2022-2023學(xué)年廣東省深圳科學(xué)高中高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)整數(shù)集的性質(zhì)，結(jié)合集合交集的運(yùn)算定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：D2．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即可求解.【詳解】所以，所以，故選：B.3．底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形面積是它的底面積的兩倍，則母線長(zhǎng)為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和底面積的關(guān)系列方程，從而求得母線長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，依題意，圓錐的底面半徑，則.故選：C4．已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、基本不等式等知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，，，，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5．已知函數(shù)，則（    ）A． B．0 C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，可得答案.【詳解】由題意可知：，，.故選：A.6．已知，，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【詳解】依題意在上的投影向量為.故選：A.7．對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（    ）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【分析】通過(guò)轉(zhuǎn)換主參變量的方法來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，整理得，令，則，解得或.故選：A8．已知是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則滿足的一個(gè)值的區(qū)間可以是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性化簡(jiǎn)題目所給不等式，結(jié)合三角恒等變換以及三角不等式等知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，且，所以，則，所以，，時(shí)，，所以符合題意的區(qū)間為，D選項(xiàng)正確，其它選項(xiàng)不符合題意.故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性中，如果函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)在軸兩側(cè)對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相反，如果函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)在軸兩側(cè)對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同.解三角不等式可以考慮整體代入法來(lái)進(jìn)行求解. 二、多選題9．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法不正確的是（    ）A．若，則B．C．若，則D．【答案】ACD【分析】由數(shù)量積性質(zhì)可判斷A，由分配律可判斷B，由相反向量可判斷C，由向量垂直可以判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則不一定有，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)分配律即可得到，B正確；對(duì)于C，若，則可能，那么，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則有，那么就不一定有，D錯(cuò)誤.故選：ACD10．將正弦曲線上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，從而得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的最小正周期是B．若為奇函數(shù)，則的一個(gè)可取值是C．的一條對(duì)稱軸可以是直線D．在上的最大值是1【答案】AC【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得，由三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性、最值等知識(shí)確定正確答案.【詳解】圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變得到.的最小正周期是，A選項(xiàng)正確.不是奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以的一條對(duì)稱軸可以是直線，C選項(xiàng)正確.，所以在上的最大值是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）    A．直線平面B．存在點(diǎn)，使得直線與所成角為30°C．三棱錐的體積為定值D．平面與底面的交線平行于直線【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可證得平面，則，同理，從而由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論，對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，可求出直線與所成角為直角，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，可求得直線與所成角為，從而可進(jìn)行判斷，對(duì)于C，可證得∥平面，從而可進(jìn)行判斷，對(duì)于D，利用線面平行的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，同理，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?/span>平面，平面，所以直線與所成的角為直角，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，因?yàn)?/span>∥，所以是直線與所成的角，此時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)不與或重合時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因?yàn)?/span>∥，所以∥，所以為直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，所以，，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，綜上，直線與所成角的范圍為，所以不存在點(diǎn)，使得直線與所成角為30°，所以B錯(cuò)誤，  對(duì)于C，因?yàn)?/span>∥，平面，平面，所以∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)?/span>的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確，對(duì)于D，設(shè)平面與平面交于直線，因?yàn)?/span>∥平面，平面，所以∥，因?yàn)?/span>∥，所以∥，即平面與底面的交線平行于直線，所以D正確，故選：ACD  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面垂直的判定，考查異面直線所成的角，考查棱錐的體積，考查面面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用正方體的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析判斷，考查空間想象能力，屬于中檔題.12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則【答案】AD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可；對(duì)于選項(xiàng)B，利用當(dāng)時(shí)，即可得出判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于直線不對(duì)稱，從而得出判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于直線不對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象不可能關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，即函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)A，由得.設(shè)，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖所示.設(shè)，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖所示.由圖象知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；  對(duì)于選項(xiàng)D，由上述分析知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象不可能有4個(gè)交點(diǎn)，故不滿足函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故要使函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，只需要滿足當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn).  當(dāng)時(shí)，，得.令，，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為；當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于；當(dāng)趨向于2時(shí)，趨向于，故當(dāng)時(shí)，與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).綜上所述，要使函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，解決策略是利用函數(shù)與方程思想，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，通過(guò)考查兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決. 三、填空題13．已知冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為      .【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性，建立方程與不等式，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故答案為：.14．已知直線與函數(shù)，的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則      .【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】由得；由得；畫(huà)出的圖象如下圖所示，與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由解得，所以.故答案為：  15．已知三棱錐滿足，平面，，若，則其外接球體積的最小值為          ．【答案】【分析】取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，說(shuō)明為三棱錐外接球球心，再根據(jù)基本不等式和體積公式得，進(jìn)而得其外接球半徑即可得答案.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，則，因?yàn)?/span>平面，所以平面，因?yàn)?/span>，所以，所以，即為三棱錐外接球球心，為球的半徑，因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，球的半徑，所以，，所以三棱錐外接球體積的最小值為故答案為：16．在等腰中，底邊，底角的內(nèi)角平分線交于，則的取值范圍是      .【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形底角角平分線的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理，建立方程，利用三角形三邊關(guān)系，建立不等式，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：  底角的角平分線交于點(diǎn)，，在中，由正弦定理可得，則，同理，在中，，在中，，化簡(jiǎn)可得：，，則，，設(shè)，，則，解得，在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有，，，，，，且有，的取值范圍為.故答案為：. 四、解答題17．已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果；（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值，根據(jù)夾角為銳角可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1），，解得：或，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；綜上所述：或10（2）若共線，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)同向；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)反向；若與的夾角為銳角，則，解得：且，的取值范圍為.18．設(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并寫(xiě)出對(duì)稱軸；(2)設(shè)為銳角，若，求的值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是；對(duì)稱軸是.(2) 【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間以及對(duì)稱軸.（2）根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得的值.【詳解】（1），由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.由，解得，所以的對(duì)稱軸是.（2）依題意，，所以，，所以.19．珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經(jīng)過(guò)加熱、發(fā)泡等工藝制成的一種新型的包裝材料，疫情期間珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若本季度在原材料上多投入萬(wàn)元，珍珠棉的銷售量可增加噸，每噸的銷售價(jià)格為萬(wàn)元，另外每生產(chǎn)1噸珍珠棉還需要投入其他成本萬(wàn)元.(1)寫(xiě)出該公司本季度增加的利潤(rùn)與（單位：萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系；(2)當(dāng)為多少萬(wàn)元時(shí)，公司在本季度增加的利潤(rùn)最大？增加的利潤(rùn)最大為多少萬(wàn)元？【答案】(1)；(2)萬(wàn)元時(shí)，公司在本季度增加的利潤(rùn)最大，最大為萬(wàn)元. 【分析】（1）根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)函數(shù)關(guān)系式變形，利用基本不等式求解最值.【詳解】（1）由題意，列出函數(shù)關(guān)系式可得，，又因?yàn)?/span>，所以，所以該公司本季度增加的利潤(rùn)與（單位：萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為（2）化簡(jiǎn)，因?yàn)?/span>，所以，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，公司本季度增加的利潤(rùn)最大，最大為萬(wàn)元.20．在銳角中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.(1)求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此求得的值.（2）利用余弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)判斷出三角形的形狀，由此求得的面積.【詳解】（1）依題意，，由余弦定理得，整理得，由于三角形是銳角三角形，所以，則.（2）由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，所以，由于為銳角，所以，此時(shí)，所以三角形是等邊三角形，所以.21．芻（chu?）甍（me?ng）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣。芻，草也。甍，屋蓋也。求積術(shù)日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱，芻甍字面意思為茅草屋頂。……”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，四邊形為長(zhǎng)方形，平面，和是全等的等邊三角形.(1)求證：；(2)若已知，求該五面體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)定理即得；（2）過(guò)點(diǎn)作，作，過(guò)點(diǎn)作，作，利用割補(bǔ)法可把該五面體分為兩個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱柱，然后利用錐體及柱體的體積公式即得.【詳解】（1）五面體中，因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，所以.（2）過(guò)點(diǎn)作，作，垂足分別為，，過(guò)點(diǎn)作，作，垂足分別為，，連接，，如圖，取中點(diǎn)，連接，由知，，因?yàn)?/span>，，且，是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，又，是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，在中，，，可得，所以，四棱錐和的體積均為，三棱柱的體積，所以，該五面體的體積為.22．俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅(qū).對(duì)定義在非空集合上的函數(shù)，以及函數(shù)，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)，的最大值稱為函數(shù)與的“偏差”.(1)若，，求函數(shù)與的“偏差”；(2)若，，求實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.【答案】(1)；(2)時(shí)，函數(shù)與的“偏差”取得最小值為 【分析】（1）寫(xiě)出的解析式，結(jié)合，求出值域，可得偏差；（2）令，，結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)和端點(diǎn)值分類討論，得到不同范圍下的“偏差”.【詳解】（1），因?yàn)?/span>，所以，則，所以函數(shù)與的“偏差”為.（2）令，，因?yàn)?/span>，所以，，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，則的“偏差”為，此時(shí)， 當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，則“偏差”為，此時(shí)，無(wú)最小值， 當(dāng)，，且，即時(shí)，則“偏差”為，此時(shí)，無(wú)最小值， 當(dāng)，，且，即時(shí)，則的“偏差”為，此時(shí)，無(wú)最小值，當(dāng)，，且，即時(shí)，則的“偏差”為，此時(shí)，當(dāng)，，即時(shí)，則的“偏差”為，此時(shí)，無(wú)最小值，當(dāng)，，即時(shí)，則的“偏差”為，此時(shí)，綜上， 時(shí)，函數(shù)與的“偏差”取得最小值為.【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問(wèn)題，常常會(huì)和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進(jìn)行結(jié)合，解決此類問(wèn)題，一般需要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論. 

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