2024.4
本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分（選擇題共40分）
一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.已知全集，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
3.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A.60 B.15 C.-60 D.-15
4.已知拋物線與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，則的準(zhǔn)線方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.設(shè)，其中，則（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則（ ）
A.-1 B.1 C.-7 D.7
7.已知函數(shù)若存在最小值，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
8.在等比數(shù)列中，.則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
9.關(guān)于函數(shù)，給出下列三個(gè)命題：
①是周期函數(shù)；
②曲線關(guān)于直線對(duì)稱；
③在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn).
其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10.德國(guó)心理學(xué)家艾·賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出“遺忘曲線”.“遺忘曲線”中記憶率隨時(shí)間（小時(shí)）變化的趨勢(shì)可由函數(shù)近似描述，則記憶率為時(shí)經(jīng)過的時(shí)間約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A.2小時(shí) B.0.8小時(shí) C.0.5小時(shí) D.0.2小時(shí)
第二部分（非選擇題共110分）
二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.
12.已知.使成立的一組的值為__________；__________.
13.雙曲線的漸近線方程為__________；若與圓交于四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則__________.
14.在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為__________，的最小值為__________.
15.如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直.點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)，使；
②存在點(diǎn)，使；
③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；
④若，則四面體體積的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16.（本小題14分）
如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
17.（本小題13分）
在中，.
（1）求的大?。?br>（2）若，再從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求的面積.
條件①：邊上中線的長(zhǎng)為；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
18.（本小題13分）
10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽.三位選手甲?乙?丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦拢?br>假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲?乙?丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.
（1）若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說明理由；
（2）若甲?乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率；
（3）甲?乙?丙各射擊10次，用分別表示甲?乙?丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù)，其中.寫出一個(gè)的值，使.（結(jié)論不要求證明）
19.（本小題15分）
已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為原點(diǎn).直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)），與直線交于點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn).求證：.
20.（本小題15分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的斜率；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.
21.（本小題15分）
對(duì)正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是行列的數(shù)陣，表示中第行第列的數(shù)，，且同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①每行恰有三個(gè)1；②每列至少有一個(gè)1；③任意兩行不相同.
記集合或中元素的個(gè)數(shù)為.
（1）若，求的值；
（2）若對(duì)任意中都恰有行滿足第列和第列的數(shù)均為1.
（i）能否滿足？說明理由；
（ii）證明：.
西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷
數(shù)學(xué)答案及評(píng)分參考
2024.4
一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
1.B 2.D 3.A 4.C 5.C
6.A 7.A 8.B 9.D 10.C
二?填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
11. 12.；（答案不唯一） 13.； 14.； 15.①③④
三?解答題（共6小題，共85分）
16.（共14分）
解：（1）連接，設(shè)，連接.
因?yàn)樵谌庵校倪呅问瞧叫兴倪呅危?br>所以為的中點(diǎn).
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以.
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）因?yàn)椋?br>所以平面.
所以.
又，所以兩兩相互垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
則.
所以.
設(shè)平面的法間量為，則即
令，則，于是.
因?yàn)槠矫妫?br>所以是平面的一個(gè)法向量.
所以.
由題設(shè)，二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.
17.（共13分）
解：（1）由，得.
在中，由正弦定理得.
因?yàn)椋?br>所以.
又，
所以.
（2）選條件①：邊上中線的長(zhǎng)為.
設(shè)邊中點(diǎn)為，連接，則.
在中，由余弦定理得，
即.
整理得.
解得或（舍）.
所以的面積為.
選條件③：.
在中，由余弦定理得，
即.
整理得.
解得或.
當(dāng)時(shí)，的面積為.
當(dāng)時(shí)，的面積為.
18.（共13分）
解：（1）甲進(jìn)入決賽，理由如下：
丙射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為，
甲射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為.
因?yàn)?，所以甲進(jìn)入決賽.
（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，“甲命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為；
“甲命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為；
“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為；
“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為.
所以這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率可估計(jì)為：
（3）和8.（寫出一個(gè)即可）
19.（共15分）
解：（1）由題設(shè)，.
解得.
所以橢圓的方程為.
（2）由題設(shè)，直線的斜率存在，設(shè)其方程為.
則，直線的方程為.
由得.
由，得.
設(shè)，則.
直線的方程為.
聯(lián)立直線和得.
解得.
同理可得.
所以.
因?yàn)?br>所以，即點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
所以.
20.（共15分）
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
所以.
所以.
所以曲線在點(diǎn)（1，處切線的斜率為.
（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?
.
因?yàn)椋?br>所以時(shí)，時(shí)，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）.
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以不合題意.
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?
因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
所以.
設(shè)，則，
因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.
所以.
所以集合有且只有一個(gè)元素時(shí).
21.（共15分）
解：（1）記.
因?yàn)椋?br>所以.
（2）（i）不滿足，理由如下：
假設(shè)滿足.
因?yàn)榈拿啃星∮腥齻€(gè)1，故中滿足的的個(gè)數(shù)共有個(gè).
號(hào)一方面，從中任選兩列共有種可能，且對(duì)任意兩列，都恰有行使得
這兩列的數(shù)均為1，故中滿足的的個(gè)數(shù)共有個(gè).
所以.
當(dāng)時(shí)，得，此方程無解.
所以不滿足.
（ii）由（i）可得，即.
下面考慮滿足，但的的個(gè)數(shù)：
對(duì)中滿足和3的行，每行恰有兩組使且，
所以滿足，但的的個(gè)數(shù)為.
設(shè)數(shù)列中有項(xiàng)為項(xiàng)為0.
滿足，但的的個(gè)數(shù)為.
所以滿足，但的的個(gè)數(shù)為.
所以.
所以
.環(huán)數(shù)
6環(huán)
7環(huán)
8環(huán)
9環(huán)
10環(huán)
甲的射出頻數(shù)
1
1
10
24
24
乙的射出頻數(shù)
3
2
10
30
15
丙的射出頻數(shù)
2
4
10
18
26

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