2024.4
（考試時間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（1）已知全集，則
（A）（B）（C）（D）
（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（3）在中，，則
（A）（B）或（C）（D）或
（4）已知，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的
（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件
（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件
（5）已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則
（A）（B）（C）（D）
（6）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則
（A）（B）（C）（D）
（7）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，分別是與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．若是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為
（A）（B）（C）（D）
（8）在中，，點(diǎn)在線段上．當(dāng)取得最小值時，
（A）（B）（C）（D）
（9）在棱長為的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)在平面內(nèi)，且．則下列說法正確的是
（A）存在點(diǎn)，使得直線與直線相交
（B）存在點(diǎn)，使得直線平面
（C）直線與平面所成角的大小為
（D）平面被正方體所截得的截面面積為
（10）已知個大于2的實(shí)數(shù)，對任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為
（A）14（B）16（C）21（D）23
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
（11）在的展開式中，的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
（12）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則________；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則________．
（13）已知函數(shù)若實(shí)數(shù)滿足，則________；的取值范圍是________．
（14）已知函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線與其在點(diǎn)處的切線相互垂直，則的一個取值為________．
（15）設(shè)為兩個非空有限集合，定義，其中表示集合的元素個數(shù)．某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為．已知物理，化學(xué)，生物，地理，物理，化學(xué)，思想政治，歷史，地理，給出下列四個結(jié)論：
①若，則思想政治，歷史，生物；
②若，則地理，物理，化學(xué)；
③若={思想政治，物理，生物}，則；
④若，則={思想政治，地理，化學(xué)}．
其中所有正確結(jié)論的序號是________．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題13分）
已知函數(shù)的最小正周期為．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
條件①：的最大值為；
條件②：的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
條件③：的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分．
（17）（本小題14分）
如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）已知，是線段上一點(diǎn)，當(dāng)時，求二面角的余弦值．
（18）（本小題13分）
為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市高中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模論文征文活動．對于參加征文活動的每篇論文，由兩位評委獨(dú)立評分，取兩位評委評分的平均數(shù)作為該篇論文的初評得分．從評委甲和評委乙負(fù)責(zé)評審的論文中隨機(jī)抽取10篇，這10篇論文的評分情況如下表所示．
（Ⅰ）從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的概率；
（Ⅱ）從這10篇論文中隨機(jī)抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不超過5的篇數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）對于序號為的論文，設(shè)評委甲的評分為，評委乙的評分為，分別記甲、乙兩位評委對這10篇論文評分的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，以作為序號為的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分．對這10篇論文按照初評得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相同？（結(jié)論不要求證明）
（19）（本小題15分）
已知橢圓的離心率為，分別是的左、右頂點(diǎn)，是上異于的點(diǎn)，的面積的最大值為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，分別在軸的兩側(cè)，且與的面積相等．
（ⅰ）求證：直線與直線的斜率之積為定值；
（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
（20）（本小題15分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若關(guān)于的不等式無整數(shù)解，求的取值范圍．
（21）（本小題15分）
若有窮自然數(shù)數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，其中，表示這個數(shù)中最大的數(shù)；
②，其中，表示這個數(shù)中最小的數(shù)．
（Ⅰ）判斷是否為數(shù)列，說明理由；
（Ⅱ）若是數(shù)列，且成等比數(shù)列，求；
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）證明：對任意數(shù)列，存在實(shí)數(shù)，使得．
（表示不超過的最大整數(shù)）
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）序號
評委甲評分
評委乙評分
初評得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
北京市朝陽區(qū)高三年級第二學(xué)期質(zhì)量檢測一
數(shù)學(xué)參考答案 2024.4
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
（1）D（2）A（3）D（4）A（5）D
（6）C（7）C（8）B（9）C（10）D
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
（11）（12）（13）
（14）（答案不唯一）（15）① ③
三、解答題（共6小題，共85分）
（16）（共13分）
解：因?yàn)榈淖钚≌芷冢裕?br>所以．
（Ⅰ）因?yàn)?，所以?br>又，且，
所以．5分
（Ⅱ）選條件①②：
因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以．
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
所以，即．
因?yàn)椋裕?br>所以．
所以

．
令，
得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．13分
選條件①③：
因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以．
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，即．
因?yàn)椋裕?br>所以，即．
下同選條件①②．13分
選條件②③：
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
所以，即．
因?yàn)?，所以?br>所以．
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以．
所以．
下同選條件①②．13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接．
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?br>所以平面．
又平面，
所以．5分
（Ⅱ）因?yàn)閭?cè)面底面，且，平面，
平面平面，
所以平面．
又平面，所以．
又因?yàn)椋?br>如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)?，所以?br>則．
所以．
因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，設(shè)．
所以．
因?yàn)椋?，解得?br>所以．
設(shè)平面的法向量為，則
即
令，則．于是．
因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量為?br>所以．
由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為．14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）設(shè)事件為“從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5”，
在這篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的有2篇，
所以．4分
（Ⅱ）依題意，的可能取值為．
，
，
．
所以的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為．10分
（Ⅲ）相同．13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由題知的最大值為，
依題意解得
所以的方程為．5分
（Ⅱ）設(shè)，，則．
（ⅰ）由題知，所以，
即，故．
設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，
所以．
所以直線與直線的斜率之積為定值．
（ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)使得，
因?yàn)?，，?br>所以．
由（?。┛芍?br>所以，
即．
所以．
又，所以．
所以，
整理得，解得，與矛盾．
所以不存在點(diǎn)使得．15分
（20）（共15分）
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（Ⅰ）當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，．
= 1 \* GB3 ①若，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
②若，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．8分
（Ⅱ）由可得．
設(shè)函數(shù)，則．
令，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
又，，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．
= 1 \* GB3 ①若，當(dāng)時，，
此時有無窮多個整數(shù)解，不符合題意．
= 2 \* GB3 ②若，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，．
所以無整數(shù)解，符合題意．
= 3 \* GB3 ③若，因?yàn)椋?br>所以是的兩個整數(shù)解，不符合題意．
綜上，的取值范圍是．15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）不是數(shù)列．理由如下：
因?yàn)椋?br>所以．
但，所以不滿足性質(zhì)①，故不是數(shù)列．4分
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的定義，可知滿足：
或，或．
（1）若，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以．
又因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時，由得．
（2）若，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以．
當(dāng)時，由得，
與是自然數(shù)矛盾，舍去．
當(dāng)時，由得，
與是自然數(shù)矛盾，舍去．
所以，，．
由，以及，
可知，所以．
由，以及，
可知．
由，
以及，
可知，所以．9分
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）當(dāng)時，根據(jù)數(shù)列的定義，可知或．
若，取，則，結(jié)論成立．
若，取，則，結(jié)論成立．
假設(shè)存在自然數(shù)，存在數(shù)列使得結(jié)論不成立，設(shè)這樣的的最小值為，
即存在數(shù)列，對任意實(shí)數(shù)，存在，使得．
根據(jù)假設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)組成的數(shù)列是一個數(shù)列，
從而存在實(shí)數(shù)，使得．
所以，
即．
令，則．
令，則．
（1）若，根據(jù)的定義，存在，使得，
又，
則，
且，所以．
（2）若，根據(jù)的定義，存在，使得，
又，
則，
且，所以．
所以．
令，則，
即，
所以．
所以，即，與假設(shè)矛盾．
綜上，結(jié)論成立．15分

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