【必備知識(shí)】
一、圓錐擺模型及水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
1.圓錐擺模型
(1)常見的圓錐擺模型
物體受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，稱為圓錐擺模型。
(2)圓錐擺問(wèn)題的分析思路
①對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，確定向心力來(lái)源。
②確定圓心和半徑。
③應(yīng)用相關(guān)規(guī)律列方程求解。在豎直方向根據(jù)平衡條件列式，在水平方向根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律列式。
2.兩類常見模型的臨界情況分析
(1)水平轉(zhuǎn)盤模型
①如果只有摩擦力提供向心力，物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力，則最大靜摩擦力fm＝eq \f(mv2,r)，方向指向圓心。
②如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其臨界情況要根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行判斷，如判斷某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)的方向(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等)。
(2)圓錐擺模型
①繩上拉力的臨界條件是：繩恰好拉直且沒有彈力或繩上的拉力恰好達(dá)到最大值。
②接觸或脫離的臨界條件是：物體與物體間的彈力恰好為零。
③對(duì)于半球形碗內(nèi)的水平圓周運(yùn)動(dòng)有兩類臨界情況：摩擦力的方向發(fā)生改變；恰好發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。
二、豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型及其臨界問(wèn)題
1．豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型
在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況(除重力外)，可分為三種模型：一是只有拉(壓)力，如球與繩連接、沿內(nèi)軌道的“過(guò)山車”等，稱為“輕繩模型”；二是只有推(支撐)力，稱為“拱橋模型”；三是可拉(壓)可推(支撐)，如球與桿連接、小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等，稱為“輕桿模型”。
【實(shí)戰(zhàn)通關(guān)】
一、單選題
1．如圖所示，照片中視為質(zhì)點(diǎn)的汽車在水平路面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圖中圓形虛線所示為該車運(yùn)動(dòng)軌跡，半徑R為50m，假設(shè)汽車受到的最大靜摩擦力等于車重的0.2倍，g取。則運(yùn)動(dòng)的汽車（ ）
A．所受的合力可能為零
B．只受重力和地面的支持力作用
C．所需的向心力由重力和支持力的合力提供
D．最大速度不能超過(guò)10m/s
【答案】D
【詳解】A．由題意可知，汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其汽車受到的靜摩擦力提供做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以其合力不可能為零，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
BC．對(duì)汽車受力分析，其受到重力、支持力以及靜摩擦力，其中靜摩擦力提供汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故BC錯(cuò)誤；
D．由之前的分析，設(shè)最大速度為v，有
解得
故D項(xiàng)正確。
故選D。
2．“彎道超車”有何要求？某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)題邀你作答：在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，當(dāng)你以7m/s的速率通過(guò)半徑約35m的半圓形彎道時(shí)，若重力加速度取，則你所需的向心力約為重力的（ ）
A．0.2倍B．2倍C．1.4倍D．0.14倍
【答案】D
【詳解】做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力約為
故選D。
3．如圖所示，半徑為 R 的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心 O 的對(duì)稱軸重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為 m 的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為 0，且它和 O 點(diǎn)的連線與之間的夾角θ，重力加速度為 g。轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】對(duì)小物塊受力分析，由題意可知，小物塊受重力，和罐壁的支持力，由牛頓第二定律可得
解得
故選C。
4．2022年2月5日在首都體育館，任子威、曲春雨、范可新、武大靖和張雨婷組成的中國(guó)隊(duì)奪得北京冬奧會(huì)短道速滑男女2000米混合接力冠軍，為中國(guó)體育代表團(tuán)收獲了北京冬奧會(huì)的首枚金牌。短道速滑運(yùn)動(dòng)員在過(guò)水平彎道時(shí)常用手支撐冰面以防側(cè)滑，某運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為75kg，某次過(guò)彎道時(shí)的半徑為25m，速率為36km/h，冰刀與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，手套與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度。過(guò)彎道滑行時(shí)的運(yùn)動(dòng)員手腳距離相對(duì)半徑可忽略，彎道滑行的過(guò)程視為一段圓周運(yùn)動(dòng)，則該運(yùn)動(dòng)員不發(fā)生側(cè)滑受到的摩擦力為（ ）

A．300NB．250NC．200ND．150N
【答案】A
【詳解】根據(jù)摩擦力提供運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可知該運(yùn)動(dòng)員不發(fā)生側(cè)滑受到的摩擦力為
故選A。
5．如圖所示，餐桌上的自動(dòng)轉(zhuǎn)盤在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)盤上放有A、B，兩個(gè)茶杯。若轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速變大，以下關(guān)于茶杯運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．若A、B是完全相同的茶杯，離圓心越遠(yuǎn)的杯子更容易發(fā)生滑動(dòng)
B．若A、B與轉(zhuǎn)盤動(dòng)摩擦因數(shù)相同，且均放在轉(zhuǎn)盤邊沿，質(zhì)量越小的杯子更容易發(fā)生滑動(dòng)
C．若A、B與轉(zhuǎn)盤動(dòng)摩擦因數(shù)相同，且均放在轉(zhuǎn)盤邊沿，質(zhì)量越大的杯子更容易發(fā)生滑動(dòng)
D．若A、B質(zhì)量相同，放在轉(zhuǎn)盤任意位置，與轉(zhuǎn)盤之間動(dòng)摩擦因數(shù)越大的杯子更容易發(fā)生滑動(dòng)
【答案】A
【詳解】根據(jù)
可得發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界角速度為
A．若A、B是完全相同的茶杯，可知離圓心越遠(yuǎn)的杯子發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速越小，更容易發(fā)生滑動(dòng)，故A正確；
BC．若A、B與轉(zhuǎn)盤動(dòng)摩擦因數(shù)相同，且均放在轉(zhuǎn)盤邊沿，可知發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速與杯子的質(zhì)量無(wú)關(guān)，故BC錯(cuò)誤；
D．若A、B質(zhì)量相同，放在轉(zhuǎn)盤任意位置，與轉(zhuǎn)盤之間動(dòng)摩擦因數(shù)越大的杯子不一定更容易發(fā)生滑動(dòng)，還得看兩杯子離圓心的距離，故D錯(cuò)誤。
故選A。
6．圖甲為兒童玩具撥浪鼓，其簡(jiǎn)化模型如圖乙，撥浪鼓上分別系有長(zhǎng)度不等的兩根細(xì)繩，繩一端系著小球，另一端固定在關(guān)于手柄對(duì)稱的鼓沿上；A、B兩球相同，連接A球的繩子更長(zhǎng)一些，現(xiàn)使鼓繞豎直方向的手柄勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，兩小球在水平面內(nèi)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．兩球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子與豎直方向的夾角
B．A、B兩球的向心加速度相等
C．A球的線速度小于B球的線速度
D．A球所受的繩子拉力大于B球所受的繩子拉力
【答案】D
【詳解】A．小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩子拉力與重力的合力提供小球的向心力，則有
可得
由于兩球角速度相同，相同，則越大，越大；故有
故A錯(cuò)誤；
B．對(duì)兩小球，分別根據(jù)牛頓第二定律可得
，
解得
，
由于，則有
故B錯(cuò)誤；
C．由
由于兩球的角速度相等，A球的軌道半徑比B球的軌道半徑大，則A球的線速度大于B球的線速度，故C錯(cuò)誤；
D．A球所受的繩子拉力大小為
B球所受的繩子拉力大小
因，則有
故D正確。
故選D。
二、多選題
7．如圖所示，細(xì)桿的一端與小球相連，可繞過(guò)O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)桿長(zhǎng)0.5m，小球質(zhì)量為3.0kg?，F(xiàn)給小球一初速度使它做圓周運(yùn)動(dòng)，若小球通過(guò)軌道最低點(diǎn)a處的速度為，通過(guò)軌道最高點(diǎn)b處的速度為，取，則小球通過(guò)最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)桿作用力的情況是（ ）

A．a(chǎn)處為拉力，方向豎直向下，大小為246N
B．a(chǎn)處為拉力，方向豎直向上，大小為246N
C．b處為拉力，方向豎直向下，大小為6N
D．b處為壓力，方向豎直向下，大小為6N
【答案】AD
【詳解】AB．小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)a時(shí)，受重力和桿的彈力F2，如圖所示

由于合力提供向心力，即合力向上，故細(xì)桿對(duì)球有豎直向上的拉力，則小球?qū)?xì)桿有豎直向下的拉力。由牛頓第二定律得
解得
故A正確，B錯(cuò)誤；
CD．在b處，假設(shè)細(xì)桿對(duì)球的作用力豎直向下，如圖所示

由牛頓第二定律得
解得
即方向豎直向上，則小球?qū)?xì)桿的作用力為壓力，方向豎直向下，故C錯(cuò)誤，D正確。
故選AD。
8．重慶云陽(yáng)龍缸大秋千經(jīng)過(guò)1000多次的假人測(cè)試及50次以上的真人體驗(yàn)于2020年7月13日開放。由四根秋千繩組成的秋千擺，其擺動(dòng)半徑約100m。若有一質(zhì)量為50kg的體驗(yàn)者（含秋千踏板）蕩秋千，秋千運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度約為30m/s，g取10m/s2，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．?dāng)[到最高點(diǎn)時(shí)，體驗(yàn)者的速度為零，處于平衡狀態(tài)
B．在高速擺動(dòng)的過(guò)程中，體驗(yàn)者受到的合力始終指向圓心
C．?dāng)[到最低點(diǎn)時(shí)，體驗(yàn)者的向心加速度大小為9m/s2
D．在最低點(diǎn)時(shí)，四根秋千繩對(duì)體驗(yàn)者（含秋千踏板）拉力的合力約為950N
【答案】CD
【詳解】A．?dāng)[到最高點(diǎn)時(shí)，體驗(yàn)者的速度為零，但加速度不為零，不是處于平衡狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；
B．在高速擺動(dòng)的過(guò)程中，由于體驗(yàn)者不是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則體驗(yàn)者受到的合力不是始終指向圓心，故B錯(cuò)誤；
C．?dāng)[到最低點(diǎn)時(shí)，體驗(yàn)者的向心加速度大小為
故C正確；
D．在最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)四根秋千繩對(duì)體驗(yàn)者（含秋千踏板）拉力的合力為，根據(jù)牛頓第二定律可得
解得
故D正確。
故選CD。
9．城市中為了解決交通問(wèn)題，修建了許多立交橋。如圖所示，橋面是半徑為R的圓弧形的立交橋AB橫跨在水平路面上，一輛質(zhì)量為m的小汽車，從A端以不變的速率駛過(guò)該立交橋，小汽車速度大小為，則（ ）
A．小汽車通過(guò)橋頂時(shí)處于失重狀態(tài)
B．小汽車通過(guò)橋頂時(shí)處于平衡狀態(tài)
C．小汽車在橋上最高點(diǎn)受到橋面的支持力大小為
D．小汽車到達(dá)橋頂時(shí)的速度必須不大于
【答案】ACD
【詳解】AB．小汽車通過(guò)橋頂時(shí)，加速度方向向下，處于失重狀態(tài)，故A正確，B錯(cuò)誤；
C．小汽車在橋上最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得
解得小汽車受到橋面的支持力大小為
故C正確；
D．根據(jù)
解得
可知小汽車到達(dá)橋頂時(shí)的速度必須不大于，故D正確。
故選ACD。
10．如圖所示的四幅圖表示的是有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)的基本模型，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．圖a，汽車通過(guò)拱橋的最高點(diǎn)時(shí)處于失重狀態(tài)
B．圖b，火車轉(zhuǎn)彎超過(guò)規(guī)定速度行駛時(shí)，輪緣對(duì)外軌有側(cè)向擠壓作用
C．圖c，若A、B均相對(duì)靜止，半徑，質(zhì)量，則、所受摩擦力
D．圖d是一圓錐擺，增加繩長(zhǎng)，保持圓錐的高度不變，則圓錐擺的角速度增大
【答案】AB
【詳解】A．汽車通過(guò)拱橋的最高點(diǎn)時(shí)，所需向心力向下，加速度向下，處于失重狀態(tài)，A正確；
B．火車轉(zhuǎn)彎超過(guò)規(guī)定速度行駛時(shí)，需要較大向心力，則外軌對(duì)輪緣施加彈力作用，B正確；
C．根據(jù)
由題意得
C錯(cuò)誤；
D．設(shè)圓錐高度為h，根據(jù)牛頓第二定律
又
得
則圓錐擺的角速度相同，D錯(cuò)誤。
故選AB。
11．如圖所示，長(zhǎng)為的輕桿，一端固定一個(gè)小球；另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球過(guò)最高點(diǎn)的速度為v，下列敘述中正確的是（ ）
A．v的值必須大于等于
B．當(dāng)v由零逐漸增大時(shí)，小球在最高點(diǎn)所需向心力也逐漸增大
C．當(dāng)v由值逐漸增大時(shí)，桿對(duì)小球的彈力逐漸增大
D．當(dāng)v由值逐漸減小時(shí)，桿對(duì)小球的彈力逐漸減小
【答案】BC
【詳解】A．由于是輕桿，則小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的速度v的值只要大于等于零即可，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)
可知，當(dāng)v由零逐漸增大時(shí)，小球在最高點(diǎn)所需向心力也逐漸增大，選項(xiàng)B正確；
C．當(dāng)輕桿受彈力為零時(shí)
此時(shí)
當(dāng)v由值逐漸增大時(shí)，桿對(duì)小球有向下的拉力，則由
可知，桿對(duì)小球的彈力逐漸增大，選項(xiàng)C正確；
D．當(dāng)v由值逐漸減小時(shí)，桿對(duì)小球有向上的支持力，由
可知，桿對(duì)球的彈力逐漸增加，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
故選BC。
12．圖甲為游樂場(chǎng)中一種叫“魔盤”的娛樂設(shè)施，游客坐在轉(zhuǎn)動(dòng)的魔盤上，當(dāng)魔盤轉(zhuǎn)速增大到一定值時(shí)，游客就會(huì)滑向盤邊緣，其裝置可以簡(jiǎn)化為圖乙。若魔盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，游客與魔盤相對(duì)靜止，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．游客受到的合外力方向沿斜面向上指向轉(zhuǎn)軸
B．游客處于平衡狀態(tài)，合外力為零
C．若魔盤角速度緩慢增加，游客受到魔盤的摩擦力也會(huì)緩慢增大
D．若魔盤角速度緩慢增加，游客受到魔盤的作用力也會(huì)緩慢增大
【答案】CD
【詳解】AB．根據(jù)題意可知，游客與魔盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，游客受到的合外力提供向心力，方向指向圓心，即沿水平方向指向轉(zhuǎn)軸，故AB錯(cuò)誤；
CD．根據(jù)題意，對(duì)游客受力分析，如圖所示

游客在豎直方向上受力平衡，有
在水平方向上由牛頓第二定律有
由于乘客的重力保持不變，魔盤的傾斜角度不變，魔盤角速度緩慢增大，游客所需向心力增大，因此只有摩擦力增大，減小，游客受到魔盤的作用力在豎直與重力相等，在水平方向的分力提供向心力，向心力緩慢增大，所以游客受到摩盤的作用力大小緩慢增大，故CD正確。
故選CD。
三、解答題
13．如圖所示，光滑的矩形金屬框MNQP處于豎直平面內(nèi)，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定在M點(diǎn)，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球穿過(guò)豎直邊PQ。已知輕繩與豎直方向的夾角為，MN、PQ足夠長(zhǎng)，重力加速度為g。
（1）若金屬框靜止不動(dòng)，求小球?qū)p繩的拉力大小F；
（2）若小球和金屬框一起在豎直平面內(nèi)水平向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，PQ邊對(duì)小球的作用力恰好為零，求金屬框的加速度大小a；
（3）若金屬框繞MN邊勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，PQ邊對(duì)小球的作用力恰好為零，求金屬框轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）當(dāng)金屬框和小球靜止不動(dòng)時(shí)，設(shè)輕繩對(duì)小球的拉力大小，豎直方向有
由牛頓第三定律可得
解得小球?qū)p繩的拉力大小
（2）當(dāng)小球和金屬框一起向左勻加速運(yùn)動(dòng)，有
解得
（3）當(dāng)小球繞MN邊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有
由幾何關(guān)系得
解得
14．如圖所示，一環(huán)形車道豎直放置，半徑，特技演員以恒定速率行駛，演員與汽車的總質(zhì)量為。已知，則：
（1）若汽車以恒定的速率運(yùn)動(dòng)，則汽車通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)受到環(huán)形車道的壓力大??？
（2）若要挑戰(zhàn)成功，汽車的速率最小值為多少？
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）汽車做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)對(duì)汽車進(jìn)行分析有
解得
由牛頓第三定律可知壓力與支持力二者為相互作用力，大小相等，方向相反；
（2）若要挑戰(zhàn)成功，即能夠順利通過(guò)最高點(diǎn)，當(dāng)速率最小時(shí)，在最高點(diǎn)恰好由重力提供向心力，則有
解得
15．如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量的小物塊，用長(zhǎng)的細(xì)線將物塊連接到轉(zhuǎn)軸上，此時(shí)細(xì)線恰好繃直無(wú)拉力，細(xì)線與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角，物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，現(xiàn)使轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開始逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)。，，。求：
（1）當(dāng)繩子剛好出現(xiàn)拉力時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)角速度為多大？
（2）當(dāng)物塊剛要離開轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)角速度為多大？
（3）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)角速度為時(shí)，細(xì)線的拉力為多大？

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）由題意可知，當(dāng)繩子剛好出現(xiàn)拉力時(shí)，靜摩擦力提供向心力，物塊所受的最大靜摩擦力大小為
根據(jù)牛頓第二定律
解得
（2）物塊剛要離開轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物塊的支持力恰好為零，水平方向，根據(jù)牛頓第二定律
豎直方向，根據(jù)平衡條件
聯(lián)立解得
（3）由于
物塊受力分析如圖所示
水平方向
豎直方向
其中
聯(lián)立解得
16．一根長(zhǎng)為的輕繩兩端分別固定在一根豎直棒上的A、B兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為的光滑小圓環(huán)C套在繩子上，如圖所示，當(dāng)豎直棒以一定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓環(huán)以B為圓心在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（，g取）則：
（1）此時(shí)輕繩上的張力大小等于多少？
（2）豎直棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大？

【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）對(duì)圓環(huán)受力分析如圖

圓環(huán)在豎直方向所受合外力為零，則
所以此時(shí)輕繩上的張力大小為
（2）圓環(huán)C在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于圓環(huán)光滑，所以圓環(huán)兩端繩的拉力大小相等。BC段繩水平時(shí)，圓環(huán)C做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由幾何關(guān)系
解得，圓環(huán)C做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為
水平方向，由牛頓第二定律
解得，豎直棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

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