+浙江省湖州市德清縣2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．2x5﹣3x3＝﹣x2B．2
C．（﹣x）5（﹣x2）＝﹣x10＝1D．（﹣ab3）2＝a2b6
2．（3分）下列所給圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）如圖所示，是一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則能組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）個．
A．8B．9C．10D．11
4．（3分）某單位組織職工開展植樹活動，植樹量與人數(shù)之間關(guān)系如圖，下列說法不正確的是（）
A．參加本次植樹活動共有30人
B．每人植樹量的眾數(shù)是4棵
C．每人植樹量的中位數(shù)是5棵
D．每人植樹量的平均數(shù)是5棵
5．（3分）如圖，是由7個大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，若從標(biāo)有①、②、③、④的四個小正方體中取走一個后，余下幾何體與原幾何體的主視圖相同，則取走的正方體是（）
A．①B．②C．③D．④
6．（3分）如圖的數(shù)軸上有O、A、B三點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，A點(diǎn)所表示的數(shù)為106，根據(jù)圖中數(shù)軸上這三點(diǎn)之間的實(shí)際距離進(jìn)行估計(jì)，下列何者最接近B點(diǎn)所表示的數(shù)（）
A．2×106B．4×106C．2×107D．4×108
7．（3分）已知一次函數(shù)y＝ax+b的圖象過第一、二、四象限，且與x軸交于點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集為（）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．x＞1D．x＜1
8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝6，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，∠CDE＝18°，則∠GFE的度數(shù)是（）
A．50°B．48°C．45°D．36°
9．（3分）如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（0，﹣2），頂點(diǎn)C，D均在函數(shù) 的圖象上，AD交y軸于點(diǎn)E，若S四邊形ABCD＝6S△ABE＝12，則k的值為（）
A．6B．8C．10D．12
10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，CF＝2，則AF的長為（）
A．6B．8C．10D．12
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若，則∠A的度數(shù)是．
12．（3分）動車上二等座車廂每排都有A，B，C，D，F(xiàn)五個座位，其中A和F是靠窗的座位．某天，小劉計(jì)劃從龍巖坐動車前往福州出差，于是在鐵路12306平臺上購買動車票，若購票時系統(tǒng)隨機(jī)為每位乘客分配座位，則他的座位是靠窗的概率為．
13．（3分）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形ABCD拼成的一個大正方形EFGH，如圖，若EA＝3，EH＝5，則小正方形ABCD的面積是．
14．（3分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且x1＞0＞x2，則y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
15．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝8，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝3DE，點(diǎn)P是線段OD上的動點(diǎn)，則AP+PE的最小值是．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16．（6分）先化簡：，再選取一個合適的a值代入求值．
17．（8分）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC＝8，菱形ADCF的面積為40，求AB的長．
18．（9分）某山區(qū)學(xué)校為開發(fā)學(xué)生特長，培養(yǎng)興趣愛好，準(zhǔn)備開設(shè)“第二課堂培訓(xùn)班”，每周進(jìn)行一次．?dāng)M開設(shè)科目有：A．?dāng)?shù)學(xué)興趣，B．古詩詞欣賞；C．英語特長；D．藝術(shù)賞析；E．競技體育等五類．學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查（每人只能選擇一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1和圖2所示的兩個不完整統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求x的值，并將圖1補(bǔ)充完整；
（2）在圖2中，D科目所占扇形圓心角的度數(shù)為 °；
（3）為提高學(xué)生對C、E科目的了解與關(guān)注，學(xué)校準(zhǔn)備從選C、E科目的學(xué)生中隨機(jī)選出2名出黑板報進(jìn)行宣傳，請你用列表法或樹狀圖法求這2名同學(xué)選擇不同科目的概率．
19．（8分）新中考理化科目更重視對學(xué)生獨(dú)立思考、創(chuàng)新能力、分析和解決問題能力的考查．某校為培養(yǎng)學(xué)生動手和解決問題的能力，在期末考試中增設(shè)實(shí)驗(yàn)考試，規(guī)定每位學(xué)生必須在“A．觀察凸透鏡所成的像，B．用彈簧測力計(jì)測力，C．粗鹽的提純，D．過氧化氫分解制氧氣”四個實(shí)驗(yàn)中抽取一個實(shí)驗(yàn)完成，假設(shè)小剛抽到每個實(shí)驗(yàn)的可能性相同．
（1）若小剛從中任意抽取一個實(shí)驗(yàn)，則小剛抽到實(shí)驗(yàn)C的概率為；
（2）若將A、B、C、D四個實(shí)驗(yàn)分成兩組，每組2個實(shí)驗(yàn)，請用列表或畫樹狀圖中的一種方法，求兩個物理實(shí)驗(yàn)均在同一組的概率．
20．（8分）在一次全縣初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價活動中，給學(xué)生發(fā)放筆記本和鋼筆作為學(xué)生獎品．已知每本筆記本比每支鋼筆多3元，用390元購買的筆記本數(shù)量與用300元購買的鋼筆數(shù)量相同．
（1）筆記本和鋼筆的單價各多少元？
（2）若給全縣前50名學(xué)生每人發(fā)放一本筆記本或一支鋼筆作為本次活動的獎品，要使購買獎品的總費(fèi)用不超過560元，最多可以購買多少本筆記本？
21．（10分）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將直線y＝﹣x向上平移a個單位長度，與反比例函數(shù)在第二象限的圖象交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，若，求a的值．
22．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為別為線段AB，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．
（1）如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長；
（2）如圖2，EF的延長線交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AB上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求；
（3）如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，連接CE，H為直線BC上一動點(diǎn)，連接EH，將△CEH沿EH翻折至ABC所在平面內(nèi)，得到△C′EH，連接C'G，直接寫出線段C′G長度的最小值．
23．（14分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OC＝3OB，頂點(diǎn)為D點(diǎn)，連接OD．
（1）求拋物線解析式；
（2）P點(diǎn)為拋物線上AD部分上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)作PF∥DE交AC于F點(diǎn)，求四邊形DPAF面積的最大值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）在（2）問的情況下，把拋物線向右平移兩個單位長度，在平移后的新拋物線對稱軸上找一個點(diǎn)M，在平面內(nèi)找一個點(diǎn)N，使以D、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．
2022-2023學(xué)年浙江省湖州市德清縣九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）
A．2x5﹣3x3＝﹣x2B．2
C．（﹣x）5（﹣x2）＝﹣x10＝1D．（﹣ab3）2＝a2b6
【解答】解：A、2x5與3x3不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯誤，不符合題意；
B、2與不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯誤，不符合題意；
C、（﹣x）5（﹣x2）＝x7，原計(jì)算錯誤，不符合題意；
D、（﹣ab3）2＝a2b6，正確，符合題意．
故選：D．
2．（3分）下列所給圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；
D、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
3．（3分）如圖所示，是一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則能組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）個．
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：由俯視圖易得最底層有6個正方體，由主視圖第二層最少有2個正方體，第三層最少有1個正方體，那么共有6+2+1＝9個正方體組成．
故選：B．
4．（3分）某單位組織職工開展植樹活動，植樹量與人數(shù)之間關(guān)系如圖，下列說法不正確的是（）
A．參加本次植樹活動共有30人
B．每人植樹量的眾數(shù)是4棵
C．每人植樹量的中位數(shù)是5棵
D．每人植樹量的平均數(shù)是5棵
【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人），
∴參加本次植樹活動共有30人，結(jié)論A正確；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植樹量的眾數(shù)是4棵，結(jié)論B正確；
C、∵共有30個數(shù)，第15、16個數(shù)為5，
∴每人植樹量的中位數(shù)是5棵，結(jié)論C正確；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植樹量的平均數(shù)約是4.73棵，結(jié)論D不正確．
故選：D．
5．（3分）如圖，是由7個大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，若從標(biāo)有①、②、③、④的四個小正方體中取走一個后，余下幾何體與原幾何體的主視圖相同，則取走的正方體是（）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：原幾何體的主視圖是：
．
故取走的正方體是①．
故選：A．
6．（3分）如圖的數(shù)軸上有O、A、B三點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，A點(diǎn)所表示的數(shù)為106，根據(jù)圖中數(shù)軸上這三點(diǎn)之間的實(shí)際距離進(jìn)行估計(jì)，下列何者最接近B點(diǎn)所表示的數(shù)（）
A．2×106B．4×106C．2×107D．4×108
【解答】解：由數(shù)軸的信息知：OA＝106；
∴B點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為：20?OA＝2×107；
故選：C．
7．（3分）已知一次函數(shù)y＝ax+b的圖象過第一、二、四象限，且與x軸交于點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集為（）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．x＞1D．x＜1
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝ax+b的圖象過第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y(tǒng)＝ax+b得：0＝2a+b，
解得：2a＝﹣b
＝﹣2，
∵a（x﹣1）﹣b＞0，
∴a（x﹣1）＞b，
∵a＜0，
∴x﹣1＜，
∴x＜﹣1，
故選：A．
8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝6，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，∠CDE＝18°，則∠GFE的度數(shù)是（）
A．50°B．48°C．45°D．36°
【解答】解：連接AD，∵BC與⊙A相切于點(diǎn)D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AG＝AD＝3，
∴AD＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠GAD＝60°，
∵∠CDE＝18°，
∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°，
∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°，
故選：B．
9．（3分）如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（0，﹣2），頂點(diǎn)C，D均在函數(shù) 的圖象上，AD交y軸于點(diǎn)E，若S四邊形ABCD＝6S△ABE＝12，則k的值為（）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：如圖，過C、D兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F、G，DG交BC于M點(diǎn)，過C點(diǎn)作CH⊥DG，垂足為H，連接BD，
∵ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，
∵BO∥DG，
∴∠OBC＝∠GDE，
∴∠HDC＝∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（ASA），
∴CH＝AO＝1，DH＝OB＝2，
∵S四邊形ABCD＝6S△ABE＝12，
∴S△ABD＝3S△ABE，
∴S△BDE＝2S△ABE，
∴DE＝2AE，
∵A（﹣1，0），
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，C的橫坐標(biāo)為3，
設(shè)D（2，m），則C（3，m﹣2），
∵頂點(diǎn)C、D均在函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，
∴2m＝3（m﹣2），
解得m＝6，
∴D（2，6）
∴k＝12．
故選：D．
10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，CF＝2，則AF的長為（）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，AB＝AD＝DC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC的中點(diǎn)，CF＝2，
∴，
解得：AB＝8，
在Rt△ADF中，AD＝8，DF＝DC﹣CF＝6，
∴，
故選：C．
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若，則∠A的度數(shù)是 60° ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，若，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
故答案為：60°．
12．（3分）動車上二等座車廂每排都有A，B，C，D，F(xiàn)五個座位，其中A和F是靠窗的座位．某天，小劉計(jì)劃從龍巖坐動車前往福州出差，于是在鐵路12306平臺上購買動車票，若購票時系統(tǒng)隨機(jī)為每位乘客分配座位，則他的座位是靠窗的概率為．
【解答】解：∵動車上二等座車廂每排都有A，B，C，D，F(xiàn)五個座位，其中A和F是靠窗的座位，
∴小劉的座位是靠窗的概率為，
故答案為：．
13．（3分）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形ABCD拼成的一個大正方形EFGH，如圖，若EA＝3，EH＝5，則小正方形ABCD的面積是 1 ．
【解答】解：∵EA＝3，EH＝5，∠EAH＝90°，
∴AH＝＝＝4，DH＝EA＝3，
∴AD＝AH﹣DH＝4﹣3＝1，
∴小正方形ABCD的面積是AD2＝12＝1，
故答案為：1．
14．（3分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且x1＞0＞x2，則y1 ＜ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中，﹣5＜0，
∴反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限．
∵x1＞0＞x2，
∴N（x2，y2）在第二象限，M（x1，y1）在第四象限．
∴y1＜0，y2＞0．
∴y1＜y2．
故答案為：＜．
15．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝8，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝3DE，點(diǎn)P是線段OD上的動點(diǎn)，則AP+PE的最小值是．
【解答】解：連接PC，EC，
∵菱形的對角線所在直線是菱形的一條對稱軸，
∴CP＝AP，
∴AP+PE＝CP+PE≥CE，
∴AP+PE的最小值是CE的長；
過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是菱形，AB＝8，∠ABC＝60°，
∴AD＝CD＝AB＝8，∠ADC＝60°，
∵AE＝3DE，
∴ED＝2，
在Rt△EFD中，
EF＝ED?sin∠EDF＝2×sin60°＝，
DF＝ED?cs∠EDF＝2×cs60°＝1，
∴CF＝CD﹣DF＝8﹣1＝7，
在Rt△EFC中，
由勾股定理，得CE＝，
∴AP+PE的最小值是，
故答案為：．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16．（6分）先化簡：，再選取一個合適的a值代入求值．
【解答】解：原式＝1﹣?
＝1﹣
＝﹣
＝，
當(dāng)a＝4時，原式＝．
17．（8分）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC＝8，菱形ADCF的面積為40，求AB的長．
【解答】（1）證明：如圖1，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
∵AD為BC邊上的中線，
∴DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四邊形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中點(diǎn)，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC
＝AC?AB＝×8AB＝40，
∴AB＝10．
18．（9分）某山區(qū)學(xué)校為開發(fā)學(xué)生特長，培養(yǎng)興趣愛好，準(zhǔn)備開設(shè)“第二課堂培訓(xùn)班”，每周進(jìn)行一次．?dāng)M開設(shè)科目有：A．?dāng)?shù)學(xué)興趣，B．古詩詞欣賞；C．英語特長；D．藝術(shù)賞析；E．競技體育等五類．學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查（每人只能選擇一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1和圖2所示的兩個不完整統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求x的值，并將圖1補(bǔ)充完整；
（2）在圖2中，D科目所占扇形圓心角的度數(shù)為 72 °；
（3）為提高學(xué)生對C、E科目的了解與關(guān)注，學(xué)校準(zhǔn)備從選C、E科目的學(xué)生中隨機(jī)選出2名出黑板報進(jìn)行宣傳，請你用列表法或樹狀圖法求這2名同學(xué)選擇不同科目的概率．
【解答】解：（1）∵被調(diào)查人數(shù)為16÷40%＝40人，
∴C科目的人數(shù)為40×5%＝2，
∴B科目的人數(shù)為40﹣（16+2+8+2）＝12人，
則x%＝×100%＝30%，
補(bǔ)全圖1如圖所示：
（2）在圖2中，D科目所占扇形圓心角的度數(shù)為360°×＝72°，
故答案為：72；
（3）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中2名同學(xué)選擇不同科目的情況有8種，
所以2名同學(xué)選擇不同科目的概率為＝．
19．（8分）新中考理化科目更重視對學(xué)生獨(dú)立思考、創(chuàng)新能力、分析和解決問題能力的考查．某校為培養(yǎng)學(xué)生動手和解決問題的能力，在期末考試中增設(shè)實(shí)驗(yàn)考試，規(guī)定每位學(xué)生必須在“A．觀察凸透鏡所成的像，B．用彈簧測力計(jì)測力，C．粗鹽的提純，D．過氧化氫分解制氧氣”四個實(shí)驗(yàn)中抽取一個實(shí)驗(yàn)完成，假設(shè)小剛抽到每個實(shí)驗(yàn)的可能性相同．
（1）若小剛從中任意抽取一個實(shí)驗(yàn)，則小剛抽到實(shí)驗(yàn)C的概率為；
（2）若將A、B、C、D四個實(shí)驗(yàn)分成兩組，每組2個實(shí)驗(yàn)，請用列表或畫樹狀圖中的一種方法，求兩個物理實(shí)驗(yàn)均在同一組的概率．
【解答】解：（1）小剛抽到實(shí)驗(yàn)C的概率為；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果，其中兩個物理實(shí)驗(yàn)均在同一組的結(jié)果數(shù)為4，
所以兩個物理實(shí)驗(yàn)均在同一組的概率＝＝．
20．（8分）在一次全縣初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價活動中，給學(xué)生發(fā)放筆記本和鋼筆作為學(xué)生獎品．已知每本筆記本比每支鋼筆多3元，用390元購買的筆記本數(shù)量與用300元購買的鋼筆數(shù)量相同．
（1）筆記本和鋼筆的單價各多少元？
（2）若給全縣前50名學(xué)生每人發(fā)放一本筆記本或一支鋼筆作為本次活動的獎品，要使購買獎品的總費(fèi)用不超過560元，最多可以購買多少本筆記本？
【解答】解：（1）設(shè)鋼筆的單價為x元，則筆記本的單價為（x+3）元，
依題意得：，
解得：x＝10，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝10是原方程的解，且符合題意，
∴x+3＝10+3＝13，
答：筆記本的單價為13元，鋼筆的單價為10元；
（2）設(shè)購買y本筆記本，則購買鋼筆（50﹣y）支，
依題意得：13y+10（50﹣y）≤560，
解得：y≤20，
答：最多購買20本筆記本．
21．（10分）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將直線y＝﹣x向上平移a個單位長度，與反比例函數(shù)在第二象限的圖象交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，若，求a的值．
【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)y＝﹣x與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，
∴﹣x＝﹣，
解得x＝±3，
∴A（﹣3，3），B（3，﹣3）；
（2）∵如圖，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，
∴CF∥OE，
∴∠FCD＝∠OED，∠CFD＝∠EOD，
∴△CFD∽△EOD，
∴，
∵直線y＝﹣x向上平移a個單位長度得到y(tǒng)＝﹣x+a，
根據(jù)圖象可知a＞0，
令x＝0，得y＝a，令y＝0，得x＝a，
∴E（a，0），D（0，a），
∴，C（﹣a，），
依題意，得，解得或（舍去），
∴．
22．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為別為線段AB，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．
（1）如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長；
（2）如圖2，EF的延長線交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AB上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求；
（3）如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，連接CE，H為直線BC上一動點(diǎn)，連接EH，將△CEH沿EH翻折至ABC所在平面內(nèi)，得到△C′EH，連接C'G，直接寫出線段C′G長度的最小值．
【解答】（1）解：如圖1，
連接CP，由旋轉(zhuǎn)知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG為等腰直角三角形，
∵點(diǎn)P是FG的中點(diǎn)，
∴CP⊥FG，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DP＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴BC＝AB＝4，
∴DP＝2；
（2）證明：如圖2，
過點(diǎn)E作EH⊥AE交AD的延長線于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋轉(zhuǎn)知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵AB⊥AC，HE⊥AC，
∴AB∥HE，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；
（3）解：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝AC＝，
根據(jù)勾股定理得，BE＝＝，
由折疊知，BE＝B'E＝，
∴點(diǎn)B'是以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，
由旋轉(zhuǎn)知，EF＝EG，
∴點(diǎn)G在點(diǎn)A右側(cè)過點(diǎn)A與AD垂直且等長的線段上，
∴B'G的最小值為B'E﹣EG，
要B'G最小，則EG最大，即EF最大，
∵點(diǎn)F在AD上，
∴點(diǎn)F在點(diǎn)A或點(diǎn)D時，EF最大，最大值為，
∴線段B′G的長度的最小值﹣．
23．（14分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OC＝3OB，頂點(diǎn)為D點(diǎn)，連接OD．
（1）求拋物線解析式；
（2）P點(diǎn)為拋物線上AD部分上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)作PF∥DE交AC于F點(diǎn)，求四邊形DPAF面積的最大值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）在（2）問的情況下，把拋物線向右平移兩個單位長度，在平移后的新拋物線對稱軸上找一個點(diǎn)M，在平面內(nèi)找一個點(diǎn)N，使以D、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵OC＝3OB，
∴OC＝3．
∴C（0，3）．
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，由題意得：
．
解得：．
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
過點(diǎn)E作EM⊥OA于M，過點(diǎn)P作PN⊥OA于N，連接EP，如圖，
∵DE∥PF，
∴S△DPF＝S△EPF．
∴S四邊形DPAF＝S△APF+S△DPF＝S△APF+S△EPF＝S△APE．
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），
則ON＝m，PN＝﹣m2+2m+3．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+n，
∴．
解得：．
∴直線AC的解析式為：y＝﹣x+3．
設(shè)直線OD的解析式為：y＝dx，
∴d＝4．
∴直線OD的解析式為：y＝4x．
∴．
解得：．
∴E（，）．
∴OM＝，ME＝．
∴MN＝m﹣，NA＝3﹣m．
∵S△APE＝S四邊形EMPN+S△ANP﹣S△AME，
∴S△APE＝
＝﹣
＝﹣
＝．
∵，
∴當(dāng)m＝時，S△APE有最大值．
∴四邊形DPAF面積的最大值為．
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴平移后的拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+4，對稱軸為x＝3．
①當(dāng)四邊形DPNM為矩形時，如圖，
過D作DE⊥x軸于E，過P作PF⊥x軸于F，PK⊥DE于K，過N作NH⊥MG于H，
則DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．
易證△DKP≌△MHN．
∴NH＝KP＝，MH＝＝DK＝．
設(shè)DP的解析式為y＝ex+f，
∴．
解得：．
∴y＝﹣x+．
∴設(shè)直線DM的解析式為y＝2x+n，
∴4＝1×2+n．
∴n＝2．
∴直線DM的解析式為y＝2x+2．
當(dāng)x＝3時，y＝2×3+2＝8．
∴MG＝8，
∴HG＝MG﹣MH＝．
∴N（）．
②當(dāng)四邊形DPNM為矩形時，如圖，
過D作DE⊥x軸于E，過P作PF⊥x軸于F，PK⊥DE于K，過N作NH⊥MG于H，
則DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．
易證△DKP≌△MHN．
∴NH＝KP＝，MH＝DK＝．
設(shè)DP的解析式為y＝ex+f，
∴．
解得：．
∴y＝﹣x+．
∴設(shè)直線PM的解析式為y＝2x+h，
∴．
∴h＝．
∴直線PM的解析式為y＝2x+．
∴當(dāng)x＝3時，y＝2×3+＝．
∴MG＝．
∴GH＝MG+MH＝7．
∴N（）．
綜上，N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（）或（）．

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