?
北京市朝陽(yáng)區(qū)高三數(shù)學(xué)一模試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.集合 ，那么 〔??? 〕
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?{3}

2.如果復(fù)數(shù) 的實(shí)部與虛部相等，那么 〔??? 〕
A.?-2???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4



3.等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ，那么 〔??? 〕
A.?0??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?-2??????????????????????????????????????????D.?-3



4.圓 截直線(xiàn) 所得弦的長(zhǎng)度為 ，那么實(shí)數(shù) 〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?



5.雙曲線(xiàn) 的離心率為2，那么雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為〔??? 〕
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?



6.在 中，假設(shè) ，那么 〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?



7.某三棱錐的三視圖如下列圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該三棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為〔??? 〕

A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?



8.在 中，“ 〞是“ 為鈍角三角形〞的〔??? 〕
A.?充分不必要條件?????????????B.?必要不充分條件?????????????C.?充要條件?????????????D.?既不充分也不必要條件



9.拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為F ， 準(zhǔn)線(xiàn)為l ， 點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)．假設(shè)點(diǎn)A在拋物線(xiàn)C上，且 ，那么 〔O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕的最小值為〔??? 〕
A.?8???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?6



10.在棱長(zhǎng)為1的正方體 中， 是線(xiàn)段 上的點(diǎn)，過(guò) 的平面 與直線(xiàn) 垂直，當(dāng) 在線(xiàn)段 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面 截正方體 所得的截面面積的最小值是〔??? 〕
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?

二、填空題
11.在 的展開(kāi)式中， 的系數(shù)為_(kāi)_______．〔用數(shù)字作答〕
12.函數(shù) 那么 ________； 的值域?yàn)開(kāi)_______．
13.向量 ，且 ，那么向量 的坐標(biāo)可以是________．〔寫(xiě)出一個(gè)即可〕
14.李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營(yíng)一家網(wǎng)店，每售出一件 商品獲利8元．現(xiàn)方案在“五一〞期間對(duì) 商品進(jìn)行廣告促銷(xiāo)，假設(shè)售出 商品的件數(shù) 〔單位：萬(wàn)件〕與廣告費(fèi)用 〔單位：萬(wàn)元〕符合函數(shù)模型 ．假設(shè)要使這次促銷(xiāo)活動(dòng)獲利最多，那么廣告費(fèi)用 應(yīng)投入________萬(wàn)元．
15.華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌〞的數(shù)學(xué)定義，由此開(kāi)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè) 是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于 ，令 ，假設(shè)存在正整數(shù)k使得 ，且當(dāng) 時(shí)， ，那么稱(chēng) 是 的一個(gè)周期為k的周期點(diǎn)．給出以下四個(gè)結(jié)論：
①假設(shè) ，那么 存在唯一一個(gè)周期為1的周期點(diǎn)；
②假設(shè) ，那么 存在周期為2的周期點(diǎn)；
③假設(shè) 那么 不存在周期為3的周期點(diǎn)；
④假設(shè) ，那么對(duì)任意正整數(shù)n ， 都不是 的周期為n的周期點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．
三、解答題
16.函數(shù) 由以下四個(gè)條件中的三個(gè)來(lái)確定：
①最小正周期為 ；②最大值為2；③ ；④ ．
〔1〕寫(xiě)出能確定 的三個(gè)條件，并求 的解析式；
〔2〕求 的單調(diào)遞增區(qū)間．
17.如圖，在四棱錐 中，O是 邊的中點(diǎn)， 底面 ．在底面 中， ．

〔1〕求證： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
18.我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，消除了絕對(duì)貧困．為了解脫貧家庭人均年純收入情況，某扶貧工作組對(duì)A ， B兩個(gè)地區(qū)2021年脫貧家庭進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，共抽取500戶(hù)家庭作為樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表：

A地區(qū)
B地區(qū)
2021年人均年純收入超過(guò)10000元
100戶(hù)
150戶(hù)
2021年人均年純收入未超過(guò)10000元
200戶(hù)
50戶(hù)
假設(shè)所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過(guò)10000元相互獨(dú)立．
〔1〕從A地區(qū)2021年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶(hù)，估計(jì)該家庭2021年人均年純收入超適10000元的概率；
〔2〕在樣本中，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2021年脫貧家庭中各隨機(jī)抽取1戶(hù)，記X為這2戶(hù)家庭中2021年人均年純收入超過(guò)10000元的戶(hù)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
〔3〕從樣本中A地區(qū)的300戶(hù)脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶(hù)，發(fā)現(xiàn)這4戶(hù)家庭2021年人均年純收入都超過(guò)10000元．根據(jù)這個(gè)結(jié)果，能否認(rèn)為樣本中A地區(qū)2021年人均年純收入超過(guò)10000元的戶(hù)數(shù)相比2021年有變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．
C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 ，離心率為 ．
〔1〕求橢圓C的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
〔2〕假設(shè)點(diǎn)M為橢圓C上異于A(yíng) ， B的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線(xiàn) 平行的直線(xiàn)與直線(xiàn) 交于點(diǎn)P ， 直線(xiàn) 與直線(xiàn) 交于點(diǎn)Q ， 試判斷以線(xiàn)段 為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？假設(shè)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
20.函數(shù) ．
〔1〕求 的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕假設(shè)直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 相切，求證： ．
21.設(shè)數(shù)列 ，假設(shè)存在公比為q的等比數(shù)列 ： ，使得 ，其中 ，那么稱(chēng)數(shù)列 為數(shù)列 的“等比分割數(shù)列〞．
〔1〕寫(xiě)出數(shù)列 ：3，6，12，24的一個(gè)“等比分割數(shù)列〞 ；
〔2〕假設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，其“等比分割數(shù)列〞 的首項(xiàng)為1，求數(shù)列 的公比q的取值范圍；
〔3〕假設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，且數(shù)列 存在“等比分割數(shù)列〞，求m的最大值．

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】由題意 ，所以 ．
故答案為：B．

【分析】利用集合交集的定義求解即可。
2.【解析】【解答】 ，所以實(shí)部為 ，虛部為 ，所以 ．
故答案為：A．

【分析】 利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的根本概念，求解即可．
3.【解析】【解答】因?yàn)?，所以 ；
因?yàn)?也成等差數(shù)列，所以 .
故答案為：A.

【分析】 先由題設(shè)求得a5 ， 再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果．
4.【解析】【解答】圓 圓心為 半徑為
點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離為
那么弦長(zhǎng)為 ，得
解得
故答案為：D．

【分析】 求出圓的圓心與半徑，利用弦長(zhǎng)，推出弦心距，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可．
5.【解析】【解答】∵雙曲線(xiàn) 的離心率為2
∴ ，即
∵
∴ ，即
∵雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程為
∴雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程為
故答案為：A

【分析】 根據(jù)題意，由雙曲線(xiàn)的離心率e=2可得c=2a，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得， 由此求解雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程．
6.【解析】【解答】由 可得 ，
由余弦定理可得 ，
，因此， .
故答案為：D.

【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果。
7.【解析】【解答】該三棱錐的直觀(guān)圖如下列圖：

依題意得 ，
， ，
那么該三棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為
故答案為：C．

【分析】 首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀(guān)圖，進(jìn)一步求出幾何體的個(gè)各棱長(zhǎng)，從而確定結(jié)果．
8.【解析】【解答】 為鈍角三角形.
∴在 中，“ 〞是“ 為鈍角三角形〞的充要條件.
故答案為：C.

【分析】 為鈍角三角形，即可判斷出結(jié)論．
9.【解析】【解答】如下列圖：作點(diǎn) 關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，連接 ，設(shè)點(diǎn) ，不妨設(shè)

由題意知 ，直線(xiàn)l方程為 ，那么 ，得
所以 ，得
由 ，當(dāng) 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，
又
所以 的最小值為
故答案為：B

【分析】設(shè)點(diǎn) ，不妨設(shè) ， 由題意知 ，直線(xiàn)l方程為 ，那么 ， 由 ，當(dāng) 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，可得的最小值。
10.【解析】【解答】以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 、 、 所在直線(xiàn)分別為 、 、 軸建立如以下列圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
?
那么 、 、 、 、 、 、 、 ，
設(shè)點(diǎn) ，其中 .
①當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 與點(diǎn) 重合， ， ， ，
所以， ， ，那么 ， ，
， 平面 ，此時(shí)平面 即為平面 ，
截面面積為 ；
②當(dāng) 時(shí)，同①可知截面面積為 ；
③當(dāng) 時(shí)， ， ，
， ，那么 ，
設(shè)平面 交棱 于點(diǎn) ， ，
，可得 ，不符合題意.
設(shè)平面 交棱 于點(diǎn) ， ，
，可得 ，符合題意，即 ，
同理可知，平面 交棱 于點(diǎn) ，
，且 與 不重合，故四邊形 為平行四邊形，
， ， ，
那么 ，
所以，截面面積為 .
綜上所述，截面面積的最小值為 .
故答案為：C.

【分析】 畫(huà)出圖形，判斷截面的位置，結(jié)合正方體的特征，轉(zhuǎn)化求解截面面積的最小值即可．
二、填空題
11.【解析】【解答】由題可知： 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ，
令 ，那么 ，
所以 的系數(shù)為 ，
故答案為：28

【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出。
12.【解析】【解答】解： ；
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
所以 的值域?yàn)椤?∞，2〕
故答案為：1；〔-∞，2〕．

【分析】 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式直接代入即可求出f〔0〕，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可．
13.【解析】【解答】由題意 且 ，例如 就能滿(mǎn)足此條件．
故答案為： 〔答案不唯一〕．

【分析】 利用條件畫(huà)出圖形，判斷向量 的坐標(biāo)的位置，即可寫(xiě)出結(jié)果．
14.【解析】【解答】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為 萬(wàn)元，那么 ，
那么 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，因?yàn)?，即當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：3.

【分析】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為 萬(wàn)元，求出關(guān)于x的表達(dá)式，利用根本不等式可求得的最小值及其對(duì)應(yīng)的x的值。
15.【解析】【解答】①設(shè) ，那么 ，顯然 是增函數(shù)，由 得 ，
時(shí)， ， 遞減， 時(shí)， ， 遞增，
所以 時(shí)， ， 只有唯一解 ，
因此 只有唯一解 ，即 存在唯一一個(gè)周期為1的周期點(diǎn)，①正確；
② ， ， ，所以 是 的一個(gè)周期為2的周期點(diǎn)，②正確；
③ ，假設(shè) ，那么 ， ， ，所以 存在周期為3的周期點(diǎn)，③錯(cuò)；
④ ，所以 無(wú)解，因此對(duì)任意正整數(shù)n ， 都不是 的周期為n的周期點(diǎn)，④正確．
故答案為：①②④．

【分析】 由周期點(diǎn)的定義，可得直線(xiàn)y=x與y=f〔x〕存在交點(diǎn)．分別對(duì)選項(xiàng)分析，結(jié)合函數(shù)的最值和函數(shù)值的符號(hào)，可得結(jié)論．
三、解答題
16.【解析】【分析】 〔1〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕滿(mǎn)足條件④，那么由f〔0〕=Asinφ=-2，推出與A＞0， ? 矛盾，可得函數(shù)f〔x〕不能滿(mǎn)足條件④，由條件①，利用周期公式可求ω=2，由條件②，可得A=2，由條件③，可得 ，結(jié)合范圍， 可求 ?，可得函數(shù)解析式；
〔2〕利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
?
?
17.【解析】【分析】 〔1〕先證明四邊形ABCO是平行四邊形，即可得到AB∥OC，由線(xiàn)面平行的判定定理證明即可；
〔2〕建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面BAP的法向量，由向量的夾角公式求解即可．
18.【解析】【分析】〔1〕直接由古典概型概率公式計(jì)算；
〔2〕 ??的可能取值為?， 分別計(jì)算出概率后可得分布列，然后由期望公式計(jì)算出期望；
〔3〕根據(jù)概率的意義作答。
?
19.【解析】【分析】 〔1〕由題意可得b的值，再由離心率及a，b，c之間的關(guān)系求出a的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；
〔2〕設(shè)直線(xiàn)MA的方程，由題意可得直線(xiàn)OP的方程，與y=3聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，將直線(xiàn)AM的方程與橢圓聯(lián)立求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)BM的方程，與y=3聯(lián)立求出Q的坐標(biāo)，設(shè)以PQ為直徑的圓的方程過(guò)T點(diǎn)，求出T的坐標(biāo)，即圓過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．
?
?
20.【解析】【分析】 〔1〕求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
〔2〕求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)直線(xiàn)和f〔x〕相切，得到 ， 結(jié)合 ?的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可．
?
?
21.【解析】【分析】〔1〕利用 “等比分割數(shù)列〞 直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的等比數(shù)列即可；
〔2〕根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得再根據(jù)定義可得 ， 再根據(jù)“等比分割數(shù)列〞的定義可得 ， 由 ? 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
〔3〕首先考慮當(dāng) 不存在， 設(shè)??， 根據(jù) ，猜測(cè)m的值，驗(yàn)證即可求解。
?

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