廣東省深圳市寶安區(qū)重點(diǎn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則（　?。?/span>A． B． C． D．2．某物體的運(yùn)動(dòng)路程單位：與時(shí)間單位：的關(guān)系可用函數(shù)表示，則該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（　　）A． B． C． D．3．某商場(chǎng)的展示臺(tái)上有件不同的商品，擺放時(shí)要求，兩件商品必須在一起，則擺放的種數(shù)為（　?。?/span>A． B． C． D．4．在等比數(shù)列中，，公比，則與的等比中項(xiàng)是（　?。?/span>A．1 B．3 C． D．5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）A． B． C． D．6．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（　?。?/span>A．0 B．20 C．10 D．307．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，則（　?。?/span>A．4043 B．4044 C．4045 D．40468．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（　　）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．現(xiàn)有男女學(xué)生共人，從男生中選取人，從女生中選取人，共有種不同的選法，其中男生有（　?。?/span>A．人 B．人 C．人 D．人10．在曲線(xiàn)上的切線(xiàn)的傾斜角為點(diǎn)的橫坐標(biāo)可能為（　?。?/span>A． B． C． D．11．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫(huà)在同一直角坐標(biāo)系中，可能正確的是（　?。?/span>A． B．C． D．12．如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小半圓其直徑為前一個(gè)剪掉半圓的半徑得圖形，，，，，記紙板的周長(zhǎng)為，面積為，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?A． B．C． D．三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為　     　．14．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是　     　寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)通項(xiàng)公式即可15．現(xiàn)有編號(hào)為，，，，，的個(gè)不同的小球，若將這些小球排成一排，要求球不在最邊上，且，，各不相鄰，則有　     　種不同的排法．用數(shù)字作答16．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)于，有，且在上，恒有若有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　         　．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求．18．已知函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)，且．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）如果函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用單位：萬(wàn)元與隔熱層厚度單位；滿(mǎn)足關(guān)系：，設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與年的能源消耗費(fèi)用之和．（1）求的表達(dá)式；（2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值．21．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且有最小值．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．22．已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)，，若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．
答案解析部分1．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性【解析】【解答】 ，，，，，，數(shù)列 是以3為周期的數(shù)列，
，
故答案為：C
【分析】由 ，求出數(shù)列前幾項(xiàng)找出規(guī)律求解 2．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】變化的快慢與變化率【解析】【解答】由導(dǎo)數(shù)的物理意義知路程在某時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值是物體在該時(shí)刻的瞬時(shí)速度，
， ，物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為.
故答案為：D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的物理意義進(jìn)行求解。3．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；排列及排列數(shù)公式【解析】【解答】第一步捆綁 ，兩件商品共有種擺放種數(shù)，第二步，兩件商品看為一個(gè)整體與余下4個(gè)商品全排列共有種擺放種數(shù)，所以總共有種擺放的種數(shù)。
故答案為：A
【分析】利用捆綁法求解。4．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列概念與表示；等比數(shù)列的性質(zhì)【解析】【解答】數(shù)列 為等比數(shù)列，，與的等比中項(xiàng)是.
故答案為：D
【分析】先求出，再利用等比中項(xiàng)定義求 與的等比中項(xiàng)。5．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。
故答案為：A
【分析】求導(dǎo)分析得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。6．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【解答】 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，又 ，
展開(kāi)式中 的項(xiàng)有令則，，
令則，，
展開(kāi)式中的系數(shù)為.
故答案為：B
【分析】利用分配律結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解。7．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】【解答】由題意知新的等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)，數(shù)列通項(xiàng)公式為，.
故答案為：C
【分析】先新的等差數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解 。8．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用【解析】【解答】由 ，令，
和都是增函數(shù)，是增函數(shù)，
只需證明，即恒成立，
令，則，
，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
故答案為：D
【分析】將式子轉(zhuǎn)化為 ，利用函數(shù)單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而求解。9．【答案】C,D【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；組合及組合數(shù)公式【解析】【解答】設(shè)男生有人，第一步男生中選取人有種不同的選法，第二步女生中選取人有種不同的選法，共有，解得或.
故答案為：CD
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算。10．【答案】A,D【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【解析】【解答】設(shè) 切線(xiàn)的傾斜角為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，則由題意知，即，或，解得，符合條件的選項(xiàng)有AD。
故答案為：AD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。11．【答案】A,B,C【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】A、當(dāng)曲線(xiàn)是原函數(shù) ，直線(xiàn)是 時(shí)符合條件，A正確；
B、當(dāng)上方曲線(xiàn)是原函數(shù) ，下方曲線(xiàn)是 時(shí)符合條件，B正確；
C、當(dāng)下方曲線(xiàn)是原函數(shù) ，上方曲線(xiàn)是 時(shí) ??符合條件，C正確；
D、當(dāng)上方曲線(xiàn)是原函數(shù) ，有減區(qū)間顯然不符合題意，當(dāng)下方曲線(xiàn)是原函數(shù)直線(xiàn)是 恒顯然不符合題意，D錯(cuò)誤。
故答案為：ABC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷選項(xiàng)。12．【答案】A,C【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的遞推公式【解析】【解答】A、C：紙板比紙板多減去一個(gè)半徑為 的半圓，，，
，，A、C正確；
B、D：紙板比紙板多減去一個(gè)半徑為 的半圓，，，
，，，通過(guò)累加得 ，
，B、D錯(cuò)誤。
故答案為：AC
【分析】分析題意得出紙板比紙板多減去一個(gè)半徑為 的半圓，進(jìn)而求得 和 的通項(xiàng)公式可判斷選項(xiàng)。13．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【解答】 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令則 展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：
【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解。14．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列概念與表示；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】【解答】 等比數(shù)列滿(mǎn)足，，，，
，令，則。
故答案為：
【分析】由 列出等式解出首項(xiàng)，寫(xiě)出一個(gè)首項(xiàng)為的等比數(shù)列即可 ．15．【答案】120【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合【解析】【解答】第一步先排列 ，，共有種排法，第二步第一類(lèi)，， 插入個(gè)小球時(shí)又 球不在最邊上有種排法 ，第一類(lèi)，， ???????插入個(gè)小球時(shí)又 球不在最邊上有種排法 ???????，所以總共有種排法。
故答案為：
【分析】先排列 ，， 再利用插空法求解。16．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系【解析】【解答】令，對(duì)于 ，有， 是奇函數(shù)，
，由題意知當(dāng)時(shí)，有，在 單調(diào)遞減，又 是奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞減，
由 ，有，
，即，解得．
故答案為：
【分析】構(gòu)造函數(shù) ，將 轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)單調(diào)性求實(shí)數(shù)的取值范圍。17．【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，， 數(shù)列是等比數(shù)列，，解得；（2）解：， 則，解得．【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】【分析】（1）利用 ，求出數(shù)列 的通項(xiàng)，由   求出 的值 ；
（2）將 代入前項(xiàng)和公式求．18．【答案】（1）解：函數(shù)， ．，，解得則，，令，解得，由得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由題知，， 函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在恒成立，即，即，恒成立，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，得到在恒成立，進(jìn)而求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．【答案】（1）解：由，得， 所以，累乘得，又，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以．（2）解：由(1)，得， 所以．【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式【解析】【分析】（1）由題意得，利用累乘求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）求出得，利用裂項(xiàng)求數(shù)列的前項(xiàng)和 。20．【答案】（1）解：每年能源消耗費(fèi)用為，建造費(fèi)用為， ；（2）解：，令得或舍， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為萬(wàn)元．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【分析】（1）由題意得到 的表達(dá)式；
（2）求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)求隔熱層修建多厚時(shí)總費(fèi)用達(dá)到最小值。21．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為， 由，，得，解得或．有最小值，．則，；（2）解：由，得． 數(shù)列的前項(xiàng)小于等于，第項(xiàng)起大于，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．．【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和【解析】【分析】（1）由已知先求出首項(xiàng)為，公差為，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求和。
（2）當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和為 。
 22．【答案】（1）解：證明：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)任意恒成立， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；又，所以函數(shù)在定義域上有且僅有個(gè)零點(diǎn)．（2）解：因?yàn)?/span>， 所以．由題意知，是方程在內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，又，且函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，所以只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．證明如下：由，是方程的兩根，得，，故，又，所以．【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；函數(shù)的零點(diǎn)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）由題意知，是方程在內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，利用一元二次方程根的分布求出的取值范圍，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，進(jìn)而證明 。

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