浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題
考生須知：
1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、單選題：每小題5分，滿分40分．
1. 在中，，，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量加法的三角形法則結(jié)合相反向量的定義可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，故.
故選：D.
2. 若復(fù)數(shù)z滿足，i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z即可得出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.
【詳解】由題意復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第二象限.
故選：B.
3. 在中，，，，則角B的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.
【詳解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故選：A
4. 已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念得到方程組，解出即可.
【詳解】，
則，解得，則其虛部為.
故選：A.
5. 已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】借助單位向量與反向向量的定義計(jì)算即可得.
【詳解】.
故選：B.
6. 已知三條邊上的高分別為3，4，6，則最小內(nèi)角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由的三邊上對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度分別為3，4，6，利用等面積法得到三邊的關(guān)系，再利用余弦定理求解.
【詳解】由題意，不妨設(shè)的三邊上對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度分別為3，4，6，
由三角形的面積公式可得：，
解得：，
設(shè)，
則，
可得c為三角形最小邊，C為三角形的最小內(nèi)角，
由余弦定理得：
故選：D.
7. 已知圓O的半徑為2，弦的長(zhǎng)為2，C為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出輔助線，得到，數(shù)形結(jié)合得到的最值，從而得到答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，
則，故，
設(shè)直線與圓分別交于點(diǎn)，，
因?yàn)閳AO的半徑為2，弦的長(zhǎng)為2，故為等邊三角形，故，
顯然當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值，最小值為，
當(dāng)當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，最大值為，
故.
故選：D
8. 在中，已知，若，分別是的三等分點(diǎn)，其中靠近點(diǎn)，記，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出圖象，由題意可得，分別是，的中點(diǎn)，從而得,,設(shè)，則，由余弦定理可得，，，，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，用作差法即可比較出
的大小關(guān)系.
【詳解】解：如圖所示：
設(shè)，則，
由余弦定理可得，
所以，
又因?yàn)?，分別是的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
即，
所以，
所以，
又因，所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，
所以,,
所以，
所以，
，
所以，
所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是得出，分別是，的中點(diǎn)，從而得,.
二、多選題：每小題6分，2選題每選項(xiàng)對(duì)得3分，3選題每選項(xiàng)對(duì)得2分，有錯(cuò)選或不選得零分，滿分18分．
9. 已知非零復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)AD：采用特殊值，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算即可判斷；對(duì)B：設(shè)出，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義，計(jì)算后即可判斷；對(duì)C：設(shè)出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算公式，即可判斷.
【詳解】對(duì)A：取，則，，顯然，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：設(shè)，，則，故B正確；
對(duì)C：設(shè)，，，
則，，，故C正確；
對(duì)D：取，，則，，，，而，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 己知的三個(gè)內(nèi)角分別是A，B，C，則下列結(jié)論一定成立的是（）
A.
B.
C. “”是“”成立的充分不必要條件
D. 一定能構(gòu)成三角形的三條邊
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷A，B；利用正弦定理結(jié)合充分條件必要條件判斷C;根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形三邊滿足關(guān)系判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以，所以能推出?br>反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，不一定成立，
所以“”是“”成立的充分不必要條件，故C正確；
對(duì)于D，由正弦定理可得，，不妨設(shè)，
則，故，且，
所以，故D正確，
故選：BCD.
11. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知D，E分別在邊上，且的重心在上，又，設(shè)，（為相應(yīng)三角形的面積），則以下正確的是（）
A. B. 的最小值為
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，設(shè)的重心為，由題意可知，三點(diǎn)共線，，化簡(jiǎn)判斷A；對(duì)于B，，，結(jié)合，判斷B；對(duì)于C，D，借助向量表示得，化簡(jiǎn)，判斷C，D.
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)的重心為，由題意可知，三點(diǎn)共線，
所以存在使得，
因?yàn)榍遥?br>所以，化簡(jiǎn)得，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，
又因?yàn)椋矗?br>所以，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
所以的最小值為，故B正確；
對(duì)于C，D，因?yàn)椋裕矗?br>又因?yàn)椋?br>，
，
所以，
所以，故D正確，C錯(cuò)誤，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C，D選項(xiàng)，利用空間向量，得，即，根據(jù)數(shù)量積即可得到答案.
非選擇題部分
三、填空題：每小題5分，滿分15分．
12. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，i是虛數(shù)單位，則______________．
【答案】
【解析】
【分析】借助復(fù)數(shù)的概念與模長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.
【詳解】，
則有且，即，則.
故答案為：.
13. 已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是______________．
【答案】
【解析】
【分析】?jī)蛇吰椒降?，利用投影向量的公式求出答?
【詳解】?jī)蛇吰椒降?，?br>即，
故向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.
故答案為：
14. 四邊形中，與交于點(diǎn)P，已知，且P是的中點(diǎn)，，又，則四邊形的面積是______________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，根據(jù)向量線性運(yùn)算利用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，根據(jù)三角形面積公式可求結(jié)論.
【詳解】設(shè)，，則，
因?yàn)镻是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以①，②，
①②可得，，代入①可得，
因?yàn)椋裕?br>又，所以，
因?yàn)?，?br>所以，所以，，
所以，,又，
所以，
設(shè)的邊上的高為，的邊上的高為，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以四邊形的面積是，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于引入基底，，利用基底表示，利用向量知識(shí)求出.
四、解答題：共5小題，滿分77分．
15. 已知向量滿足．
（1）求向量與夾角的余弦值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角的計(jì)算公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋?br>所以，
又，所以，
所以，
所以向量與夾角的余弦值為；
【小問(wèn)2詳解】
由
，
所以．
16. 在中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理與兩角和的正弦定理計(jì)算即可得；
（2）借助余弦定理與面積公式計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
由，以及正弦定理可得：，
即，
即，
又在中，，所以，
又，所以，
【小問(wèn)2詳解】
由余弦定理，
得，由得，
所以的面積．
17. 如圖，在中，已知，M是的中點(diǎn)，N是上的點(diǎn)，且相交于點(diǎn)P．設(shè).
（1）若，試用向量表示;
（2）若，求實(shí)數(shù)x的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的加法運(yùn)算即可求得；設(shè)，利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形關(guān)系可得，再由向量共線的性質(zhì)得到，最后表示出所求向量即可；
（2）利用向量垂直的性質(zhì)和數(shù)量積的定義式計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，
即，
由共線得：，解得：，
所以，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
，
因?yàn)椋捎诠簿€，故，
所以，
解．
18. 在銳角中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理和余弦定理邊角互化，進(jìn)而求出角C.
（2）應(yīng)用余弦定理，化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由余弦定理，及正弦定理得
．
所以，又，
所以
所以
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，
所以
19. 設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量的夾角為，定義一種運(yùn)算“”：．試求解下列問(wèn)題，
（1）已知向量滿足，求的值；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，求的值；
（3）已知向量，求最小值.
【答案】（1）2 （2）7
（3）9
【解析】
【分析】（1）借助新定義計(jì)算即可得；
（2）借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計(jì)算可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得；
（3）由，代入數(shù)據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，則，
所以，
，
所以，
又，
所以；
小問(wèn)3詳解】
由（2）得，
故，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值的最小是9．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計(jì)算得到.

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