本試卷分試題和答題卡兩部分，所有答案一律寫在答題卡上．考試時間為120分鐘．試卷滿分150分．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標(biāo)號涂黑）
1. -4的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. 4D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)）即可求解．
【詳解】-4的相反數(shù)是4，
故選：C．
【點晴】此題主要考查相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)的定義．
2. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分式有意義的條件計算即可．
【詳解】∵函數(shù)有意義，
∴．
即，
故選A．
【點睛】本題考查了函數(shù)有意義的條件，熟練掌握分母不為零是解題的關(guān)鍵．
3. 下列運算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由合并同類項可判斷A，由同底數(shù)冪的乘法運算可判斷B，由冪的乘方運算可判斷C，由同底數(shù)冪的除法運算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：不是同類項，不能合并，故A不符合題意；
故B不符合題意；
故C不符合題意；
，運算正確，故D符合題意；
故選D
【點睛】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方運算，同底數(shù)冪的除法運算，掌握以上基礎(chǔ)運算是解本題的關(guān)鍵．
4. 下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的判斷是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；
故選：D．
5. 若是關(guān)于x方程的解，則m的值是（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入即可求出m的值．
【詳解】把代入，得
-2+m=1，
∴m=3，
故選A．
【點睛】本題考查了一元一次方程解得定義，能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，熟記等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 新冠疫情防控形勢下，學(xué)校要求學(xué)生每日測量體溫．某同學(xué)連續(xù)一周的體溫情況如表所示，該同學(xué)這一周體溫數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A. 36.3，36.2B. 36.3，36.3C. 36.5，36.4D. 36.3，36.4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義：一組數(shù)據(jù)中處在最中間或處在最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，求解即可．
【詳解】解：把已知數(shù)據(jù)按照由小到大的順序重新排序后為36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.5，36.5，
該名同學(xué)這一周體溫出現(xiàn)次數(shù)最多的是36.3℃，共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是36.3，
將這七天的體溫從小到大排列處在中間位置的一個數(shù)是36.3℃，因此中位數(shù)是36.3，
故選：B．
【點睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)，理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
7. 下列判斷錯誤的是（ ）
A. 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B. 四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形
C. 對角線相等的四邊形是矩形
D. 四條邊都相等的四邊形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查矩形的判定，平行四邊形的判定和菱形的判定，掌握相關(guān)判定定理，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的判定，平行四邊形的判定和菱形的判定定理，進行判斷即可．
【詳解】解：A、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確；
B、四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，正確；
C、對角線相等且平分的四邊形是矩形，故選項錯誤；
D、四條邊都相等的四邊形是菱形，正確；
故選C．
8. 已知，用兩把完全相同的直尺按如圖方式擺放，一把直尺（甲的一邊與射線重合，另一邊交射線于點，另一把直尺（乙的靠在直尺（甲的處，且另一邊與射線重合，作射線．若，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角定理，過點作于點，根據(jù)圖中是兩把完全相同的直尺得，，則為的平分線，進而得，再根據(jù)得，然后根據(jù)三角形的外角定理可得的度數(shù)．
【解答】解：過點作于點，如下圖所示：
圖中是兩把完全相同的直尺，
，，
為的平分線，
，
，
，
．
故選：C．
9. 如圖，在△ABC中，點D是線段AB上的一點，過點D作DE∥AC交BC于點E，將△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若點C恰好在線段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝，則CE的長度為（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)DC＝3x，，則DB'＝5x，由折疊的性質(zhì)得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC＝8，設(shè)CE＝a，則BE＝8﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，則可得出答案．
【詳解】解：設(shè)DC＝3x，CB'＝2x，則DB'＝5x，
∵將△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，
∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD＝3x，
∴AB＝AD+DB＝8x＝16，
∴x＝2，
∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4，
∴BC＝＝8，
設(shè)CE＝a，則BE＝8﹣a＝B'E，
∵CE2+B'C2＝B'E2，
∴a2+32＝（8﹣a）2，
解得a＝3，
∴CE＝3，
故選：C．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 已知拋物線與軸的交點為和，點，是拋物線上不同于，的兩個點，記的面積為，的面積為，有下列結(jié)論：
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，；
④當(dāng)時，．
其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ②③B. ①③C. ①②③④D. ③
【答案】D
【解析】
【分析】不妨假設(shè)，利用圖像法一一判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線與軸的交點為和，
∴拋物線的對稱軸為，
不妨假設(shè)．
①如圖1中，當(dāng)，，點，滿足，
∵，
∴，
∵的面積，的面積，
∴，故①錯誤；
②當(dāng)，，滿足，
這時點，在拋物線對稱軸的左側(cè)，
∵
∴，
∵的面積，的面積，
∴，故②錯誤．
③∵，
∴，在軸的上方，且離軸的距離比離軸的距離大，
∴，
∵的面積，的面積，
∴，故③正確．
④如圖中，當(dāng)，，點，滿足，
∵，
∴，
∵的面積，的面積，
∴，故④錯誤．
故選：D．
【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數(shù)圖像上的點的特征等知識．解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖像法解決問題．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查提公因式法與公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
12. 航天科技集團所研制的天問一號探測器由長征五號運載火箭發(fā)射，并成功著陸于火星，距離地球約192000000千米．將數(shù)據(jù)192000000用科學(xué)記數(shù)法表示為___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的定義即可求解．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：192000000用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故答案為：．
【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法定義，關(guān)鍵是理解運用科學(xué)記數(shù)法．
13. 五邊形的內(nèi)角和等于___________度．
【答案】540
【解析】
【分析】直接根據(jù)邊形的內(nèi)角和進行計算即可．
【詳解】解：五邊形的內(nèi)角和．
故答案為：540．
【點睛】本題考查了邊形的內(nèi)角和定理：邊形的內(nèi)角和．
14. 寫一個函數(shù)表達式，使其圖像經(jīng)過第二象限，且函數(shù)值隨自變量的增大而減小：_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則,據(jù)此求解即可．
【詳解】解：由題意得，滿足題意的函數(shù)解析式可以為，
故答案為：（答案不唯一）
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知對于一次函數(shù)，當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限， 當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限是解題的關(guān)鍵．
15. 若一個圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是_________°．
【答案】120
【解析】
【詳解】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2π×2=4π（cm），
設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．
則=4π，
解得：n=120．
故答案為120．
16. 在《九章算術(shù)》的“方程”一章里，一次方程組是由算籌布置而成，如圖1，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)，圖1的算籌圖用我們現(xiàn)在的所熟悉的方程組形式表達就是，則圖2所示的算籌圖所表示的方程組的解為__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)圖1的算籌圖得到圖2所示的算籌圖所表示的方程組，解方程組，即可求解；理解算籌圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：圖2所示的算籌圖所表示的方程組為
，解得：；
故答案：．
17. 如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，的頂點均在格點上，則的面積為________，陰影部分的面積為_______．
【答案】 ①. 5 ②. ##1.4
【解析】
【分析】本題考查對于幾何圖形的轉(zhuǎn)化以及圖形相似的知識，通過對無法求出的三角形面積進行變形，轉(zhuǎn)化成規(guī)則的長方形減去幾個三角形的面積即可求出的面積，尋找相似的三角形，利用三角形相似的性質(zhì)即可求出陰影部分的面積．
【詳解】答題空1：
的面積為：
；
答題空2：
由平移的性質(zhì)可知，，
∴，
∵，
∴，
即陰影部分的面積為．
故答案為：5，．
18. 如圖，點A的坐標(biāo)是，點C是以為直徑的上的一動點，點A關(guān)于點C的對稱點為點，則的最小值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，軸對稱，軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．根據(jù)題意可得點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，以為半徑的圓．設(shè)，則點P在直線上，可得當(dāng)直線與圓O相切且為與圓O的下方時，的值最小，此時的值最小，設(shè)此時直線與x軸交于點E，與y軸交于點F，圓O與直線的切點為點G，則點，，然后根據(jù)，可求出k，即可．
【詳解】解：連接，
∵點A關(guān)于點C的對稱點為點，點C是以為直徑的上的一動點，
∴，
∴點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，以為半徑的圓．
設(shè)，則點P在直線上，
∴當(dāng)直線與圓O相切且為與圓O的下方時，的值最小，此時的值最小，
設(shè)此時直線與x軸交于點E，與y軸交于點F，圓O與直線的切點為點G，則點，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案為：
三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查殊角三角函數(shù)值、化簡絕對值、零指數(shù)冪和分式化簡，熟練掌握實數(shù)，分式的相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）化簡絕對值及零指數(shù)冪，代入特殊角三角函數(shù)值計算即可得到答案；
（2）根據(jù)同分母分式相加的法則計算，再約分即可得答案．
【小問1詳解】
解：
．
【小問2詳解】
．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式組：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解一元二次方程的應(yīng)用，解（1）的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等，解（2）的關(guān)鍵是熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則．
（1）利用因式分解法解方程；
（2）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【詳解】解：（1）
或
解得，；
（2）
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴ 不等式組的解集為．
21. 已知，如圖所示，，，點E、F在上．，連接，求證：
（1）；
（2）四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定：
（1）由即可證明即可證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，即可證明四邊形為平行四邊形．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴，，
∴，
∴；
∴四邊形是平行四邊形．
22. 近期教育部表示 “雙減”依然是今年工作中的“重中之重”，作為“雙減”政策落地后第二個學(xué)期，不少學(xué)校的作業(yè)總量已經(jīng)大幅減少．依據(jù)政策要求，初中書面作業(yè)平均完成時間不超過分鐘，學(xué)生每天完成作業(yè)的時長不能超過小時．某中學(xué)自糾自查，對本校學(xué)生的作業(yè)情況進行了抽樣調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：
（1）這次抽樣共調(diào)查了 名學(xué)生，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）計算扇形統(tǒng)計圖中表示作業(yè)時長為小時對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為 ；
（3）若該中學(xué)共有學(xué)生人，請據(jù)此估計該校學(xué)生的作業(yè)時間不少于小時的學(xué)生人數(shù)；
（4）通過本次調(diào)查，你認(rèn)為該學(xué)校作業(yè)布置是否滿足教育部的“雙減”政策要求？請說明理由．
【答案】（1），見解析
（2）
（3）估計該校學(xué)生的作業(yè)時間不少于小時的學(xué)生人數(shù)有人
（4）不滿足，見解析
【解析】
【分析】本題主要考查統(tǒng)計與調(diào)查及平均數(shù)，熟練掌握統(tǒng)計與調(diào)查及平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)統(tǒng)計圖可知作業(yè)時長為小時的人數(shù)有人，所占百分比為，進而問題可求解；
（2）由（1）及作業(yè)時長為小時的人數(shù)可求所占百分比；
（3）由題意知作業(yè)時長不少于小時的人數(shù)為人，然后問題可求解；
（4）先由題意得出作業(yè)時長為小時的所占百分比，然后求出作業(yè)時長的平均值，進而問題可求解．
【小問1詳解】
解：由兩幅統(tǒng)計圖可知：部分學(xué)生完成作業(yè)所需要的時間為小時的有人，占調(diào)查學(xué)生總數(shù)的，每天完成作業(yè)所需要的時間為小時的占調(diào)查學(xué)生總數(shù)的，
∴這次抽樣共調(diào)查了（名）學(xué)生，
∴每天完成作業(yè)所需要的時間為小時的有人，
補全條形統(tǒng)計圖如下：
故答案為：；
【小問2詳解】
由條形統(tǒng)計圖可知：每天完成作業(yè)所需要的時間為小時的有人，
∴扇形統(tǒng)計圖中表示作業(yè)時長為小時對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為；
故答案為：．
【小問3詳解】
由條形統(tǒng)計圖可知：
調(diào)查學(xué)生中作業(yè)時間不少于小時的學(xué)生人數(shù)為（人），
∴（人），
答：該校學(xué)生的作業(yè)時間不少于小時的學(xué)生人數(shù)人；
【小問4詳解】
通過本次調(diào)查，我認(rèn)為該學(xué)校作業(yè)布置不滿足教育部的“雙減”政策要求，理由如下：
由統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可知：
調(diào)查學(xué)生中，每天完成作業(yè)時長超過小時的學(xué)生有人，占調(diào)查總?cè)藬?shù)的，調(diào)查學(xué)生中，作業(yè)平均完成時間為（小時），
而初中書面作業(yè)平均完成時間不超過分鐘（即小時），學(xué)生每天的完成作業(yè)時長不超過小時，
∴該學(xué)校作業(yè)布置不滿足教育部的“雙減”政策要求；
建議如下：
要進一步減輕學(xué)生的作業(yè)負擔(dān)及校外培訓(xùn)負擔(dān)，將學(xué)生書面作業(yè)平均完成時間控制在小時內(nèi)；大多數(shù)學(xué)生每天的完成作業(yè)時長都不超過小時，要教育少數(shù)學(xué)生每天的完成作業(yè)時長不超過小時．
23. 從2021年起，江蘇省高考采用“”模式：“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選科，“2”是指在化學(xué)、生物、思想政治、地理4科中任選2科．
（1）若小麗在“1”中選擇了歷史，在“2”中已選擇了地理，則她選擇生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖的方法求他在“2中選化學(xué)、生物的概率．
【答案】（1）；（2）圖表見解析，
【解析】
【分析】(1)小麗在“2”中已經(jīng)選擇了地理，還需要從剩下三科中進行選擇一科生物，根據(jù)概率公式計算即可．
（2）小明在“1”中已經(jīng)選擇了物理，可直接根據(jù)畫樹狀圖判斷在4科中選擇化學(xué)，生物的可能情況有2種，再根據(jù)一共有12種情況，通過概率公式求出答案即可．
【詳解】（1）；
（2）列出樹狀圖如圖所示：
由圖可知，共有12種可能結(jié)果，其中選化學(xué)、生物的有2種，
所以，（選化學(xué)、生物）．
答：小明同學(xué)選化學(xué)、生物的概率是．
【點睛】本題考查了等可能概率事件，以及通過列表法或畫樹狀圖法判斷可能情況概率，根據(jù)概率公式事件概率情況，解題關(guān)鍵在于要理解掌握等可能事件發(fā)生概率．
24. 用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（1）已知，以為一個內(nèi)角的菱形，使頂點F在邊上；
（2）若，，，則（1）中作出的菱形的面積為 ．
【答案】（1）圖見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先作的角平分線于交于點F，再分別以F，B為圓心，以大于長的一半為半徑畫弧，連接兩弧的交點與分別交于G，E即可；
（2）分別過C、F作于H，于T，然后求出和的長即可．
【小問1詳解】
解：如圖，菱形即為所求；
【小問2詳解】
如圖，分別過C、F作于H，于T，
∵，，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，尺規(guī)作垂線，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
25. 如圖，是的直徑，交于點，是弧的中點，與交于點，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見詳解；（2）
【解析】
【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理，由E是 的中點得到∠EAB＝∠EAD，由于∠ACB＝2∠EAB，則∠ACB=∠DAB，再利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）先證明出∠EAC＝∠AFD，進而利用三角函數(shù)的定義和勾股定理解答即可．
【詳解】（1）證明：連接AD，如圖，
∵E是的中點，
∴∠DAB＝2∠EAB，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）∵∠EAC＋∠EAB=90°，∠DAE＋∠AFD=90°，∠EAD=∠EAB，
∴∠EAC=∠AFD，
∴CF=AC=6，
∵，
∴CD= AC?=4，
∴DF=2，
∵AD2=AC2?CD2=62?42=20，
∴AF＝=．
【點睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了解直角三角形．
26. 商場銷售A，B兩種商品，其進價，售價如表所示．
（1）若商場投入3000元購進兩種商品共100件，求商場分別購進A，B兩種商品的數(shù)量；
（2）為了加快銷售進度，該商場對商品進行促銷，若一次性購物總額不超過500元，則九折優(yōu)惠；若一次性購物總額超過500元則八折優(yōu)惠，某單位到該商場購買了這兩種商品共付款432元，求該商場獲得的最小利潤和最大利潤．
【答案】（1）商場購進A商品25件，購進B商品75件
（2）該商場獲得的最小利潤是17元，最大利潤是67元
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；
（1）等量關(guān)系式：購進A商品的費用購進B商品的費用，據(jù)此列方程，解方程，即可求解；
（2）設(shè)該單位購買A商品m件，購買B商品n件，①當(dāng)一次性購物總額不超過500時，求出付款總額，由購進A商品的費用購進B商品的費用付款總額，求出取值范圍，由m、n均是正整數(shù)，可求出m、n，從而可求出總利潤；②當(dāng)一次性購物總額超過500時，求出利潤后，再比較利潤大小，同理可求解；
能找出等量關(guān)系式，會根據(jù)不等式求出整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：設(shè)購進A商品x件，則購進B商品()件，由題意得
，
解得：，
，
答：商場購進A商品25件，購進B商品75件．
【小問2詳解】
解：設(shè)該單位購買A商品m件，購買B商品n件，由題意得
①當(dāng)一次性購物總額不超過500時，
付款總金額為（元），
則，
，
，且m、n均是正整數(shù)， n是4的倍數(shù)，
故滿足條件的m，n有：或，
當(dāng)，，則利潤是：（元）；
當(dāng)，，則利潤是：（元）；
②當(dāng)一次性購物總額超過500時，
付款總金額為（元），
則，
，
，且m、n均是正整數(shù)，n是4的倍數(shù)，
故滿足條件的m，n有：或．
當(dāng)，， 則利潤為：(元）；
當(dāng)，，則利潤為：（元）；
綜上所述，該商場獲得的最小利潤是17元，最大利潤是67元．
27. 如圖，將繞點A旋轉(zhuǎn)得到．
（1）如圖1，，當(dāng)點落在邊上，延長與交于點E．如果點E為邊的中點，求的值；
（2）如圖2，，當(dāng)點落在邊上，且與邊相交于點E時，如果點E、分別為邊、的中點，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的判定定理得到是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由點E為邊的中點，得到，設(shè)，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)，， ，則，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到則，，求得，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： ，， 于是得到，證明，再由選轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，得到，然后代入求解即可得出答案．
【小問1詳解】
解∵，四邊形是平行四邊形，
∴是矩形，
∴，，，
∵將繞點A旋轉(zhuǎn)得到
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點E為邊中點，
∴
設(shè)，，
∴，
∴．
【小問2詳解】
設(shè)，，，則，
∵四邊形平行四邊形，
∴，，
又∵點、E分別為邊、的中點，
∴，
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，，
∴，
∴
∴，即，
∴
又∵繞點A旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，
∴．
∵，，
∴
∴，
即
由得：
由得：，
∴，
∴即
∴，
∴整理得：，即
∴或
∴或
當(dāng)時，如下圖所示，
則，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵
∴，
∴(不合題意，舍去)
∴，即
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸正半軸交于點，直線交于第一象限內(nèi)的點，且的面積為10．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）點為軸上一點，過點作軸的平行線交線段于點，交拋物線于點，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；
（3）已知點是軸上的點，若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在二次函數(shù)的圖象上，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）的值為5或
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示的坐標(biāo)．
（1）在中，令得，，根據(jù)的面積為10，即得，，用待定系數(shù)法即得二次函數(shù)的表達式為；
（2）設(shè)，則，，由，可得，即可解得；
（3）連接交直線于，過作軸于，設(shè)，可得，，即得，①，又，②，可解得，，故，，代入得，解得或．
【小問1詳解】
解：如圖：
在中，令得，
解得或，
，，
，
的面積為10，
，即，
，
，
把代入得：
，
，
二次函數(shù)的表達式為；
【小問2詳解】
如圖：
設(shè)，則，，
，，
，
，
解得或（舍去），
；
【小問3詳解】
連接交直線于，過作軸于，如圖：
關(guān)于直線對稱點，
，是中點，
設(shè)，
，，
在直線上，
，
整理得：①，
，
，
變形得：②，
把①代入②得：，
，
③，
由①③可得，，
，，
在拋物線上，
，
解得或，
答：的值為5或．日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
體溫（℃）
36.5
36.3
36.5
36.4
36.3
36.3
36.2
商品
進價（元/件）
售價（元/件）
A
15
20
B
35
45

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