2022-2023學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列等式正確的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖，，，相交于點若，，：(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：3.  兩枚同樣的硬幣同時拋出，落地后一個正面朝上、一個反面朝上的概率是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 5.  在中，，，，則的長為(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，在中，是直徑，是弦若，則(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，已知，點是邊中點，且若，則(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  已知二次函數(shù)，與的部分對應(yīng)值為： ？關(guān)于此函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是(    )A. 當(dāng)時，函數(shù)圖象從左到右上升
B. 拋物線開口向上
C. 方程的一個根在與之間
D. 當(dāng)時，9.  如圖，經(jīng)過的頂點，與邊，分別交于點，，與邊相切若，，，則線段長度的最小值是(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，在中，，，點在邊上，，分別為，的中點，連接過點作的垂線，與，分別交于，兩點連接，交于點有以下判斷：；，且；當(dāng)時，的面積為；的最大值為其中正確的是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  某平臺進行“天宮課堂”中國空間站全程直播某一時刻觀看人數(shù)達到人用科學(xué)記數(shù)法表示 ______ ．12.  因式分解： ______ ．13.  若中，弦的長度是半徑的倍，則弦所對圓周角的度數(shù)為______ 14.  已知函數(shù)，點在函數(shù)圖象上當(dāng)時， ______ ．15.  如圖，在等腰中，，，在上，且，則______．
 16.  已知二次函數(shù)當(dāng)時，的取值范圍是，該二次函數(shù)的對稱軸為，則的取值范圍是______ ．三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
如圖，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．
請在圖中作出繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖形：
求點運動到點所經(jīng)過的路徑的長結(jié)果保留．
18.  本小題分
如圖，在中，是角平分線，點是邊上一點，且滿足．
證明：．
若，，求的長．
19.  本小題分
一個不透明的布袋中有完全相同的四個小球，編號為，，，甲和乙做游戲：從布袋中隨機抽取一個小球，記下標(biāo)號后，不放回；再從布袋中隨機抽取一個小球，記下標(biāo)號若兩次抽取的小球標(biāo)號之和為奇數(shù)，甲贏；若標(biāo)號之和為偶數(shù)，則乙贏．
用畫樹狀圖或列表的方法，表示出兩次取出編號的所有可能；
判斷這個游戲是否公平，并說明理由．20.  本小題分
如圖，以四邊形的對角線為直徑作圓，圓心為，過點作的延長線于點，已知平分．
求證：是的切線；
若，，求的半徑和的長．
21.  本小題分如圖，在中，是邊上的中線，是銳角，，，．求的度數(shù)和的長．       求的值． 22.  本小題分
已知二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象過點．
試判斷點是否也在該函數(shù)的圖象上，并說明理由．
若該二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，求該函數(shù)的表達式．
已知二次函數(shù)的圖象過和兩點，且當(dāng)時，始終都有，求的取值范圍．23.  本小題分
如圖，在中，，平分，交于點，，交于點．
若，，求的長；
試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
如圖，和是的個外角，，平分，交的延長線于點，，交的延長線于點記的面積為，的面積為，的面積為若，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，故A正確；
B.，故B錯誤；
C.，故C錯誤；
D.，故D錯誤；
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法進行計算即可．
本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性質(zhì)：是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
故選：．
通過證明∽，可得．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：任意拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)的結(jié)果有：兩正、一正一反、一反一正、兩反四種等可能結(jié)果，
落地后一個正面朝上、一個反面朝上的有種結(jié)果，
落地后一個正面朝上、一個反面朝上的概率為，
故選：．
任意拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)的結(jié)果有：兩正、一正一反、一反一正、兩反四種等可能結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
本題主要考查列表法與樹狀圖法求概率，列舉法樹形圖法求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
 4.【答案】 【解析】解：由題意得：正六邊形的每個內(nèi)角都等于，正五邊形的每個內(nèi)角都等于，
，
，
，
故選：．
根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定理求得正五邊形和正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)周角的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了正多邊形和圓、熟練掌握正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：在中，，
，
故選：．
根據(jù)余弦的定義列出算式，計算即可．
本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：是的直徑，
，
，，
，
，
，
故選：．
根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)角的和差求出，再根據(jù)圓周角定理求解即可．
此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：點是中點，
，
，，
∽，
，
，
負(fù)值舍去，
故選：．
通過證明∽，可得，可求解．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：和時的函數(shù)值相同，都是，
拋物線的對稱軸為直線，
拋物線的頂點為，
是函數(shù)的最大值，
拋物線的開口向下，當(dāng)時，隨的增大而減小，即當(dāng)時，函數(shù)圖象從左到右下降，
所以A錯誤，B錯誤；
時，；時，，
方程的一個根在與之間，
所以C正確，D錯誤．
綜上所述：其中正確的結(jié)論有．
故選：．
根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出頂點坐標(biāo)，對稱軸，開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，，；時，；時，即可判斷，．
本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
 9.【答案】 【解析】解：與相切于，當(dāng)是圓的直徑時，的長最小，
連接，，作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：．
與相切于，當(dāng)是圓的直徑時，的長最小，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出圓的直徑長，由銳角的正弦求出，即可求出的長．
本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是明白當(dāng)的高是圓的直徑時，的長最小．
 10.【答案】 【解析】解：，，
，，
、分別為、的中點，
，，
，故正確；
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
點是的中點，
，
；故正確；
，，
，
，
，，
，
，
點是的中點，
，
，
，，
，
，
，
，
，故正確；
如圖，過點作，交于，

，
點以為直徑的上，
連接，并延長交于，
，
，
，是定長，
的取最小值時，有最大值，
當(dāng)時，有最大值，
此時，有最大值，
，
，
，
當(dāng)有最大值時，有最大值，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，故正確；
故選：．
由等腰三角形的性質(zhì)可得，由三角形中位線定理可得，可求，故正確；由“”可證≌，可得，，可求，，故正確；分別求出，的長，即可求，故正確；利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出，的值，即可求，故正確．
本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案為：．
科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于時，是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于時，是負(fù)整數(shù)．
本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵是要正確確定的值以及的值．
 12.【答案】 【解析】解：

，
故答案為：．
先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
 13.【答案】或 【解析】解：連接、，為優(yōu)弧上一點，為劣弧上一點，如圖所示：

設(shè)，
，
，
，
，
，
即弦對的圓周角的度數(shù)是或，
故答案為：或．
根據(jù)題意畫出圖形，連接和，先根據(jù)勾股定理的逆定理得出，再根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出即可．
本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
 14.【答案】 【解析】解：點在函數(shù)的圖象上，
，解得，
一次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，．
故答案為：．
直接把點代入函數(shù)求出的值，再把代入函數(shù)解析式即可求解．
本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，求出函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)已知易得，從而可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后利用平角定義可得，從而可得，進而可得∽，最后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一線三等角構(gòu)造相似模型是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，
當(dāng)時，的取值范圍是，如圖，

當(dāng)拋物線過點時，則，
此時，即，
解得：，
拋物線為：，
此時函數(shù)的最小值必為，
，
解得：，舍去，
此時，
同理，當(dāng)拋物線過點時，則，
此時，即，
解得：，
拋物線為：，
此時函數(shù)的最小值必為，
，
解得：，舍去，
此時，
，
故答案為：．
分別求解當(dāng)過點時，當(dāng)過點時的的值，即可得到結(jié)論．
本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：如圖所示；

，
點運動到點所經(jīng)過的路徑的長為：． 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點、的對應(yīng)點、的位置，順次連接即可；
根據(jù)勾股定理求出，再利用弧長公式計算即可．
本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理以及弧長公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】證明：是的角平分線，
．
，
．
解：，
，
，，
，
． 【解析】證出根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；
由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：列表得：      由表知，共有種等可能的結(jié)果．
此游戲不公平，理由如下：
由表知，兩次抽取的小球標(biāo)號之和為奇數(shù)的有種結(jié)果，和為偶數(shù)的有種結(jié)果，所以甲贏的概率為，乙贏的概率為，
此游戲不公平． 【解析】根據(jù)題意列表格即可；
根據(jù)列出的表格，分別計算兩人贏的概率，比較概率的大小即可．
本題主要考查概率的計算以及列表法，熟練掌握列表法或者列樹狀圖的方法是解決本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：如圖，連接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切線；

解：如圖，取中點，連接，
于點．
四邊形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的長是． 【解析】連接，根據(jù)已知條件證明即可解決問題；
取中點，連接，根據(jù)垂徑定理可得，所以四邊形是矩形，利用勾股定理即可求出結(jié)果．
本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．
 21.【答案】解：作于，設(shè)，

在中，，
，
，
，解得，
，，
在中，，
，
為等腰直角三角形，
，
，
即的度數(shù)為，的值為；
為中線，
，
，
，
即的值為． 【解析】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．
作于，設(shè)，利用的正切可得到，則根據(jù)勾股定理得到，所以，解得，于是得到，，接著利用得到，則，最后計算得到的長．
利用為中線得到，則，然后根據(jù)正切的定義求解．
 22.【答案】解：將點代入解析式，得，
，
將點代入，得，
點不在拋物線圖象上；
二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，
，
或，
或；
拋物線對稱軸，
當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，舍去；
當(dāng)滿足所求； 【解析】將點代入解析式，求出、的關(guān)系，再將將點代入判斷即可；
二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，所以，求出的值；
拋物線對稱軸，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，舍去．
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，以及圖象上點的特征是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，解得；
，
，
同可得，，
，
，
是定值，定值為；
，
，
，
，
又，
，
設(shè)，則，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
過點作于點，

，
，
． 【解析】本題考查了角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
證出，由等腰三角形的判定得出，求出，證明∽，由相似三角形的性質(zhì)可求出的長；
由平行線分線段成比例定理得出，同可得，，證出，則可得出答案；
證出，由題意可得出，設(shè)，則，證明∽，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出，過點作于點，則，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．
 

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