專題17 導(dǎo)數(shù)綜合問題：證明不等式、恒成立問題、零點問題 【考點預(yù)測】一、證明不等式常用的方法和思路作差構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題二、不等式恒成立問題常用的方法和思路(1)直接法(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；三、零點問題常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【題型歸納目錄】題型一：證明不等式題型二：恒成立問題題型三：零點問題【典例例題】題型一：證明不等式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習）證明：當時，．    2．（2023春·廣東廣州·高二?？茧A段練習）求證：．    3．（2023·全國·高三專題練習）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時，.    題型二：恒成立問題4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.    5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若，且在上的最小值為0，求的取值范圍.    6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求的圖象在處的切線方程；(2)當時，恒成立，求的取值范圍.    題型三：零點問題7．（2023·四川·高三統(tǒng)考）已知a，b為實數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)證明：函數(shù)有唯一零點．    8．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點個數(shù).    9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)無零點，求的取值范圍．    【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C．或 D．或或3．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)，則（    ）A．在區(qū)間，內(nèi)均有零點B．在區(qū)間，內(nèi)均無零點C．在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間內(nèi)無零點D．在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．5．（2023·全國·高三專題練習）若關(guān)于的不等式，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（   ）A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）7．（2023·全國·高三專題練習）已知a∈R，則函數(shù)零點的個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．與a有關(guān)8．（2023·全國·高三專題練習）若存在，使得不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍為（    ）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值可以是（    ）A． B． C．0 D．110．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)存在三個不同的零點B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．若時，，則t的最小值為2D．當時，方程有且只有兩個實根11．（2023·全國·高三專題練習）下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．12．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)與的圖象恰有一個公共點，則實數(shù)可能取值為　　A．2 B．1 C．0 D．三、填空題13．（2023·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末），若關(guān)于x的方程在上有根，則實數(shù)m的取值范圍是 _____．14．（2023·全國·高三專題練習）若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)a的取值范圍為________．15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，，，使不等式成立，則的取值范圍是______.16．（2023·全國·高三專題練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．(1)求證：函數(shù)有唯一的零點，并求出此零點；(2)求曲線過點的切線方程．    18．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)若在時取得極小值，求實數(shù)k的值；(2)若過點可以作出函數(shù)的兩條切線，求證：     19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若恰有一個零點，求a的值．    20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣3lnx.(1)若a＝1，證明：f（x）≥1；(2)討論f（x）的單調(diào)性.    21．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)記的兩個極值點為，，求證：.    22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．     
 

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