2024年江蘇省南京市外國語學(xué)校仙林分校中考一模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.本試卷共6頁.全卷滿分120分.考試時(shí)間為120分鐘.考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效.
2.請認(rèn)真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號(hào)是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.
3.答選擇題必須用2B 鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答非選擇題必須用0.5 毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效.
4、作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.
一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上)
1. 全國深入踐行習(xí)近平生態(tài)文明思想，科學(xué)開展大規(guī)模國土綠化行動(dòng)，厚植美麗中國亮麗底色，2023年完成造林約3990000公頃.用科學(xué)記數(shù)法表示3990000是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：，
故選：C．
2. 實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列計(jì)算結(jié)果為正數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)軸，以及有理數(shù)四則運(yùn)算法則．用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)．
由數(shù)軸得出且，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則逐一判斷即可得．
【詳解】解：由數(shù)軸知且，
則是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，是正數(shù)，
故選：D．
3. 整數(shù)a滿足則a的值為（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握夾逼法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)夾逼法估算無理數(shù)的大小即可求出a的值．
詳解】解：∵，
∴，
故選：B．
4. 如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，弦與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，理解并掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得，再根據(jù)弧，弦之間的關(guān)系得，可得，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出答案．
【詳解】連接，
∵是的直徑，
∴．
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
故選：B．
5. 如圖，在邊長為2的正方形中，E是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，得到．若為等邊三角形，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查正方形與折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，過點(diǎn)作，交于，則四邊形是矩形，根據(jù)等邊三角形、正方形與折疊的性質(zhì)可得，，，，得，，再根據(jù)勾股定理即可求解．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在正方形中，，
由折疊可知，，，，
∴，
過點(diǎn)作，交于，則四邊形是矩形，
∵為等邊三角形，
∴，則，
∴，，，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，即：，
解得：，
故選：A．
6. 若，，三點(diǎn)在同一函數(shù)圖像上，則該函數(shù)圖像可能是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以采用排除法，直接法得出答案．
由點(diǎn)，的坐標(biāo)特點(diǎn)，可知函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，再根據(jù)，的特點(diǎn)和函數(shù)的性質(zhì)，可知在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，由此得出答案．
【詳解】解：，，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱；
由于A、C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；
，
由，可知，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，
對于二次函數(shù)只有時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，
選項(xiàng)不正確，
故選：B．
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上)
7. 代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是_______．
【答案】3
【解析】
【詳解】根據(jù)分式的有意義的條件，分母不能為0，可知x-3≠0，解得x≠3，
因此符合題意的x的取值范圍為x≠3．
故答案為：x≠3．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的意義條件，熟練掌握分母不為0是分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
8. 計(jì)算的結(jié)果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，首先利用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再對二次根式進(jìn)行化簡，最后加減運(yùn)算即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】
，
故答案為：．
9. 分解因式的結(jié)果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
【詳解】解：，
故答案為：．
10. 某校隨機(jī)抽查6名學(xué)生每天完成課后作業(yè)的時(shí)間(單位：分鐘)是：54，62，74，86，90，97，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是____________．
【答案】80
【解析】
【分析】本題考查中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．據(jù)此進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)54，62，74，86，90，97處在中間的兩個(gè)數(shù)為74，86，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
故答案為：80．
11. 計(jì)算的結(jié)果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，先計(jì)算，同時(shí)根據(jù)乘方意義把改寫成，然后利用乘法結(jié)合律計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
12. 如圖，正比例函數(shù)y＝ax與反比例函數(shù)y＝的圖像交于A，B兩點(diǎn)，BCx軸，ACy軸，若S△ABC＝12，則b＝_________．
【答案】6
【解析】
【分析】先設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)正比例函數(shù)的中心對稱性再確定B點(diǎn)坐標(biāo)，于是可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)于b的方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，-），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-），
∴AC=，BC=2m，
∴△ABC的面積=AC?BC=?2m?=12，
∴b=6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)表示出A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
13. 一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則k的值可以是___________．（寫出一個(gè)即可）
【答案】7（答案不唯一，滿足即可）
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，將代入得，可知當(dāng)時(shí)，，由此可得，求解即可，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得是解決問題關(guān)鍵．
【詳解】解：將代入得：，即，
亦即：，
當(dāng)時(shí)，，
∵，即，
∴，
故答案為：7（答案不唯一，滿足即可）．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，以為弦的⊙D與y軸相切．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)、正方形性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交與點(diǎn)，連接，設(shè)得半徑為，由正方形的性質(zhì)及垂徑定理可得，，，在根據(jù)勾股定理即可求解．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點(diǎn)作，交與點(diǎn)，連接，設(shè)得半徑為，
∵，
∴在正方形中，，，
∵以為弦的⊙D與y軸相切，，
∴，則是直徑一部分
則，，
由垂徑定理可得，
在中，，即：，
解得：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
15. 如圖，將矩形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在上．若連接，則的長為___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是證明和是相似三角形，此題難度不大．
作于M，于N，先用勾股定理求出，進(jìn)而用等積法得到AM，利用三角函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)求出，最后證明，得成比例的線段即可得到的長度．
【詳解】解∶

作于M，于N，
，
，
矩形中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案為：．
16. 如圖，在中，，是高，若，則的長的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】取中點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，交于，連接，，可證明，得，則，是的垂直平分線，可知，由三角形三邊關(guān)系可知，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即可求得的最小值為．
【詳解】解：取中點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，交于，連接，，
則，，
∴，
∴，
∵，是高，
∴，，
∴，
∴，則，
∵為中點(diǎn)，，
∴是的垂直平分線，
∴，
由三角形三邊關(guān)系可知，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
即：的最小值為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，垂直平分線的判定及性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，由三角形三邊關(guān)系得是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題(本大題共11小題，共88分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. 計(jì)算．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式加法，再計(jì)算分式的除法即可得．熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
．
18. 解不等式組并寫出不等式組的整數(shù)解．
【答案】，整數(shù)解為整數(shù)解為、0、1．
【解析】
【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
則不等式組的解集為，
所以其整數(shù)解為、0、1．
19. 人口數(shù)據(jù)是研究經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展規(guī)劃的重要依據(jù)，閱讀以下統(tǒng)計(jì)圖，并回答問題．
年中國城鎮(zhèn)人口和鄉(xiāng)村人口的統(tǒng)計(jì)圖
（1）下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是；
①2023年的總?cè)丝诒?017年的總?cè)丝谏伲?br>②2017年我國鄉(xiāng)村人口比上一年下降約；
③年我國城鎮(zhèn)人口逐年增長，且增長率相同．
（2）請結(jié)合上圖提供的信息，從不同角度寫出兩個(gè)與我國人口相關(guān)的結(jié)論．
【答案】（1）② （2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖：
（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行逐一判斷即可；
（2）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述即可．
【小問1詳解】
解：2023年的總?cè)丝?4.09億人比2017年的總?cè)丝?4億人多，故①錯(cuò)誤；
2017年我國鄉(xiāng)村人口比上一年下降約，故②正確；
年我國城鎮(zhèn)人口逐年增長，但增長率逐不同，故③錯(cuò)誤；
綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是②，
故答案為：②；
【小問2詳解】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得，
①年我國城鎮(zhèn)人口逐年增長，年我鄉(xiāng)村人口逐年減少，說明我國逐漸向城鎮(zhèn)化靠攏；
②年我國總?cè)丝谥鹉暝鲩L，但2023年有所下降，說明我國出生率有所上升．
20. 某博物館開設(shè)了A，B，C三個(gè)安檢通道．甲、乙兩人隨機(jī)選擇一個(gè)通道進(jìn)入博物館，
（1）甲從A 通道進(jìn)入博物館的概率是；
（2）求甲、乙從不同通道進(jìn)入博物館的概率．
【答案】（1）
（2）甲、乙從不同通道進(jìn)入博物館的概率為
【解析】
【分析】本題考查的是利用概率的定義求解概率，列表法或樹狀圖法求解概率，熟練掌握概率的定義，以及列出正確的表格或樹狀圖找出符合條件的可能結(jié)果是解題關(guān)鍵．
（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）先列表得出所有等可能結(jié)果，從中找出符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：進(jìn)入博物館總共有三個(gè)通道，即三種可能的結(jié)果，并且他們發(fā)生的可能性相等，
而甲從A 通道進(jìn)入博物館是三種可能結(jié)果中的一種結(jié)果，其概率為：，
故答案為：；
【小問2詳解】
根據(jù)題意列表如下：
總的情況有9種，其中甲、乙從不同通道進(jìn)入博物館的情況有6種，
則甲、乙從不同通道進(jìn)入博物館的概率，
答：甲、乙從不同通道進(jìn)入博物館的概率為．
21. 甲、乙兩個(gè)機(jī)器人檢測零件，甲比乙每小時(shí)多檢測10個(gè)，甲檢測300個(gè)零件所用的時(shí)間與乙檢測240個(gè)零件所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩個(gè)機(jī)器人每小時(shí)各檢測零件多少個(gè)?
【答案】甲機(jī)器人每小時(shí)檢測零件50個(gè)，乙機(jī)器人每小時(shí)檢測零件40個(gè)．
【解析】
【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．設(shè)甲機(jī)器人每小時(shí)檢測零件x個(gè)，則乙機(jī)器人每小時(shí)檢測零件個(gè)，根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程，求解并檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：設(shè)甲機(jī)器人每小時(shí)檢測零件x個(gè)，則乙機(jī)器人每小時(shí)檢測零件個(gè)，
根據(jù)題意有：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
個(gè)．
答：甲機(jī)器人每小時(shí)檢測零件50個(gè)，乙機(jī)器人每小時(shí)檢測零件40個(gè)．
22. 如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）已知，，，當(dāng)?shù)拈L為時(shí)，四邊形是菱形．
【答案】（1）證明過程見詳解；
（2）
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形和菱形的判定，難度適中，解題關(guān)鍵是熟練掌握它們的判定方法并靈活運(yùn)用．
（1）根據(jù)一組對邊平行且相等判斷四邊形是平行四邊形即可；
（2）根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可求出的值．
【小問1詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，
，，
．
又，
，
四邊形是平行四邊形．
【小問2詳解】
解：作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，
,
四邊形是矩形，
,
，
,
,
，
,
在中，，
設(shè),
，則,
在中，，
，
解得：，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．
23. 如圖，一架無人機(jī)沿水平直線飛行進(jìn)行測繪工作.無人機(jī)懸停在P 處，測得前方水平地面上大樹的頂端B 的俯角為，同時(shí)還測得前方某建筑物的頂端D的俯角為．已知點(diǎn)A，B，C，D，P 在同一平面內(nèi)，大樹的高度為，建筑物的高度為，大樹與建筑物的距離為，求無人機(jī)在P 處時(shí)離地面的高度（參考數(shù)據(jù)：，）．
【答案】無人機(jī)在處時(shí)離地面的高度
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，得，，，，設(shè)，則，，利用銳角三角函數(shù)的定義表示出，的長，最后列出關(guān)于x的方程進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，
則四邊形，四邊形均為矩形，
∴，，，，
由題意可知，，，
設(shè)，則，，
在中，，
在中，，
則，解得：，
即：無人機(jī)在處時(shí)離地面的高度．
24. 某公司成功研制出一種產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研，年銷售量y(萬件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系如圖所示，其中曲線為反比例函數(shù)圖像的一部分，為一次函數(shù)圖像的一部分．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知每年該產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用為40萬元，該產(chǎn)品成本價(jià)為4元/件，設(shè)銷售產(chǎn)品年利潤為w(萬元)，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，年利潤最大?最大年利潤是多少?(說明：年利潤年銷售利潤研發(fā)費(fèi)用)
【答案】（1）
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為16元時(shí)，該產(chǎn)品利潤最大，最大利潤是104元
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
（1）分兩段：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用待定系數(shù)法解答，即可求解；
（2）設(shè)利潤為w元，分兩段：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求出w關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
∵點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得：，
∴當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
，
解得，
即當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴y隨x的增大而增大，
∴w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，
∵，
∴當(dāng)銷售單價(jià)為16時(shí)，該產(chǎn)品利潤最大，最大利潤是104元，
答：當(dāng)銷售單價(jià)為16元時(shí)，該產(chǎn)品利潤最大，最大利潤是104元．
25. 如圖，與相交于點(diǎn)E，連接，，．經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的交于點(diǎn)F，且是的切線．
（1）連接，求證：；
（2）求證：
（3）若，，，，則的半徑為．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，由切線性質(zhì)可知，由，，，可推導(dǎo)，進(jìn)而可知，由垂徑定理可得，垂直平分，即可證明結(jié)論；
（2）如圖，連接，由（1）知，，則，結(jié)合圓周角定理可證，進(jìn)而可證明，得，即可證明結(jié)論；
（3）如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接，，結(jié)合題意知，由（2）可知，，可得，由（2）知，則，繼而可得，可知垂直平分，得，由此可得，設(shè)半徑為，則，，在中，，列出方程即可求解．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，交于點(diǎn)，
∵是的切線，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由垂徑定理可得，垂直平分，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖，連接，
由（1）知，，則，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：；
小問3詳解】
解：如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接，，
∵，，則，
由（2）可知，，
∴，
由（2）知，則，即，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
設(shè)半徑為，則，，
在中，，即：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟悉相關(guān)圖形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
26. 已知二次函數(shù) ．
（1）求證：該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）若該函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為且求證
（3）若，，都在該二次函數(shù)的圖像上，且結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出k的取值范圍．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性質(zhì)證明即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，，結(jié)合，求出，，然后代入，整理即可得證；
（3）分對稱軸在y軸左側(cè)和右側(cè)討論，分別畫出草圖，結(jié)合圖象列出不等式組求解即可．
【小問1詳解】
解：，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
【小問2詳解】
解∵該函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為
∴，是的兩個(gè)根，
∴，，
聯(lián)立方程組，
解得，
把代入，得，
整理得；
【小問3詳解】
解：∵，都在該二次函數(shù)的圖像上，
∴拋物線的對稱軸為，
當(dāng)，即時(shí)，
∵，
∴畫出草圖，如下：
或
此時(shí)B的橫坐標(biāo)小于0，不符合題意，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，
∵，
∴畫出草圖，如下：
∴，解得；
或
∴，解得，
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式等知識(shí)，明確題意，合理分類討論，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合列出不等式組是解答第（3）的關(guān)鍵．
27. 幾何問題中需建構(gòu)模型去研究圖形中元素之間的關(guān)系…
在中，P是上一點(diǎn)，點(diǎn)E 在直線的上方，連接，，，探究下列問題：
【認(rèn)識(shí)模型】
（1）如圖①，，
①連接，求證：；
②與滿足的數(shù)量關(guān)系為；
【運(yùn)用模型】
（2）已知，D 是的中點(diǎn)，且，
①如圖②，若P是的中點(diǎn)，連接，求證：；
②若，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置的變化而變化，直接寫出的長的最小值．
【答案】（1）①見解析；②；（2）①見解析；②的最小值為1
【解析】
【分析】（1）①由相似三角形的性質(zhì)可知，，得，，即可證明結(jié)論；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可得結(jié)論；
（2）①先證，得，由中位線定理及斜邊上中線等于斜邊得一半可得，，則，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，，進(jìn)而可得，即可證明結(jié)論；
②由含直角三角形可得，，進(jìn)而可得，由三邊關(guān)系可知，，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)可知，則，得，由，得，可得，由相似三角形的性質(zhì)得，求得，即可得的最小值為1．
【詳解】解：（1）①證明：∵，
∴，，
則，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）證明：∵，
∴，，
則，，
∴，
∴；
∴，
∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，
∴，，
則，，
∵，
∴，，
則，
∴；
②∵，，，
∴，則，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
由三邊關(guān)系可知，，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，
∵，
∴，則，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，即：，
∴，
則，
即：的最小值為1．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．甲
乙
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC

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