（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；
2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效；
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；
4.測試范圍：必修第二冊第六章、第七章、第八章；
5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1．（5分）（23-24高一下·湖南益陽·階段練習(xí)）給出下列四個(gè)說法：①若a=0，則a=0；②若a=b，則a=b或a=?b；③若a//b，則a=b；④若a//b，b//c，則a//c.其中正確的說法有（ ）個(gè).
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=1?2i，則（ ）
A．z的實(shí)部為?1B．z的虛部為?2
C．z的虛部為?2iD．z的虛部為1
3．（5分）（2024·山東煙臺(tái)·一模）設(shè)a,b為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若a // α,b // α，則a // b
B．若a,b與α所成的角相等，則a // b
C．若α⊥β,a // α,b // β，則a⊥b
D．若α⊥β,a⊥α,b⊥β，則a⊥b
4．（5分）（2024·四川·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=1+2i1?i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．（5分）（23-24高三下·陜西安康·開學(xué)考試）已知向量a=2,0，b=6,8，c=ta+b，a,c=b,c，則t=（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（5分）（2024·陜西·模擬預(yù)測）將一個(gè)正四棱臺(tái)物件放入有一定深度的電解槽中，對其表面進(jìn)行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為33，則該物件的高為（ ）
A．32B．1C．2D．3
7．（5分）（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=13c，D為邊BC上一點(diǎn)，CD=2BD=2，AD=3，則△ABC的面積為（ ）
A．34B．34C．334D．332
8．（5分）（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是該正方體對角線BD1上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①AC⊥DP；
②點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值是66；
③當(dāng)BD1=4BP時(shí)，三棱錐P?ABD外接球的表面積為25π16．
其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．（5分）（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
C．兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．平行于同一直線的兩直線平行
10．（5分）（2024·遼寧·一模）已知z滿足z1?i=z+5i2?i，則（ ）
A．z=?4+i
B．復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
C．zz=17
D．z的實(shí)部與虛部之積為?4
11．（5分）（2024·安徽淮北·一模）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，AP=xAB+yAD，x，y∈R.（ ）

A．AD?BE+CF=0B．存在點(diǎn)P，使x=y
C．若y=34，則點(diǎn)P的軌跡長度為2D．AP?AB的最小值為?2
12．（5分）（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，D是BC的中點(diǎn)．則下列判斷正確的是（ ）

A．A1B∥平面AC1DB．異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為31010
C．A1D⊥BCD．平面ADC1與平面ABB1所成角的正弦值為53
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．（5分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5+3i，OB與OA關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ．
14．（5分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=2,BC=3,∠ABC=60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若AM=λAB+μBC，則λ+μ= .

15．（5分）（23-24高三上·浙江杭州·期末）位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽(yù)為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得∠BCD=70°，∠BDC=30°，CD=108米，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高AB為 米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：cs80°≈0.174）
16．（5分）（23-24高二上·北京西城·期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在線段AD1和B1C1上．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①M(fèi)N的最小值為2；
②三棱錐N?MBC的體積為43；
③有且僅有一條直線MN與AD1垂直；
④存在點(diǎn)M，N，使△MBN為等腰三角形．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（10分）（22-23高一下·甘肅臨夏·期末）已知復(fù)數(shù)z=m2?4+m2+2mi，根據(jù)以下條件分別求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍．
(1)z是純虛數(shù)；
(2)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限．
18．（12分）（23-24高二上·浙江·期末）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分別為AC，BC上的兩點(diǎn)AN=12AC，BM=13BC，AM，BN相交于點(diǎn)P．

(1)求AM的值；
(2)求證：AM⊥PN．
19．（12分）（22-23高一下·河南·期中）已知2?i是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0m,n∈R的一個(gè)根，其中i為虛數(shù)單位.
(1)求m+2n的值;
(2)記復(fù)數(shù)z=m+ni，求復(fù)數(shù)z1+i的模.
20．（12分）（22-23高一下·河南·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，棱長為2，E是線段AA1的中點(diǎn)，平面α過點(diǎn)D1、C、E.
(1)畫出平面α截正方體所得的截面，并說明原因；
(2)求（1）中截面多邊形的面積；
(3)平面α截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值.（參考公式：V棱臺(tái)=13?S′+S′S+S）
21．（12分）（2024高二·全國·專題練習(xí)）△ABC中，AB=2AC，點(diǎn)D在BC邊上，AD平分∠BAC．
(1)若sin∠ABC=55，求cs∠BAC；
(2)若AD=AC，且△ABC的面積為7，求BC．
22．（12分）（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐P?ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC．

(1)求證：PC⊥AB；
(2)求二面角B?AP?C的余弦值；
(3)求點(diǎn)C到平面APB的距離．
參考答案
一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1．（5分）（23-24高一下·湖南益陽·階段練習(xí)）給出下列四個(gè)說法：①若a=0，則a=0；②若a=b，則a=b或a=?b；③若a//b，則a=b；④若a//b，b//c，則a//c.其中正確的說法有（ ）個(gè).
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】
根據(jù)零向量定義、向量模長、平行的定義等知識依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【解答過程】對于①，模長為零的向量為零向量，①正確；
對于②，a,b的模長相同，但方向不確定，a,b未必同向或反向，②錯(cuò)誤；
對于③，若a//b，則a,b同向或反向，但模長未必相同，③錯(cuò)誤；
對于④，當(dāng)b=0時(shí)，a//b，b//c成立，但此時(shí)a,c未必平行，④錯(cuò)誤.
故選：A.
2．（5分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=1?2i，則（ ）
A．z的實(shí)部為?1B．z的虛部為?2
C．z的虛部為?2iD．z的虛部為1
【解題思路】
利用復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部的定義求解.
【解答過程】復(fù)數(shù)z=1?2i的實(shí)部為1，虛部為?2，
故選：B.
3．（5分）（2024·山東煙臺(tái)·一模）設(shè)a,b為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若a // α,b // α，則a // b
B．若a,b與α所成的角相等，則a // b
C．若α⊥β,a // α,b // β，則a⊥b
D．若α⊥β,a⊥α,b⊥β，則a⊥b
【解題思路】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【解答過程】對于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤，
對于B，a,b與α所成的角相等，則a,b可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，
對于C，α⊥β,a // α,b // β，則a,b可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤，
對于D，α⊥β,a⊥α,b⊥β，則a⊥b，D正確，
故選：D.
4．（5分）（2024·四川·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=1+2i1?i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解題思路】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，從而得到其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【解答過程】因?yàn)閦=1+2i1?i=1+2i1+i1?i1+i=?12+32i，
所以z=?12?32i，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為?12,?32，位于第三象限.
故選：C.
5．（5分）（23-24高三下·陜西安康·開學(xué)考試）已知向量a=2,0，b=6,8，c=ta+b，a,c=b,c，則t=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解題思路】
根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【解答過程】∵c=ta+b=2t+6,8，∴a?c=4t+12，b?c=12t+100，
由a,c=b,c得：a?ca?c=b?cb?c，∴4t+122=12t+10010，解得：t=5.
故選：C.
6．（5分）（2024·陜西·模擬預(yù)測）將一個(gè)正四棱臺(tái)物件放入有一定深度的電解槽中，對其表面進(jìn)行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為33，則該物件的高為（ ）
A．32B．1C．2D．3
【解題思路】
作出正四棱臺(tái)的圖形，設(shè)A1B1=BB1=a，利用該四棱臺(tái)側(cè)面的面積求得a，進(jìn)而利用勾股定理即可得解.
【解答過程】設(shè)A1B1=BB1=a，則AB=2a.
因?yàn)樵撍睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，所以各個(gè)側(cè)面都為等腰梯形，上、下底面為正方形，
在四邊形ABB1A1中，過點(diǎn)A1作A1E⊥AB于點(diǎn)E，
則AE=122a?a=a2，所以A1E=32a，
所以SABB1A1=a+2a2?32a=334a2=33，解得a=2，
在平面ACC1A1中，過點(diǎn)A1作A1F⊥AC于點(diǎn)F，
易知A1F為正四棱臺(tái)的高，則AF=1242?22=2，
所以A1F=A1A2?AF2=4?2=2.
故選：C.
7．（5分）（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=13c，D為邊BC上一點(diǎn)，CD=2BD=2，AD=3，則△ABC的面積為（ ）
A．34B．34C．334D．332
【解題思路】
設(shè)∠ADB=θ，在△ACD與△ABD中，由余弦定理求出b2,c2，根據(jù)b=13c求出sinθ=12，進(jìn)而求得△ABC的面積.
【解答過程】設(shè)∠ADB=θ，在△ACD中，b2=4+3?2×2×3csπ?θ=7+43csθ，
在△ABD中，c2=1+3?2×3csθ=4?23csθ，
所以b2c2=7+43csθ4?23csθ=13，解得csθ=32，
因?yàn)棣取?,π，所以sinθ=12，
所以△ABC的面積為12×(BD+DC)×AD×sinθ＝12×3×3×12=334.
故選：C.
8．（5分）（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是該正方體對角線BD1上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①AC⊥DP；
②點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值是66；
③當(dāng)BD1=4BP時(shí)，三棱錐P?ABD外接球的表面積為25π16．
其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解題思路】
對①，證明AC⊥平面BDD1即可；對②，根據(jù)AC⊥平面BDD1，設(shè)BD∩AC=O，則根據(jù)OP為點(diǎn)P到直線AC的距離分析即可；對③，根據(jù)外接球的性質(zhì)，確定三棱錐P?ABD外接球的直徑為BDP的外接圓直徑求解即可.
【解答過程】對①，連接BD，交AC于O.
因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1為正方體，故AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，則AC⊥DD1.
又BD∩DD1=D，BD,DD1?平面BDD1，故AC⊥平面BDD1.
又DP?平面BDD1，故AC⊥DP，故①正確；
對②，由①可得點(diǎn)P到直線AC的距離為OP，故當(dāng)OP⊥BD1時(shí)OP最小，
此時(shí)BD=2,DD1=1,BD1=1+2=3,故sin∠DBD1=13，OP=OB?sin∠DBD1=22×13=66，故②正確；
對③，當(dāng)BD1=4BP時(shí)，因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，DD1?平面BDD1，故平面BDD1⊥平面ABCD，即平面BDP⊥平面ABD.
又∠DAB=90°，故三棱錐P?ABD外接球球心在平面BDP上，即三棱錐P?ABD外接球直徑為BDP的外接圓直徑.
此時(shí)cs∠DBP=1?132=63，BD=2，BP=14BD1=34，
故DP2=BD2+BP2?2BD?BPcs∠DBP=2+316?22×34×63=1916，故DP=194.
設(shè)三棱錐P?ABD外接球的半徑為R，
則表面積S=4πR2=π2R2=πDPsin∠DBP2=57π16，故③錯(cuò)誤.
綜上①②正確.
故選：A.
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．（5分）（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
C．兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．平行于同一直線的兩直線平行
【解題思路】
由線線位置關(guān)系、棱臺(tái)、棱錐以及棱柱的定義即可逐一判斷.
【解答過程】對于A，棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，它應(yīng)該保證各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對于B，棱錐有一個(gè)面是多變形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，故B錯(cuò)誤；
對于C，如圖所示，

若下面是一個(gè)正四棱柱，上面是一個(gè)以正四棱柱上底面為下底面的斜四棱柱，但它們的組合體不是棱柱，故C錯(cuò)誤；
對于D，由平行線的傳遞性可知D正確.
故選：ABC.
10．（5分）（2024·遼寧·一模）已知z滿足z1?i=z+5i2?i，則（ ）
A．z=?4+i
B．復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
C．zz=17
D．z的實(shí)部與虛部之積為?4
【解題思路】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)z，逐一判斷各選項(xiàng)是否正確.
【解答過程】
設(shè)z=x+yi x,y∈R，
則由已知得x?yi1?i=x+yi+5i2+i5，即x?y?x+yi=x?1+y+2i，
所以x?y=x?1,?x?y=y+2,解得x=?4,y=1,
所以z=?4+i，則z=?4?i，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
zz=?4+i?4?i=17，z的實(shí)部為?4，虛部為1，
所以z的實(shí)部與虛部之積為?4，故C，D項(xiàng)正確.
故選：ACD.
11．（5分）（2024·安徽淮北·一模）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，AP=xAB+yAD，x，y∈R.（ ）

A．AD?BE+CF=0B．存在點(diǎn)P，使x=y
C．若y=34，則點(diǎn)P的軌跡長度為2D．AP?AB的最小值為?2
【解題思路】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解A，根據(jù)共線即可得矛盾求解B，根據(jù)共線即可求解C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合圖形關(guān)系即可求解D.
【解答過程】設(shè)O為正六邊形的中心，
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得ED=AB,EF=CB,CD=AF,且四邊形OAFE,OCDE,OABC均為菱形，
AD?BE+CF=AB+BC+CD?BC+CD+DE+CD+DE+EF =AB+CD+EF=AB+AF+EF=AB?FA+FE=AB?FO=0，故A正確，
假設(shè)存在存在點(diǎn)P，使x=y，則AP=xAB+yAD=xAB+AD=xAM,其中點(diǎn)M為以AB,AD為鄰邊作平行四邊形的頂點(diǎn)，
所以P在直線AM上，這與點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)矛盾，故B錯(cuò)誤，
當(dāng)y=34時(shí)，AP=xAB+34AD，
取AN=34AD,則AP?34AD=AP?AN=NP=xAB,所以點(diǎn)P的軌跡為線段HK,
其中H,K分別為過點(diǎn)N作NH//AB與EF,FD的交點(diǎn)，
由于N為OD的中點(diǎn)，所以HK//ED,HK=12ED=1,故點(diǎn)P的軌跡長度為1，C錯(cuò)誤，
由于DB⊥AB,∴AD?AB=AB2,
AP?AB=xAB+yAD?AB=xAB2+yAD?AB=4x+yAB2=4x+4y,
過F作FT⊥BA于T，則AT=12AF=1,所以此時(shí)x=?12,y=0，
由于x,y分別為AB,AD上的分量，且點(diǎn)點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以?12≤x≤0,0≤y≤1
當(dāng)P位于F時(shí)，此時(shí)x,y同時(shí)最小，故AP?AB的最小值為?2
故選：AD.

12．（5分）（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，D是BC的中點(diǎn)．則下列判斷正確的是（ ）

A．A1B∥平面AC1DB．異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為31010
C．A1D⊥BCD．平面ADC1與平面ABB1所成角的正弦值為53
【解題思路】
由線面平行的判斷即可判斷A，由異面直線夾角的定義以及余弦定理即可判斷B，由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷C，由二面角的定義即可判斷D
【解答過程】如圖，連接A1C交AC1于E，連接DE，易知E為AC1中點(diǎn)，
則DE∥A1B，且DE?面AC1D，A1B?面AC1D，所以A1B∥面AC1D，選項(xiàng)A正確；

因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，且A1B1C1?ABC為直三棱柱，
則AA1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，且AA1∩AD=A，
AA1,AD?平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，
又A1D?平面AA1D，所以A1D⊥BC，故C正確；
延長C1D交B1B于點(diǎn)P，連接PA．則PA為平面ADC1與平面ABA1的交線，
由于D為BC中點(diǎn)．∴PB=BB1．四邊形PBA1A為平行四邊形．
∴PA∥BA1，即∠APD為異面直線A1B與C1D所成角，
∴AD=BD=2，BP=4，AP=AB2+BP2=25，PD=BD2+BP2=32，
可得cs∠APD=AP2+PD2?AD22AP?PD=31010，故B正確；

關(guān)于選項(xiàng)D，PB⊥平面ABD．則平面PBA⊥平面ABD．從而三面角A?PBD為“直三面角”．
分離后設(shè)∠PAB=β，∠BAD=α，∠PAD=θ，二面角B?PA?D的平面角為φ，
且AB=2BD=DA=2，PB=4．
則在Rt△PBD中，PD=32．在Rt△PBA中，PA=25．
在Rt△PAD中，cs∠APD=3225=31010．∴sinφ=sinαsinθ=123225=53．故D正確.

故選：ABCD．
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．（5分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5+3i，OB與OA關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ?5+3i ．
【解題思路】
由對稱性結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得出點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)．
【解答過程】
設(shè)向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為a+bi,a,b∈R，對應(yīng)復(fù)平面的坐標(biāo)為a,b，
因?yàn)橄蛄縊A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5+3i，所以O(shè)A對應(yīng)復(fù)平面的坐標(biāo)為5,3，
因?yàn)镺B與OA關(guān)于y軸對稱，所以a=?5,b=3．
即向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?5+3i，因?yàn)辄c(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)是?5+3i．
故答案為：?5+3i.
14．（5分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=2,BC=3,∠ABC=60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若AM=λAB+μBC，則λ+μ= 23 .

【解題思路】
根據(jù)三角形邊長和角度，以AB,BC為基底表示出AM=12AB+16BC，即可得λ+μ=23.
【解答過程】
在Rt△ABH中，AB=2,∠ABC=60°，∴BH=12AB=1，
又因?yàn)锽C=3，可得BH=13BC；
可得AH=AB+BH=AB+13BC，
∵M(jìn)為AH的中點(diǎn)，
所以AM=12AH=12AB+16BC，由AM=λAB+μBC，
因此λ+μ=12+16=23.
故答案為：23.
15．（5分）（23-24高三上·浙江杭州·期末）位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽(yù)為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得∠BCD=70°，∠BDC=30°，CD=108米，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高AB為 310 米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：cs80°≈0.174）
【解題思路】設(shè)AB=?米，進(jìn)而可得?=BCtan80°， 在△BCD中由正弦定理求出BC，求解即可得出答案.
【解答過程】設(shè)AB=?米，因?yàn)樵邳c(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，
所以∠BCA=80°，在△ABC中，ABBC=tan80°=?BC，所以?=BCtan80°，
在△BCD中，因?yàn)椤螧CD=70°，∠BDC=30°，
所以∠CBD=180°?70°?30°=80°，
由正弦定理得CDsin∠CBD=BCsin30°，所以108sin80°=BC12，
則BC=108×12sin80°=54sin80°，
所以?=BCtan80°=54sin80°?tan80°=54cs80°≈540.174≈310米.
故答案為：310.
16．（5分）（23-24高二上·北京西城·期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在線段AD1和B1C1上．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①M(fèi)N的最小值為2；
②三棱錐N?MBC的體積為43；
③有且僅有一條直線MN與AD1垂直；
④存在點(diǎn)M，N，使△MBN為等腰三角形．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．
【解題思路】①由MN的最小值為AD1和B1C1之間的距離判斷；D1C1=2，②由等體積法VN?MBC=VM?NBC判斷；③由M，N分別與D1,C1重合和 M是線段AD1的中點(diǎn)，N與B1重合時(shí)判斷；④由AM=B1N時(shí)判斷.
【解答過程】①點(diǎn)M，N分別在線段AD1和B1C1移動(dòng)時(shí)，MN的最小值為AD1和B1C1之間的距離D1C1=2，故正確；
②三棱錐VN?MBC=VM?NBC=13S△NBCD1C1=13×12×2×2×2=43，故正確；
③當(dāng)M，N分別與D1,C1重合時(shí)，由正方體的性質(zhì)知：AD1⊥D1C1；
當(dāng)M是線段AD1的中點(diǎn)，N與B1重合時(shí)，由正方體的性質(zhì)知：A1B1⊥平面ADD1A1 ，
且AD1?平面ADD1A1，則A1B1⊥AD1，又因?yàn)锳D1⊥A1D，且A1B1∩A1D=A1,A1B1,A1D?平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1，
又MN?平面A1DCB1，則AD1⊥MN，故錯(cuò)誤；
④當(dāng)AM=B1N時(shí)，△AMB?△B1NB，則BM=BN，故存在點(diǎn)M，N，使△MBN為等腰三角形，故正確；
故答案為：①②④.
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（10分）（22-23高一下·甘肅臨夏·期末）已知復(fù)數(shù)z=m2?4+m2+2mi，根據(jù)以下條件分別求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍．
(1)z是純虛數(shù)；
(2)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限．
【解題思路】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求解即可.
【解答過程】（1）因?yàn)閦是純虛數(shù)，
所以m2?4=0m2+2m≠0?m=2；
（2）因?yàn)閦對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限，
所以m2?4

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