1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. 1B. -2C. D.
2．已知，向量與的夾角為，則（ ）
A. 5B. C. D.
3．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（ ）
A. 16cm B. cm C. 8cm D. cm
4．已知三角形的外接圓圓心為，且，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5．設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，，的平分線交邊BC于點(diǎn)D，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A. B. C. D.
6．在△ABC中，sin A＝，則△ABC的形狀為（ ）
A. 直角三角形B. 等邊三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
7．“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（ ）
A. B. C. D.
8．已知O為的外心，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列命題正確的是（ ）
A. 直棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的矩形
B. 用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間部分是棱臺(tái)
C. 存在四個(gè)面均為直角三角形的四面體
D. 棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，且棱臺(tái)側(cè)面均為梯形
10．設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點(diǎn)，以下可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線BN與MB1是異面直線B. 直線AM與BN是平行直線
C. 直線MN與AC所成的角D. 平面BMN截正方體所得的截面面積為
12．已知的內(nèi)角分別為，滿足，且，則以下說法中正確的有（ ）
A. 若為直角三角形，則；
B. 若，則為等腰三角形；
C. 若，則的面積為；
D. 若，則．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知i為虛數(shù)單位，若，則______．
14.如圖①，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖②，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖①中容器內(nèi)水面的高度是_____.
15. 一般地，的夾角可記為，已知，，，，，，，則_________．
16．已知銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為____________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．
（1）若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若，是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a，b的值．
18．已知，．
（1）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
19．已知正三棱錐，頂點(diǎn)為P，底面是三角形．
（1）若該三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)自A出發(fā)依次沿著三個(gè)側(cè)面的表面移動(dòng)，環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點(diǎn)A，求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值；
（2）若該三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，試求以P為頂點(diǎn)，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積．
20．如圖所示，已知矩形ABCD中，，AC與MN相交于點(diǎn)E．
（1）若，求和的值；
（2）用向量表示．
21．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
（1）求角C的大??；
（2）若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
22．如圖1，某景區(qū)是一個(gè)以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點(diǎn)，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊．（注：圓的切線長(zhǎng)性質(zhì)：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等）．
（1）當(dāng)為正三角形時(shí)求修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊面積；
（2）若的面積，求木棧道長(zhǎng)；
（3）如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，
①將木棧道的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并指定定義域；
②求木棧道的最小值．
期中考試仿真模擬試卷02
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. 1B. -2C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，
所以，
所以的虛部為1，
故選：A
2．已知，向量與的夾角為，則（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，向量與的夾角為
∴
∴
故選：D.
3．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（ ）
A. 16cm B. cm C. 8cm D. cm
【答案】A
【解析】由斜二測(cè)畫法，原圖形是平行四邊形，，
又，，，
所以，
周長(zhǎng)為．
故選：A．
4．已知三角形的外接圓圓心為，且，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意三角形的外接圓圓心為，且，
所以是的中點(diǎn)，即是圓的直徑，且，
由于，所以三角形是等邊三角形，
設(shè)圓的半徑為，則，，
所以在上的投影向量為.
故選：A
5．設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，，的平分線交邊BC于點(diǎn)D，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意和余弦定理可得，
由角平分線性質(zhì)定理可得，
由余弦定理知，
，
整理可得,
解得或（舍去，不滿足兩邊之和大于第三邊）
故選：B
6．在△ABC中，sin A＝，則△ABC的形狀為（ ）
A. 直角三角形B. 等邊三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】由條件可知,
因?yàn)椋?
，所以，
所以，
整理為：,
即
因?yàn)椋裕?
，所以是直角三角形.
故選：A
7．“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，
可知內(nèi)層圓柱的高
同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，
可知外層圓柱高
此模型的體積為
故選：C
8．已知O為的外心，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)的外接圓的半徑為R，
∵，
∴，且圓心在三角形內(nèi)部，
∴
∴，
∴
根據(jù)圓心角等于同弧對(duì)應(yīng)的圓周角的兩倍得：
∴
解得=
故選：A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列命題正確的是（ ）
A. 直棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的矩形
B. 用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間部分是棱臺(tái)
C. 存在四個(gè)面均為直角三角形的四面體
D. 棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，且棱臺(tái)側(cè)面均為梯形
【答案】CD
【解析】對(duì)于A：根據(jù)直棱柱的概念：側(cè)棱與底面垂直的棱柱，則直棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面也是矩形，但底面多邊形的邊長(zhǎng)不一定相等，所以側(cè)面不一定全等，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B、D：根據(jù)棱臺(tái)的概念：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)，B錯(cuò)誤；
棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，且棱臺(tái)側(cè)面均為梯形，D正確；
對(duì)于C：如圖，三棱錐，平面，
∵平面，則可得：,,
平面，則
∴三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，C正確；
故選：CD．
10．設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點(diǎn)，以下可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由，，
若，則：
當(dāng)時(shí)在外部；
當(dāng)時(shí)在上；
當(dāng)時(shí)在內(nèi)部；
若λ,μ=0，則P在OA或OB上；
若，則在外部；
A：且，故在內(nèi)部；
B：且，故在上；
C：，有，故在外部；
D：，有且，故在內(nèi)部；
故選：AD
11．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線BN與MB1是異面直線B. 直線AM與BN是平行直線
C. 直線MN與AC所成的角D. 平面BMN截正方體所得的截面面積為
【答案】AD
【解析】直線BN與MB1是異面直線，故A正確；
直線AM與BN是異面直線，故B錯(cuò)誤；
如下圖，由條件可知，所以異面直線與所成的角為，是等邊三角形，所以，故C錯(cuò)誤；
如下圖，連接、、，因?yàn)椋?，所以?br>又，則四邊形是梯形，且四邊形為平面截正方體所得的截面， ，，所以四邊形是等腰梯形，
則梯形的高是，
所以梯形的面積，故D正確.
故選：AD.
12．已知的內(nèi)角分別為，滿足，且，則以下說法中正確的有（ ）
A. 若為直角三角形，則；
B. 若，則為等腰三角形；
C. 若，則的面積為；
D. 若，則．
【答案】BD
【解析】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)結(jié)論：
對(duì)于A，根據(jù)題意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，則a：b：c＝ln2：ln4：lnt，
故可設(shè)a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．
則有b﹣a＜c＜b+a，則kln2＜c＜3kln2，變形可得2＜t＜8，
當(dāng)時(shí)；c最大，若直角三角形，則，即，解得；
當(dāng)時(shí)；若為直角三角形，則，即，解得綜上：或，故A錯(cuò)；
由題意，abcsC＝abmc2，
∴m．
若，則解得t=4，故，為等腰三角形；B正確；
對(duì)于C，當(dāng)t＝4，a＝kln2時(shí)，則b＝kln4，c＝klnt＝kln4，則有b＝c＝2a，此時(shí)等腰△ABC底邊上高為 ，三角形面積為，C錯(cuò)；
對(duì)于D，當(dāng),則有a2+b2﹣c2＜0，即解得由選項(xiàng)A,B的解析知kln2＜c＜3kln2綜合兩式得，故m 選項(xiàng)D正確；
綜合可得BD正確；
故選：BD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知i為虛數(shù)單位，若，則______．
【答案】1
【解析】
故答案為：1
14.如圖①，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖②，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖①中容器內(nèi)水面的高度是_____.
【答案】a##15a
【解析】在圖②中，水所占部分為四棱柱，
四棱柱底面積為，高為，
所以四棱柱的體積為，
設(shè)圖①中容器內(nèi)水面的高度為h，則，
解得
故答案為：##1.5a
15. 一般地，的夾角可記為，已知，，，，，，，則_________．
【答案】##025
【解析】因?yàn)?，所?br>，，即
，解得，所以．
故答案為：．
16．已知銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為____________．
【答案】
【解析】，
又銳角中，，且，，
將代入上面三個(gè)不等式，
得到且，
，令，則，
所以在上單減，在上單增，
又當(dāng)時(shí)，的值為，
當(dāng)或時(shí)，的值為，
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．
（1）若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若，是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a，b的值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，
所以，解得：m=1.
（2）當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)槭顷P(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以的共軛復(fù)數(shù)也是實(shí)系數(shù)方程的根，
所以，解得：.
18．已知，．
（1）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因?yàn)?，?br>所以，，
因?yàn)榕c的夾角為鈍角，
所以，且，
解得且，
所以的取值范圍為；
（2）根據(jù)題意，，
則，
所以，
又，則，
所以的取值范圍是．
19．已知正三棱錐，頂點(diǎn)為P，底面是三角形．
（1）若該三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)自A出發(fā)依次沿著三個(gè)側(cè)面的表面移動(dòng)，環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點(diǎn)A，求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值；
（2）若該三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，試求以P為頂點(diǎn)，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）沿側(cè)棱將正三棱錐的側(cè)面展開，如圖，則即為質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值，
依題意，，且，
由余弦定理得，
所以，
所以質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值為.
（2）正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，則為正四面體，設(shè)其高為，正內(nèi)切圓的半徑為，
由，解得，
正四面體的斜高為，，依題意，圓錐的高為，
所以圓錐的體積為.
20．如圖所示，已知矩形ABCD中，，AC與MN相交于點(diǎn)E．
（1）若，求和的值；
（2）用向量表示．
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，
所以
所以，
所以
解得
（2）設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以．解得，
即，所以，
又因?yàn)镸，E，N三點(diǎn)共線，所以，
所以﹒
21．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
（1）求角C的大??；
（2）若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）由正弦定理可得
整理得
因?yàn)?，所以?br>所以，所以或
（2）因?yàn)?，所以?br>由正弦定理可得
因?yàn)殇J角三角形，
所以，所以
所以
所以，
可得
即面積的取值范圍為
22．如圖1，某景區(qū)是一個(gè)以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點(diǎn)，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊．（注：圓的切線長(zhǎng)性質(zhì)：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等）．
（1）當(dāng)為正三角形時(shí)求修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊面積；
（2）若的面積，求木棧道長(zhǎng)；
（3）如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，
①將木棧道的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并指定定義域；
②求木棧道的最小值．
【答案】（1）；（2）7；（3）①，；②6.
【解析】（1）當(dāng)是等邊三角形時(shí)，，，
則，則，
面積為；
（2）在中，因?yàn)椋?br>則解得，
所以，
則，
所以，
則，
由余弦定理可得，，
即，則，
則，則解得；
（3）設(shè)圓與，分別切于，，
則，，，
則，，
則，，
由，可得，
由，
可得，則，
則；
①；；
②
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成，則的最小值6．

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