shù)的綜合
【典例分析】
例1-1.（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有，若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題中條件，得，兩式相減可先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的值，利用，若，可求出的值，進(jìn)而得到周期為，近一步求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得；
當(dāng)時(shí)，，（），
兩式相減并化簡(jiǎn)得（），
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
則，所以，
由，，
可得，，
，，
的函數(shù)值以為周期，
則
故選：
例1-2.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【溫馨提醒】
解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到數(shù)列的求和、和的最值，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)求解較為常規(guī)．
【變式訓(xùn)練】
變式1-1.（2005·北京·高考真題）若不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】對(duì)按奇偶數(shù)分類(lèi)討論，再由不等式恒成立可得．
【詳解】為正奇數(shù)時(shí)，不等式為，
易知是遞減的，因此而，所以，即，
為正偶數(shù)時(shí)，不等式為，
易知是遞增的，時(shí)，取得最小值，所以，
綜上，的范圍是．
故選：A．
變式1-2.（2022秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列均為正數(shù)，，且，（為的前項(xiàng)和）
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)積，請(qǐng)求出，及當(dāng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義及其基本量的計(jì)算即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）易知數(shù)列的前項(xiàng)積，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得當(dāng)或時(shí)，取最大值.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由條件可得，
化簡(jiǎn)得，則；
故，又，解得，
從而
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則
取最大值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)取最大值
因?yàn)椋?br>又，所以當(dāng)或時(shí)，取最大值
故當(dāng)取最大值時(shí)或.
題型二：數(shù)列與不等式的綜合
例2-1.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
例2-2.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出，再求；
(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對(duì)于任意的恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，，
又
所以
【溫馨提醒】
數(shù)列與不等式的結(jié)合，除應(yīng)熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，關(guān)于不等式證明、不等式恒成立問(wèn)題的處理方法亦應(yīng)靈活運(yùn)用.
【變式訓(xùn)練】
變式2-1.（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)數(shù)列中，已知，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，求取得最大值時(shí)的取值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)題意化簡(jiǎn)得，得出數(shù)列是等比數(shù)列，再由求得公比，即可求解；
（2）設(shè)，得到，求得數(shù)列滿足，進(jìn)而求得，，且當(dāng)時(shí)，，即可得到答案.
【詳解】（1）解：由，可得，
又由，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，可?
又因?yàn)?，所以，故?shù)列的公比為2，則．
（2）解：由，設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，即，
即，
又由，，，，，
故，，
當(dāng)時(shí)，，，
綜上可得，當(dāng)或時(shí)，取得最大值
變式2-2.（2023秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，其中，且.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)設(shè)，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得恒成立的的最小正整數(shù).
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）依據(jù)題給條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得；
（2）先利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，再依據(jù)題給條件列出關(guān)于m的不等式，解之即可求得m的最小整數(shù)
【詳解】（1）由，可得
，
則當(dāng)時(shí)，.
（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，
，
則當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和
，
又當(dāng)時(shí)，，，，
由恒成立，可得，解之得，
則當(dāng)時(shí)，使得恒成立的m的最小整數(shù)為2.
當(dāng)時(shí)，成立，
綜上，使得恒成立的m的最小整數(shù)為2.
題型三：數(shù)列與解三角形的綜合
【典例分析】
例3-1．（2012·山東·高考真題）在△ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.
(Ⅰ)求證：成等比數(shù)列；
(Ⅱ)若，求△的面積S.
【答案】(I)見(jiàn)解析 (II)
【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和“化切為弦”思想轉(zhuǎn)化成，再利用正弦定理將角角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，即證得成等比數(shù)列；（2）先利用等比中項(xiàng)求出邊，利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，再利用三角形的面積公式求其面積．
試題解析：（1）由已知得：，
，則，
再由正弦定理可得：，所以a，b，c成等比數(shù)列．
（2）若，則，
∴，
．
∴的面積．
例3-2.（2014·陜西·高考真題）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．
(1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）利用等差中項(xiàng)和正弦定理的性質(zhì)即可證得；
（2）先利用余弦定理求得的解析式，再利用均值定理即可求得的最小值．
【詳解】（1）成等差數(shù)列，，由正弦定理得
，
（2）成等比數(shù)列，
由余弦定理得
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
即，所以的最小值為
【規(guī)律方法】
1.裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
【變式訓(xùn)練】
變式3-1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，且的面積為，則（）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由成等差數(shù)列得，結(jié)合余弦定理，可得，由的面積為，可得，兩式相除可得答案.
【詳解】若成等差數(shù)列，則，
由余弦定理得，，則，①
由的面積為，得，則，②
由②÷①得.
故選：C.
變式3-2.（2012·全國(guó)·高考真題）△ABC中，內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，其對(duì)邊a、b、c滿足，求A．
【答案】
【詳解】本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用，
題型四：數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
【典例分析】
例4-1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么 .
【答案】 5
【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.
【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
例4-2.（2010·湖北·高考真題）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2），其中有部分舊住房需要拆除．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房．
（Ⅰ）分別寫(xiě)出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式：
（Ⅱ）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？（計(jì)算時(shí)取1.15=1.6）
【答案】（Ⅰ）第一年末實(shí)際住房面積的表達(dá)式，第二年末實(shí)際住房面積的表達(dá)式
（Ⅱ）
【詳解】解：（1）第1年末的住房面積，
第2年末的住房面積
，
（Ⅱ）第3年末的住房面積
，
第4年末的住房面積
，
第5年末的住房面積
依題意可知，，解得，
所以每年拆除的舊房面積為．
【總結(jié)提升】
1.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.
2.等比數(shù)列最值有關(guān)問(wèn)題的解題思路：
求解此類(lèi)問(wèn)題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用．
變式4-1.（2001·上?！じ呖颊骖}）甲、乙兩人于同一天分別攜款1萬(wàn)元到銀行儲(chǔ)蓄,甲存五年期定期儲(chǔ)蓄,年利率為2.88%．乙存一年期定期儲(chǔ)蓄,年利率為2.25%,并在每年到期時(shí)將本息續(xù)存一年期定期儲(chǔ)蓄．按規(guī)定每次計(jì)息時(shí),儲(chǔ)戶須交納利息的20%作為利息稅,若存滿五年后兩人同時(shí)從銀行取出存款,則甲與乙所得本息之和的差為元．（假定利率五年內(nèi)保持不變,結(jié)果精確到1分）
【答案】219.01
【分析】由題意求出甲所得本息和,以及乙所得本息和,求出甲乙所得本息之差即可.
【詳解】解:由題知,甲所得本息和為:
,
乙所得本息和為:
,
11152-10932.99=219.01.
故答案為:219.01
變式4-2.（2017·上?！そy(tǒng)考高考真題）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第個(gè)月共享單車(chē)的投放量和損失量分別為和（單位：輛），
其中，，第個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量是前個(gè)月的
累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.
（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量；
（2）已知該地共享單車(chē)停放點(diǎn)第個(gè)月底的單車(chē)容納量（單位：輛）. 設(shè)在某月底，共享單車(chē)保有量達(dá)到最大，問(wèn)該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車(chē)容納量？
【答案】（1）935；（2）見(jiàn)解析.
【詳解】試題分析：（1）計(jì)算和的前項(xiàng)和的差即可得出答案；
（2）令得出，再計(jì)算第個(gè)月底的保有量和容納量即可得出結(jié)論.
試題分析：
（1）
（2），即第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大
，∴此時(shí)保有量超過(guò)了容納量.
題型五：數(shù)列的“新定義”問(wèn)題
【典例分析】
例5-1．（2004·北京·高考真題）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和的值為．
【答案】 3 52
【分析】由題意得對(duì)任意的恒成立，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求與.
【詳解】根據(jù)“等和數(shù)列”的定義及公和為5，可得對(duì)任意的恒成立.
因?yàn)?，所?
所以.
所以.
故答案為:3;52.
例5-2．（2023秋·北京·高三校考階段練習(xí)）給定數(shù)列，若滿足 (且)，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”．
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，試判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”；
(2)已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”．若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，且，證明數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．
【答案】(1)不是指數(shù)型數(shù)列，是指數(shù)型數(shù)列
(2)不是“指數(shù)型數(shù)列”
(3)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）利用指數(shù)型數(shù)列的定義，判斷即可；
（2）利用，說(shuō)明數(shù)列是等比數(shù)列，然后證明數(shù)列不是“指數(shù)型數(shù)列”；
（3）利用反證法，結(jié)合為偶數(shù)以及奇數(shù)進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）對(duì)于數(shù)列，，
所以不是指數(shù)型數(shù)列．
對(duì)于數(shù)列，對(duì)任意，因?yàn)椋?br>所以是指數(shù)型數(shù)列．
（2）證明：由題意，不是“指數(shù)型數(shù)列”，
由，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，，
，
數(shù)列不是“指數(shù)型數(shù)列”．
（3）證明：因?yàn)閿?shù)列是指數(shù)型數(shù)列，故對(duì)于任意的，
有，，
假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，
則由，得，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，
而是偶數(shù)，是奇數(shù)，
故不能成立；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，而是奇數(shù)，是偶數(shù)，
故也不能成立．
所以，對(duì)任意，不能成立，
即數(shù)列的任意三項(xiàng)都不成構(gòu)成等差數(shù)列．
【溫馨提醒】
立足于“轉(zhuǎn)化”，將新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題求解.
【變式訓(xùn)練】
變式5-1.（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）
A．是等方差數(shù)列
B．若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則
C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列
D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列
【答案】BC
【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義依次分析四個(gè)選項(xiàng)可得答案.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，?br>，所以不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，，?br>所以，，
因?yàn)?是等比數(shù)列，所以，所以，
所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
則當(dāng)時(shí)，，若為常數(shù)，則必有，此時(shí)，則數(shù)列不可能是等方差數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D，假設(shè)存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，且，
若，則，則，不合題意，
若，則，得，又，
所以為常數(shù)，必有，與假設(shè)矛盾，
故存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列.故D錯(cuò)誤；
故選：BC
變式5-2.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列滿足（d為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)調(diào)和數(shù)列的定義、等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，
所以（d為常數(shù)），因此數(shù)列是等差數(shù)列，
由，
因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以是正項(xiàng)數(shù)列，
于是有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故答案為：
題型六：數(shù)列與解析幾何的綜合
【典例分析】
例6-1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
例6-2．（2023秋·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知,曲線，過(guò)點(diǎn)的曲線的所有弦中，最小弦長(zhǎng)為.
(1)求的值；
(2)過(guò)點(diǎn)M的直線與曲線C1交于A、B兩點(diǎn)，曲線C1在A、B兩點(diǎn)處的兩條切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡C2；
(3)在（2）的條件下，N是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q是C2上與N距離最近的點(diǎn)，滿足的動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為C3；并判斷是否存在過(guò)M的直線l，使得l與C1、l與C3 的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值求解，
（2）求導(dǎo)得切線方程，聯(lián)立兩條切線方程即可求解交點(diǎn)，即可求解，
（3）根據(jù)拋物線的定義求解點(diǎn)軌跡，即可根據(jù)圖形特征，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）由于題意可知過(guò)點(diǎn)的弦所在的直線一定有斜率，設(shè)直線方程為，聯(lián)立與，可得，
設(shè)方程兩根為，則，故弦長(zhǎng)為，
令，則，
由于函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最小為
（2）設(shè),則，
由拋物線方程可得，
所以點(diǎn)處的切線方程為，
同理可得點(diǎn)處的切線方程為,
聯(lián)立兩條切線方程得，則，
因此，所以的軌跡為直線，
（3）由動(dòng)點(diǎn)Q是C2上與N距離最近的點(diǎn)，可知與直線垂直，
由于，所以可知點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，故軌跡方程為，
設(shè)直線與相交的兩個(gè)點(diǎn)為,且的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)
聯(lián)立與，可得，則，
由于與均為開(kāi)口向上的拋物線，
假若四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)能構(gòu)成等差數(shù)列，則必滿足成等差數(shù)列，
則，此時(shí)，
而當(dāng)時(shí)，不滿足等差關(guān)系，
故不存在過(guò)M的直線l，使得l與C1、l與C3的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【變式訓(xùn)練】
變式6-1.（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）
A．直線和圓B．直線和橢圓C．直線和雙曲線D．直線和拋物線
【答案】C
【解析】
首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.
【詳解】
由題意得，即，
對(duì)其進(jìn)行整理變形：
，
，
，
，
所以或，
其中為雙曲線，為直線.
故選：C.
變式6-2.（2017山東，理19）已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2
（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.
【答案】(I)（II）
（II）過(guò)……向軸作垂線，垂足分別為……,
由(I)得
記梯形的面積為.
由題意，
所以
……+
=……+ = 1 \* GB3 ①
又……+ = 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得
=
所以
題型七：數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)的綜合
【典例分析】
例7-1．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）為紀(jì)念中國(guó)共產(chǎn)黨成立102周年，學(xué)校某班組織開(kāi)展了“學(xué)黨史，憶初心”黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，抽取四位同學(xué)，分成甲、乙兩組，每組兩人，進(jìn)行對(duì)戰(zhàn)答題.規(guī)則如下：每次每位同學(xué)給出6道題目，其中有一道是送分題（即每位同學(xué)至少答對(duì)1題）.若每次每組答對(duì)的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方組接著答題.假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨(dú)立.求：
(1)若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；
(2)若第一次由甲組答題，記第次由甲組答題的概率為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用古典概型概率公式求出原答題組繼續(xù)答題的概率和由對(duì)方組答題的概率，再利用互斥事件概率加法和獨(dú)立事件乘法概率公式求解即可；
（2）先求出概率關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)第1次由甲組答題記作事件A，第1次由乙組答題記作事件，
第2次由乙組答題記作事件B，因?yàn)榇饘?duì)的題數(shù)之和為3的倍數(shù)分別為，，，，，，，所以答對(duì)的題數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為，
所以答對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率為，
則；
（2）第次由甲組答題，是第次由甲組答題第次繼續(xù)由甲組答題的事件與第次由乙組答題第次繼續(xù)由甲組答題的事件和，它們互斥，
又各次答題相互獨(dú)立，所以第次由甲組答題，第次繼續(xù)由甲組答題的概率為，
第次由乙組答題，第次繼續(xù)由甲組答題的概率為，
因此，則，
因?yàn)榈谝淮斡杉捉M答題，則，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即
例7-2.（2024秋·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，證明對(duì)任意，；
(3)某鐵道線上共有列列車(chē)運(yùn)行，且每次乘坐到任意一列列車(chē)的概率相等，設(shè)隨機(jī)變量為恰好乘坐一次全部列車(chē)所乘坐的次數(shù)，試估算的值（結(jié)果保留整數(shù)）.
參考數(shù)據(jù)：，，
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)5
【分析】（1）由可得，對(duì)分奇偶利用累加法可得，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，作差判斷數(shù)列的單調(diào)性，由差可設(shè)，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)即可得單調(diào)性，從而證明不等式成立；設(shè)，求導(dǎo)得單調(diào)性，從而可證得不等式；
（3）結(jié)合（2）中不等式可得，在根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行估值，即可得的估計(jì)值.
【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，則
整理得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，……，
累加得，即，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，，……，
累加得，即，
綜上，可得，所以由可得；
（2）設(shè)，則
所以
設(shè)，設(shè)函數(shù)，所以
所以當(dāng)時(shí)，，故可得，
故
設(shè)，所以恒成立，可知，則，令可得
所以，則
累加得：，所以，
故，原不等式得證.
（3）設(shè)每次乘坐到新列車(chē)的概率為，還未乘坐過(guò)列，則，則所嘗試坐上新列車(chē)的次數(shù)期望是，累加得
又，則，故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要證明不等式和，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性證明作差法進(jìn)行變形處理，在判斷差的符號(hào)時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系確定最值從而判斷差的符號(hào)，即可證得結(jié)論.
【變式訓(xùn)練】
變式7-1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)每球甲得分的概率為0.6，乙得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方平后，求甲最終獲勝的概率.
【答案】
【詳解】設(shè)表示進(jìn)行若干球后甲的得分，表示進(jìn)行若干球后乙的得分，表示時(shí)甲最終取勝的概率.
則，，且.從而.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.因此，即
，，，
累加得，解得.所以
.
變式7-2.（2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)校考階段練習(xí)）現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分. 前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對(duì)方2分時(shí)，才勝1局. 在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對(duì)方2分的一方獲勝. 在一個(gè)回合中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方. 經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為.
(1)假設(shè)在第1局比賽開(kāi)始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；
(2)當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí)，兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為. 假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開(kāi)球，求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開(kāi)球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊(duì)開(kāi)球的概率的大小.
【答案】(1)
(2)，甲隊(duì)開(kāi)球的概率大于乙隊(duì)開(kāi)球的概率．
【分析】（1）甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分，分為3種情況，依次求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，以及全概率公式，即可求解．
【詳解】（1）在前3個(gè)回合中甲隊(duì)恰好獲得2分對(duì)應(yīng)的勝負(fù)情況如下：勝勝負(fù)，勝負(fù)勝，負(fù)勝勝，共3種情況，
對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，
所以甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；
（2）根據(jù)全概率公式得，
即，
易知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，故，
因?yàn)?，所以?br>而在每一個(gè)回合中，甲、乙兩隊(duì)開(kāi)球的概率之和為1，從而可得在此回合中甲隊(duì)開(kāi)球的概率大于乙隊(duì)開(kāi)球的概率．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
甲隊(duì)在第i個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為，由全概率公式得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推公式，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng).
一、單選題
1．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LenarddaFibnaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因n趨向于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取2項(xiàng)，則抽取的2項(xiàng)至少有1項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式以及對(duì)立事件的概率關(guān)系及組合數(shù)公式求解即可.
【詳解】依題意可知，數(shù)列的前10項(xiàng)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
其中偶數(shù)有3個(gè)，
所以從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取2項(xiàng)，則抽取的2項(xiàng)都是偶數(shù)的概率為，
所以至少有1項(xiàng)是奇數(shù)的概率為.
故選：D.
2．（2022秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谥校┪覈?guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長(zhǎng)為一丈三尺五寸，夏至的晷長(zhǎng)為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說(shuō)法不正確的是（）

A．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為十寸
B．秋分的晷長(zhǎng)為75寸
C．立秋的晷長(zhǎng)比立春的晷長(zhǎng)長(zhǎng)
D．立冬的晷長(zhǎng)為一丈五寸
【答案】C
【分析】由題意可知夏至到冬至的晷長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，可求出，利用等差數(shù)列知識(shí)即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】由題意可知夏至到冬至的晷長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，則，解得（寸），
同理可知由冬至到夏至的晷長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差（單位都為寸）.故選項(xiàng)A正確；
春分的晷長(zhǎng)為,
秋分的晷長(zhǎng)為，所以正確；
立冬的晷長(zhǎng)為，即立冬的晷長(zhǎng)為一丈五寸，正確；
立春的晷長(zhǎng)，立秋的晷長(zhǎng)分別為，
，，故錯(cuò)誤.
故選：C.
3．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）“三分損益法”是古代中國(guó)發(fā)明的制定音律時(shí)所用的生律法.例如：假設(shè)能發(fā)出第一個(gè)基準(zhǔn)音的樂(lè)器的長(zhǎng)度為36，那么能發(fā)出第二個(gè)基準(zhǔn)音的樂(lè)器的長(zhǎng)度為，能發(fā)出第三個(gè)基準(zhǔn)音的樂(lè)器的長(zhǎng)度為，……，也就是依次先減少三分之一，后增加三分之一，以此類(lèi)推.現(xiàn)有一興趣小組采用此規(guī)律構(gòu)造了一個(gè)共12項(xiàng)的數(shù)列用來(lái)研究數(shù)據(jù)的變化，已知，則（）
A．324B．297C．256D．168
【答案】A
【分析】根據(jù)“三分損益法”的規(guī)律可得出數(shù)列中各項(xiàng)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.
【詳解】由損益規(guī)律可知，
即，
解得.
故選：A
4．（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面上有一系列點(diǎn)，，…，…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，以點(diǎn)為圓心的都與軸相切，且與外切.若，且，，的前項(xiàng)之和為，則（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，求出遞推關(guān)系式，通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】因?yàn)榕c外切，且都與軸相切，所以，
即，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，
所以，
所以，
所以
所以，
故選：D
5．（2023秋·北京東城·高三景山學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）若數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．對(duì)任意，都有
B．?dāng)?shù)列可以是常數(shù)列
C．若，則數(shù)列為遞減數(shù)列
D．若，則當(dāng)時(shí)，
【答案】C
【分析】先求得與的遞推關(guān)系式，利用差比較法、換元法，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)以及差比較法求得正確答案.
【詳解】由得，
，依題意，所以，
由于，所以可由，
解得，負(fù)根舍去，
A選項(xiàng)，由于，所以，所以A選項(xiàng)正確；
①，
B選項(xiàng)，若，解得，
此時(shí)是常數(shù)列，所以B選項(xiàng)正確；
令，令，
則，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減數(shù)列，
即，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
同時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)正確.
故選：C
【點(diǎn)睛】根據(jù)遞推關(guān)系研究數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)姆治龇椒?如本題中，已知遞推關(guān)系是形如一元二次方程的形式，所以可以考慮利用一元二次方程的知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.研究數(shù)列的單調(diào)性，可以考慮利用差比較法來(lái)進(jìn)行求解.
二、多選題
6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，.給出下列結(jié)論，其中正確的是（）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．的值是中最大的
【答案】ABD
【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)題目條件逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】對(duì)于A，∵，，即，
，又，又，
，且，
，故A正確；
對(duì)于B，，，即，故B正確；
對(duì)于C，由于，而，故有，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由題可知，
所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，
∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形的一邊在x軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)，都在函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，矩形的周長(zhǎng)為，則＋…＋＝ .

【答案】
【分析】由的坐標(biāo)求得坐標(biāo)，再得坐標(biāo)，從而得矩形周長(zhǎng)，然后由數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法可計(jì)算得解．
【詳解】由題意知，設(shè)，由點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，
得，則，即，
解得或，
所以，所以周長(zhǎng).所以，
.
故答案為：.
8．（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)即為，且，若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由，可先用錯(cuò)位相減法求其和，再利用的單調(diào)性求其范圍，最后通過(guò)處理恒成立問(wèn)題求出的范圍.
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)即為，且
，
，
兩式相減可得：，
. ，單調(diào)遞增，即 .
，，.
又若對(duì)任意，都有，即， .
故答案為： .
四、解答題
9.（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）通過(guò)對(duì)進(jìn)行變形，結(jié)合，得出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)的通項(xiàng)公式進(jìn)行求和，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）因?yàn)?，則化為，
即，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，
不滿足上式，
所以.
（2）結(jié)合（1）得，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>10．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）點(diǎn)（）在函數(shù)圖象上.數(shù)列{}滿足.
(1)證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列.
(2)數(shù)列{}滿足.求為{}前n項(xiàng)和及當(dāng)，求n的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)5
【分析】（1）由指對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，作差法及等差數(shù)列定義證明結(jié)論即可；
（2）由（1）得，應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得，再根據(jù)不等式能成立求n的最小值.
【詳解】（1）由題設(shè)，則，故，
所以數(shù)列{}是公差為3的等差數(shù)列.
（2）由（1）知：，故，
所以①，
則②，
所以①－②得：，
即，
所以，則，又恒成立，
所以遞減，而，故時(shí)恒成立，，
所以n的最小值5.
11．（2021秋·北京·高三景山學(xué)校校考期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若且.
(1)求角的大??；
(2)在①成等差數(shù)列，②成等差數(shù)列，③成等差數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的面積.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和余弦定理，化簡(jiǎn)得到，即可求得的值；
（2）對(duì)于條件①：利用等差中項(xiàng)結(jié)合基本不等式可得，再根據(jù)，可得，利用面積公式即可得結(jié)果；對(duì)于條件②③：利用等差中項(xiàng)，根據(jù)，求得為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，結(jié)合三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理的，整理得，
所以，
又因?yàn)?，所?
（2）選擇條件①：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，
由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，所以，
又由，即，可得，
整理得，即，所以，
又因?yàn)?，且，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
所以.
選條件②：由成等差數(shù)列，所以，
又由，整理得，可得，即，
因?yàn)?，且，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
所以.
選條件③：由成等差數(shù)列，所以，
又由，整理得，可得，即，
因?yàn)?，且，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
所以.
12．（2023秋·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，的前n項(xiàng)的積為，已知是公差為1的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先根據(jù)題意得，再由是等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；
（2）先求出，進(jìn)而求出，從而求出，然后利用裂項(xiàng)相消法求出即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)的積為，
所以，，
又因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，
所以，①
所以當(dāng)時(shí)，，
，②
②①得，
又滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?，?br>當(dāng)時(shí)，
，
所以.

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