1．（5分）（2023?射洪市校級模擬）已知集合，，則
A．，B．C．，5，D．，
2．（5分）（2023?梅河口市校級三模）已知，則
A．B．C．D．
3．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開扇形面積是它的底面積的兩倍，則母線長為
A．1B．C．2D．
4．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知，則下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．D．
5．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知函數(shù)，則
A．B．0C．4D．6
6．（5分）（2023春?瓊海校級期中）已知，，則在上的投影向量為
A．B．C．D．
7．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）對任意的實數(shù)，，不等式恒成立，則的取值范圍是
A．或B．或C．或D．
8．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知是偶函數(shù)且在，上單調(diào)遞增，則滿足的一個值的區(qū)間可以是
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．（5分）（2023?蚌埠模擬）關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是
A．若，則B．
C．若，則D．
10．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）將正弦曲線上所有的點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，從而得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是
A．的最小正周期是
B．若為奇函數(shù)，則的一個可取值是
C．的一條對稱軸可以是直線
D．在上的最大值是1
11．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）如圖，在正方體中，點為線段上一動點，則下列說法正確的是
A．直線平面
B．存在點，使得直線與所成角為
C．三棱錐的體積為定值
D．平面與底面的交線平行于直線
12．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是
A．當時，函數(shù)有兩個不同的零點
B．存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象與軸沒有交點
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)有四個不同的零點，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2023秋?泗水縣期中）已知冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的值為 ．
14．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知直線與函數(shù)，的圖象交點的橫坐標分別為，，則 ．
15．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知三棱錐滿足，平面，，若，則其外接球體積的最小值為 ．
16．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）在等腰三角形中，底邊，底角平分線交于點，求的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍．
18．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）設(shè)函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并寫出對稱軸；
（2）設(shè)為銳角，若，求的值．
19．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經(jīng)過加熱、發(fā)泡等工藝制成的一種新型的包裝材料，疫情期間珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若本季度在原材料上多投入萬元，珍珠棉的銷售量可增加噸，每噸的銷售價格為萬元，另外每生產(chǎn)1噸珍珠棉還需要投入其他成本0.5萬元．
（1）寫出該公司本季度增加的利潤與（單位：萬元）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）當為多少萬元時，公司在本季度增加的利潤最大？增加的利潤最大為多少萬元？
20．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）在銳角中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面積．
21．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）芻甍是幾何體中的一種特殊的五面體．中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．求積術(shù)日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻甍字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形為長方形，平面，和是全等的等邊三角形．
（1）求證：；
（2）若已知，求該五面體的體積．
22．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）俄國數(shù)學家切比雪夫是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅(qū)．對定義在非空集合上的函數(shù)，以及函數(shù)，，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)，的最大值稱為函數(shù)與的“偏差”．
（1）若，，求函數(shù)與的“偏差”；
（2）若，，求實數(shù)，使得函數(shù)與的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值．
2022-2023學年廣東省深圳科學高中高一（下）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）（2023?射洪市校級模擬）已知集合，，則
A．，B．C．，5，D．，
【答案】
【考點】交集及其運算
【專題】數(shù)學運算；綜合法；集合思想；集合
【分析】根據(jù)整數(shù)集的性質(zhì)，結(jié)合集合交集的運算定義進行求解即可．
【解答】解：因為，，，
所以，．
故選：．
【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）（2023?梅河口市校級三模）已知，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運算
【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．
【解答】解：，
則，
．
故選：．
【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開扇形面積是它的底面積的兩倍，則母線長為
A．1B．C．2D．
【答案】
【考點】扇形面積公式；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積
【專題】計算題；方程思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算
【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)底面圓的半徑為1以及圓錐的側(cè)面展開扇形面積是它的底面積的兩倍，列出關(guān)于母線的方程，求解即可．
【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為，
因為圓錐的底面圓的半徑為1，所以底面積為，
由題意，圓錐的側(cè)面展開扇形面積是它的底面積的兩倍，
所以圓錐的側(cè)面積為，
所以，
解得，即圓錐的母線長為2．
故選：．
【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積計算和扇形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知，則下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)值大小的比較；對數(shù)的運算性質(zhì)
【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算；函數(shù)思想
【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，得到，，利用對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷，利用基本不等式可判斷．
【解答】解：，，，
，
，故錯誤；
，故正確，
，，故錯誤；
，，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知函數(shù)，則
A．B．0C．4D．6
【答案】
【考點】函數(shù)的值
【專題】綜合法；數(shù)學運算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想
【分析】由題意，先求出的值，可得的值．
【解答】解：函數(shù)，（1），
則（1）．
故選：．
【點評】本題主要考查求函數(shù)的值，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）（2023春?瓊海校級期中）已知，，則在上的投影向量為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；投影向量；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【專題】定義法；對應(yīng)思想；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)投影向量的定義計算即可．
【解答】解：因為，，
所以在上的投影向量為，，．
故選：．
【點評】本題考查了投影向量的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
7．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）對任意的實數(shù)，，不等式恒成立，則的取值范圍是
A．或B．或C．或D．
【答案】
【考點】函數(shù)恒成立問題
【專題】數(shù)學運算；函數(shù)思想；不等式的解法及應(yīng)用；分類法
【分析】構(gòu)造，討論的正負，通過探究的增減性，求的取值范圍．
【解答】解：構(gòu)造，
當時，，不符合，
當時，是增函數(shù)，
因為對任意的實數(shù)，，不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，解得或，因為，所以．
當時，是減函數(shù)，因為對任意的實數(shù)，，恒成立，
（2）恒成立，
解得或，因為，所以．
綜上所述或．
故選：．
【點評】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)解決不等式恒成立問題，屬于簡單易錯題，解題時一定要注意哪個字母才是構(gòu)造函數(shù)中的變量．
8．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知是偶函數(shù)且在，上單調(diào)遞增，則滿足的一個值的區(qū)間可以是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用
【專題】綜合法；三角函數(shù)的求值；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；方程思想
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，分析可得原不等式等價于，變形可得，由此分析選項可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，是偶函數(shù)且在，上單調(diào)遞增，
則，
必有，則原不等式變形可得，
分析選項：，符合．
故選：．
【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．（5分）（2023?蚌埠模擬）關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是
A．若，則B．
C．若，則D．
【答案】
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理
【分析】由數(shù)量積性質(zhì)可判斷，由分配律可判斷，由相反向量可判斷，由向量垂直可以判斷．
【解答】解：對于，若，則不一定有，錯誤；
對于，根據(jù)分配律即可得到，正確；
對于，若，則可能，那么，錯誤；
對于，若，則有，那么就不一定有，錯誤．
故選：．
【點評】本題考查向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
10．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）將正弦曲線上所有的點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，從而得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是
A．的最小正周期是
B．若為奇函數(shù)，則的一個可取值是
C．的一條對稱軸可以是直線
D．在上的最大值是1
【答案】
【考點】函數(shù)的圖象變換
【專題】對應(yīng)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算
【分析】先根據(jù)圖像變換求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)周期公式即可判斷選項；根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷選項；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可判斷選項；根據(jù)的范圍以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域即可判斷選項．
【解答】解：由題意可得函數(shù)，
則函數(shù)的最小正周期為，故正確；
若函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得
令，解得不是整數(shù)，故錯誤；
當時，為最大值，故正確；
當時，，則當時，，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，涉及到函數(shù)的周期，值域以及奇偶性，考查了學生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
11．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）如圖，在正方體中，點為線段上一動點，則下列說法正確的是
A．直線平面
B．存在點，使得直線與所成角為
C．三棱錐的體積為定值
D．平面與底面的交線平行于直線
【答案】
【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直；異面直線及其所成的角
【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理
【分析】由直線與平面垂直的判定及性質(zhì)得到，，得到直線平面，判定正確；求出異面直線所成角的范圍判斷錯誤；由直線與平面平行說明到平面的距離為定值判斷正確；由直線與平面平行的性質(zhì)判斷正確．
【解答】解：，，，
平面，則，同理，
，直線平面，故正確；
當在時，平面，又平面，
所以直線與所成角為，
異面直線與所成角為直線與直線的夾角．
當在處時，，
是直線與所成的角，易得，
故異面直線與所成角的取值范圍是，．
不存在點，使得直線與所成角為，故錯誤；
，平面，平面，平面．
可得到平面的距離為定值，即三棱錐的體積為定值，故正確；
平面，平面，設(shè)平面與底面的交線為，
由直線與平面平行的性質(zhì)，可得平面與底面的交線平行于，
又，平面與底面的交線平行于，故正確．
故選：．
【點評】本題考查空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，考查空間角及多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．
12．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是
A．當時，函數(shù)有兩個不同的零點
B．存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象與軸沒有交點
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)有四個不同的零點，則
【答案】
【考點】函數(shù)零點的判定定理；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系
【專題】數(shù)形結(jié)合法；數(shù)形結(jié)合；邏輯推理；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】．當時，作出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷即可，
．當時，（1），進行判斷即可．
．函數(shù)的定義域，，，關(guān)于不對稱，進行判斷即可．
．利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為當當時，有兩個不同的零點即可，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值進行判斷即可．
【解答】解：當時（1），即恒有一個零點1，故錯誤，
由得，
設(shè)，當時，，
當時，，
作出函數(shù)的圖象如圖：
設(shè)，當時，，作出的圖象，由圖象知，與有且只有兩個交點，即函數(shù)有兩個不同的零點．故正確，
的定義域為，，，
（2）無意義，而存在，即的圖象關(guān)于直線對稱不成立，故錯誤，
當時，和不可能有4個交點，故不滿足條件，
當時，當時，和沒有交點，
當時，和只有2個不同的交點，要使有4個不同的零點，
則只需要當時，有兩個不同的零點即可，
當時，，
得，
即，
設(shè)，
則，由得，此時函數(shù)為增函數(shù)，
由得，此時函數(shù)為減函數(shù)，
即當時，取得極大值，極大值為，
作出的圖象如圖：
當時，與在上有兩個不同的交點，
綜上要使函數(shù)有四個不同的零點，則，故正確．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2023秋?泗水縣期中）已知冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的值為 ．
【答案】．
【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域；冪函數(shù)的性質(zhì)
【專題】數(shù)學運算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想
【分析】由冪函數(shù)的定義可得，再結(jié)合的單調(diào)性確定的值即可．
【解答】解：由冪函數(shù)的定義可知，，
解得，
又在上為單調(diào)增函數(shù)，
，即，
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知直線與函數(shù)，的圖象交點的橫坐標分別為，，則 1 ．
【答案】1．
【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算；函數(shù)思想
【分析】直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，等價于函數(shù)與的交點的橫坐標，同理，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，等價于函數(shù)與的交點的橫坐標，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象求解即可．
【解答】解：直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，即為方程的解，
等價于方程的解，
等價于函數(shù)與的交點的橫坐標，
同理，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，即為方程的解，
等價于方程的解，
等價于函數(shù)與的交點的橫坐標，
因為函數(shù)與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，
所以函數(shù)與的交點坐標為，函數(shù)與的交點坐標為，
即，，
所以．
故答案為：1．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
15．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知三棱錐滿足，平面，，若，則其外接球體積的最小值為 ．
【答案】．
【考點】球的體積和表面積
【專題】對應(yīng)思想；定義法；球；數(shù)學運算
【分析】取中點，過點作交于，說明為三棱錐外接球球心，再根據(jù)基本不等式和體積公式得，進而得其外接球半徑即可得答案．
【解答】解：如圖，取中點，過點作交于，
則，
因為平面，所以平面，
因為，
所以，
所以，即為三棱錐外接球球心，為球的半徑，
因為，
所以，
因為，當且僅當時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立，
所以球的半徑，
所以，
所以三棱錐外接球體積的最小值為．
故答案為：．
【點評】本題考查球的體積相關(guān)知識，屬于中檔題．
16．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）在等腰三角形中，底邊，底角平分線交于點，求的取值范圍是 ， ．
【考點】：平行線分線段成比例定理
【專題】：立體幾何；17：選作題
【分析】利用角平分線的性質(zhì)，結(jié)合，即可確定的取值范圍．
【解答】解：底角的角平分線交于點
設(shè)，，則：
，
由題得：，，
，，
，
．
故答案為：，．
【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍．
【答案】（1）2或10；
（2），，．
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系
【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算
【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由向量模長的坐標運算可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)向量共線的坐標表示可求得的值，根據(jù)夾角為銳角可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果．
【解答】解：（1），
，解得：或，
當時，，
；
當時，，
；
綜上所述：或10
（2）若共線，則，解得：或，
當時，，，此時同向；
當時，，，此時反向；
若與的夾角為銳角，
則，解得：且，
故的取值范圍為，，．
【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）設(shè)函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并寫出對稱軸；
（2）設(shè)為銳角，若，求的值．
【答案】（1），；．．
（2）．
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性
【專題】綜合法；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算
【分析】（1）首先利用倍角公式化簡函數(shù)，然后利用整體代換思想求出函數(shù)遞增區(qū)間和對稱軸；
（2）由已知得到角的余弦值，分析所求角和已知角的關(guān)系，利用倍角公式與兩角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：（1），
當，時，單調(diào)遞增，
解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
令，，可得的對稱軸為．
（2）由（1）得，又為銳角，
，故，
所以，
，
故
．
【點評】本題考查三角恒等變換，條件求值及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
19．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經(jīng)過加熱、發(fā)泡等工藝制成的一種新型的包裝材料，疫情期間珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若本季度在原材料上多投入萬元，珍珠棉的銷售量可增加噸，每噸的銷售價格為萬元，另外每生產(chǎn)1噸珍珠棉還需要投入其他成本0.5萬元．
（1）寫出該公司本季度增加的利潤與（單位：萬元）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）當為多少萬元時，公司在本季度增加的利潤最大？增加的利潤最大為多少萬元？
【答案】（1）；
（2）當萬元時，公司在本季度增加的利潤最大，最大為8萬元．
【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型
【專題】計算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算
【分析】（1）根據(jù)題目中等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；
（2）對函數(shù)進行變形，利用基本不等式求解最值．
【解答】解：（1）；
（2），
，，
，
當且僅當，即時等號成立，
，
當萬元時，公司本季度增加的利潤最大，最大為8萬元．
【點評】本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）在銳角中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）；
（2）．
【考點】正弦定理；余弦定理；解三角形
【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算
【分析】（1）利用，結(jié)合已知可求的值；
（2）由已知可得，進而可得，可得時，，進而可求的面積．
【解答】解：（1），，
，
，，，
；
（2），，
，
當且僅當時取等號，可得，，
，
，，，可得，又．是等邊三角形，
．
【點評】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角恒等變換，屬中檔題．
21．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）芻甍是幾何體中的一種特殊的五面體．中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．求積術(shù)日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻甍字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形為長方形，平面，和是全等的等邊三角形．
（1）求證：；
（2）若已知，求該五面體的體積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算
【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）過點作，作，過點作，作，利用割補法可把該五面體分為兩個四棱錐和一個三棱柱，然后利用錐體及柱體的體積公式即得．
【解答】證明：（1）五面體中，因為平面，平面，平面平面，
所以．
解：（2）過點作，作，垂足分別為，，
過點作，作，垂足分別為，，
連接，，如圖，
取中點，連接，由知，，
因為，，且，是平面內(nèi)兩相交直線，
所以平面，
因為平面，
所以，又，是平面內(nèi)兩相交直線，
所以平面，
在中，，，可得，
所以，四棱錐和的體積均為，
三棱柱的體積，
所以，該五面體的體積為．
【點評】本題考查線面平行的性質(zhì)定理，多面體的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
22．（12分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）俄國數(shù)學家切比雪夫是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅(qū)．對定義在非空集合上的函數(shù)，以及函數(shù)，，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)，的最大值稱為函數(shù)與的“偏差”．
（1）若，，求函數(shù)與的“偏差”；
（2）若，，求實數(shù)，使得函數(shù)與的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值．
【答案】（1）3．
（2）或或2．
【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義
【專題】對應(yīng)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學運算
【分析】（1）計算出，結(jié)合，，求出，，得到“偏差”；
（2）令，，，，結(jié)合頂點坐標和端點值分類討論，得到不同范圍下的“偏差”，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1），，，因為，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，
故函數(shù)與的“偏差”為3；
（2）令，，，
因為，，（1），
令，，，
因為，，，，，，
當，即時，此時，
則的“偏差”為，由于，有最小值，滿足要求；
當，即時，此時，
則的“偏差”為，由于，無最小值，不滿足要求；
當，且，即時，
則的“偏差”為，由于，無最小值，不滿足要求；
當，且，即時，
則的“偏差”為，由于，無最小值，不滿足要求；
當，且，即時，
則的“偏差”為，由于，有最小值，滿足要求；
當，，即時，
則的“偏差”為，由于，無最小值，不滿足要求；
當，，即時，
則的“偏差”為，由于，有最小值，滿足要求；
綜上，或或2時，滿足要求．
【點評】本題屬于新概念題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，也考查了分類討論思想，理解概念是關(guān)鍵，屬于難題．
考點卡片
1．交集及其運算
【知識點的認識】
由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．
符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．
當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．
運算形狀：
①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．
【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．
【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．
命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．
2．函數(shù)的最值及其幾何意義
【知識點的認識】
函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得．
【解題方法點撥】
①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；
③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較．
【命題方向】
本知識點是?？键c，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識 點未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導法等．
3．抽象函數(shù)及其應(yīng)用
【知識點的認識】
抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一．
【解題方法點撥】
①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通過賦特殊值法使問題得以解決
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0
令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；
【命題方向】
抽象函數(shù)及其應(yīng)用．
抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．
4．函數(shù)恒成立問題
【知識點的認識】
恒成立指函數(shù)在其定義域內(nèi)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．例：要使函數(shù)f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必須對a進行限制﹣﹣令a≥0，這是比較簡單的情況，而對于比較復(fù)雜的情況時，先分離參數(shù)的話做題較簡單
【解題方法點撥】
一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量和求導．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范圍．
解：由題意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
?a≤2+2
【命題方向】
恒成立求參數(shù)的取值范圍問題是近幾年高考中出現(xiàn)頻率相當高的一類型題，它比較全面的考查了導數(shù)的應(yīng)用，突出了導數(shù)的工具性作用．
5．函數(shù)的值
【知識點的認識】
函數(shù)不等同于方程，嚴格來說函數(shù)的值應(yīng)該說成是函數(shù)的值域．函數(shù)的值域和定義域一樣，都是?？键c，也是易得分的點．其概念為在某一個定義域內(nèi)因變量的取值范圍．
【解題方法點撥】
求函數(shù)值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種：
①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；
③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較
例題：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函數(shù)在（0，1]單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減
∴最大值為：ln1﹣1＝﹣1，無最小值；
故值域為（﹣∞，﹣1）
【命題方向】
函數(shù)的值域如果是單獨考的話，主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn)，這類題難度小，方法集中，希望同學們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主．
6．冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域
【知識點的認識】
冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．
解析式：y＝xa＝
定義域：當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
1．如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；
2．如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)．
當x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：
1．在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)．
2．在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)．
而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域．
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的．
7．冪函數(shù)的性質(zhì)
【知識點的認識】
所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖象都過點（1，1）．
（1）當a＞0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：
a、圖象都通過點（1，1）（0，0）；
b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；
c、在第一象限內(nèi)，a＞1時，圖象開口向上；0＜a＜1時，圖象開口向右；
d、函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）當a＜0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：
a、圖象都通過點（1，1）；
b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；
c、在第一象限內(nèi)，當x從右趨于原點時，圖象在y軸上方趨向于原點時，圖象在y軸右方無限逼近y軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸．
（3）當a＝0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：
a、y＝x0是直線y＝1去掉一點（0，1），它的圖象不是直線．
8．指數(shù)式與對數(shù)式的互化
【知識點的認識】
ab＝N?lgaN＝b；
algaN＝N；lgaaN＝N
指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：
（1）af（x）＝b?f（x）＝lgab；lgaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）
（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；lgaf（x）＝lgag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）?f（x）lgma＝g（x）lgmb；（兩邊取對數(shù)法）
（4）lgaf（x）＝lgbg（x）?lgaf（x）＝；（換底法）
（5）\;Alg4{a}^{2}$x+Blgax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝lgax或t＝ax）（換元法）
9．對數(shù)的運算性質(zhì)
【知識點的認識】
對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
10．對數(shù)值大小的比較
【知識點的認識】
1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．
2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較
3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）
11．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【知識點的認識】
12．扇形面積公式
【知識點的認識】
弧長、扇形面積的公式
設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l＝ rα ，扇形的面積為S＝lr＝r2α．
【解題方法點撥】
弧長和扇形面積的計算方法
（1）在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．
（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．
（3）記住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半徑，l是弧長，α（0＜α＜2π）為圓心角，S是扇形面積．
【命題方向】
扇形的周長為6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
分析：設(shè)出扇形的圓心角為αrad，半徑為Rcm，根據(jù)扇形的周長為6cm，面積是2cm2，列出方程組，求出扇形的圓心角的弧度數(shù)．
解：設(shè)扇形的圓心角為αrad，半徑為Rcm，
則，解得α＝1或α＝4．
選C．
點評：本題考查扇形面積公式，考查方程思想，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．
13．正弦函數(shù)的單調(diào)性
【知識點的認識】
三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法
1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
14．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換
【知識點的認識】
函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟
兩種變換的差異
先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的．
【解題方法點撥】
1．一個技巧
列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點”的坐標．
2．兩個區(qū)別
（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．
3．三點提醒
（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；
（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導公式化為同名函數(shù)；
（3）由y＝Asin ωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．
15．兩角和與差的三角函數(shù)
【知識點的認識】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
16．函數(shù)零點的判定定理
【知識點的認識】
1、函數(shù)零點存在性定理：
一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．
特別提醒：
（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不一定唯一．
（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點．
（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．
【解題方法點撥】
函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：
（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．
特別提醒：
①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；
②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點．
（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實數(shù)根．
17．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系
【知識點的認識】
函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．
【解題方法點撥】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．
例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）
∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．
【命題方向】
直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．
18．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型
【知識點的認識】
1．實際問題的函數(shù)刻畫
在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學習函數(shù)的重要內(nèi)容．
2．用函數(shù)模型解決實際問題
（1）數(shù)據(jù)擬合：
通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．
（2）常用到的五種函數(shù)模型：
①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。?br>③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．
④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．
⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．
在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．
3．函數(shù)建模
（1）定義：用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學建模．
（2）過程：如下圖所示．
【解題方法點撥】
用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：
（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題
①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．
（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題
①閱讀理解題意
看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；
②抽象函數(shù)模型
在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；
③研究函數(shù)模型的性質(zhì)
根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；
④得出問題的結(jié)論
根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．
【命題方向】
典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．
解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：
當x∈[10，1000]時，
①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%＝x，
A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；
B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞5不滿足公司要求；
C中，函數(shù)y＝l+lg7x，易知滿足①，當x＝1000時，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故滿足公司要求；
D中，函數(shù)y＝x2，易知滿足①，當x＝400時，y＞5不滿足公司要求；
故選C
點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計，解題的關(guān)鍵是一一驗證．
典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：
（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費t（萬元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？
（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用+生產(chǎn)費用）
分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)．
（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．
解答：解：（1）由題意：3﹣x＝，
且當t＝0時，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因為當且僅當，即t＝7時取等號，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）
點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
19．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義
【知識點的認識】
1、向量的夾角概念：
對于兩個非零向量，如果以O(shè)為起點，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．
2、向量的數(shù)量積概念及其運算：
（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||csθ叫做與的數(shù)量積，記做
即：＝||||csθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．
注意：
① 表示數(shù)量而不表示向量，符號由csθ決定；
②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||csθ，它可以為正，可以為負，也可以為0
（3）坐標計算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，
3、向量的夾角公式：
4、向量的模長：
5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||csθ的積．
20．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【知識點的認識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當，方向相同時，＝||||；當，方向相反時，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）
（4）csθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運算
平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．
21．平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角
【知識點的認識】
1、向量的夾角概念：
對于兩個非零向量，如果以O(shè)為起點，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．
2、向量的數(shù)量積概念及其運算：
（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||csθ叫做與的數(shù)量積，記做
即：＝||||csθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．
注意：
① 表示數(shù)量而不表示向量，符號由csθ決定；
②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||csθ，它可以為正，可以為負，也可以為0
（3）坐標計算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，
3、向量的夾角公式：
4、向量的模長：
5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||csθ的積．
22．投影向量
【知識點的認識】
投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．
設(shè)，是兩個非零向量，，，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解題方法點撥】
投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個方向上的單位向量．
（1）向量在向量上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量，且與共線，其方向由向量和夾角θ的余弦值決定．
（2）注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量為．
【命題方向】
（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．
（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．
（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．
23．正弦定理
【知識點的認識】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況
由上表可知，當A為銳角時，a＜bsinA，無解．當A為鈍角或直角時，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．
24．余弦定理
【知識點的認識】
1．正弦定理和余弦定理
【解題方法點撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．
25．解三角形
【知識點的認識】
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．
7．關(guān)于三角形面積問題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）
在解三角形時，常用定理及公式如下表：
26．復(fù)數(shù)的運算
【知識點的認識】
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則
27．共軛復(fù)數(shù)
【知識點的認識】
實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)＝a﹣bi．
【解題方法點撥】
共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：
；；；
【命題方向】
共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運算和乘法運算進行推廣．運用共軛復(fù)數(shù)運算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學符號變換的能力，培優(yōu)學生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．
28．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）
【知識點的認識】
旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線
叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．
1．圓柱
①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．
圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．
②認識圓柱
③圓柱的特征及性質(zhì)
圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．
④圓柱的體積和表面積公式
設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：
2．圓錐
①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．
圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．
②認識圓錐
③圓錐的特征及性質(zhì)
與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．
母線長l與底面半徑r和高h的關(guān)系：l2＝h2+r2
④圓錐的體積和表面積公式
設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：
3．圓臺
①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．
圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．
②認識圓臺
③圓臺的特征及性質(zhì)
平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．
④圓臺的體積和表面積公式
設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：
．
29．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積
【知識點的認識】
側(cè)面積和全面積的定義：
（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．
（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．
柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）
S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）
30．棱柱、棱錐、棱臺的體積
【知識點的認識】
柱體、錐體、臺體的體積公式：
V柱＝sh，V錐＝Sh．
31．球的體積和表面積
【知識點的認識】
1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．
2．球體的體積公式
設(shè)球體的半徑為R，
V球體＝
3．球體的表面積公式
設(shè)球體的半徑為R，
S球體＝4πR2．
【命題方向】
考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．
32．異面直線及其所成的角
【知識點的認識】
1、異面直線所成的角：
直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．
2、求異面直線所成的角的方法：
求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．
3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：
33．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【知識點的認識】
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：
34．直線與平面垂直
【知識點的認識】
直線與平面垂直：
如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．
直線與平面垂直的判定：
（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．
（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．
（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．
直線與平面垂直的性質(zhì)：
①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b
②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．
35．平行線分線段成比例定理
【知識點的認識】
平行線分線段成比例定理
定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/3/10 23:55:14；用戶：初中數(shù)學；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學號：29841565定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
位置關(guān)系
公共點個數(shù)
符號表示
圖示
直線在平面內(nèi)
有無數(shù)個公共點
a?α

直線和平面相交
有且只有一個公共點
a∩α＝A

直線和平面平行
無
a∥α

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