1．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關(guān)于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
點M，N分別是的中點，
，，，，
，，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
，
如圖，作點C關(guān)于直線的對稱點M，連接，，
則，
當(dāng)點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，
在中，，，
，
的最小值，
故選C．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．
2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點A的坐標(biāo)為，．將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形，其中點的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，過作軸于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性質(zhì)可得．
【詳解】解：如圖，過作軸于，

∵菱形的頂點A的坐標(biāo)為，．
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，
∴；
故選A
【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，圖形的平移，熟練的求解B的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F(xiàn)為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（ ）

A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】C
【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，在中，利用勾股定理即可求解.
【詳解】解：∵矩形中，
∴，
∵F為的中點，，
∴，
在中，，
故選：C.
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.
4．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結(jié)論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（ ）

A．①②B．②③④C．①③④D．①③
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等即可證明，通過等量轉(zhuǎn)化即可求證，利用角平分線的性質(zhì)和公共邊即可證明，從而推出①的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果可證明推出，通過等量代換可推出③的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果和勾股定理推出和長度，最后通過面積法即可求證④的結(jié)論不對；結(jié)合①中的結(jié)論和③的結(jié)論可求出的最小值，從而證明②不對.
【詳解】解： 為正方形，
，，
，
，
.
,
,
，
，
.
平分，
.
，
.
，
，
垂直平分，
故①正確.
由①可知，，，
，
，
，
由①可知，
.
故③正確.
為正方形，且邊長為4，
，
在中，.
由①可知，，
，
.
由圖可知，和等高，設(shè)高為，
，
，
，
.
故④不正確.
由①可知，，
，
關(guān)于線段的對稱點為，過點作，交于，交于，
最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，
.
故②不正確.
綜上所述，正確的是①③.
故選：D.
【點睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解題的關(guān)鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運用相關(guān)知識點.
5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數(shù)為( )

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，然后結(jié)合得到，然后證明出，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】∵四邊形是正方形
∴，
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
故選：C．
【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
二、解答題
6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．

【答案】證明見解析.
【詳解】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形．
【詳解】∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BFDE為菱形．
【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出OE=OF是解題關(guān)鍵．
7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點在對角線上，點在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；
(2)如圖②，若，過點作交于點，在不添加任何軸助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（除外），使寫出的每個角都與相等．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，進而有，從而利用即可證明結(jié)論成立；
（2）先證四邊形是菱形，得，又證，得，由（）得得，根據(jù)等角的補角相等即可證明．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵，
∴．

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及等角的補角相等．熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點M，N，連接．

(1)求證：；
(2)若．求證：四邊形是菱形．
【答案】見解析
【分析】（1）連接，交于點，證明，推出四邊形為平行四邊形，得到，即可得證；
（2）先證明四邊形是菱形，得到，進而得到，即可得證．
【詳解】（1）證明：連接，交于點，

∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：
①作線段的垂直平分線，交于點D，交于點O；
②在直線上截取，使，連接．（保留作圖痕跡）
(2)猜想證明：作圖所得的四邊形是否為菱形？并說明理由．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)四邊形是菱形，見解析
【分析】（1）①根據(jù)垂直平分線的畫法作圖；②以點O為圓心，為半徑作圓，交于點E，連線即可；
（2）根據(jù)菱形的判定定理證明即可．
【詳解】（1）①如圖：直線即為所求；
②如圖，即為所求；
；
（2）四邊形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形．
【點睛】此題考查了基本作圖－線段垂直平分線，截取線段，菱形的判定定理，熟練掌握基本作圖方法及菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明：四邊形是矩形，
，
，
，，
，
在和中，，
，
．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，點在的延長線上，連接，過點作交的延長線于點，連接、，求證：四邊形是菱形．

【答案】證明見解析
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到垂直平分，進而得到，，，再利用平行線的性質(zhì)，證明，得到，進而得到，即可證明四邊形是菱形．
【詳解】證明：，是邊上的中線，
垂直平分，
，，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，靈活運用相關(guān)知識點解決問題是解題關(guān)鍵．
12．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，為線段的中點，連接，，延長，交于點，連接，．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)證明，見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，；再根據(jù)為線段的中點，全等三角形的判定，則，根據(jù)矩形的判定，即可；
（2）過點作于點，根據(jù)勾股定理，求出的長，再根據(jù)四邊形的面積等于，即可．
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，，
∵為線段的中點，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形．
（2）過點作于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積等于，
∵，，
∵點是對角線的中心，
∴，
∴，
∴平行四邊形的面積為：．

【點睛】本題考查矩形，平行四邊形，全等三角形的知識，解題的關(guān)鍵是矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
13．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點是的中點，將矩形沿所在的直線折疊，的對應(yīng)點分別為，，連接交于點．

(1)若，求的度數(shù)；
(2)連接EF，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)的度數(shù)為
(2)矩形，理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)點是的中點，沿所在的直線折疊，可得是等腰三角形，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）如圖所示，連接，點是上的一點，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，如圖所示，連接，，過點作于點，可證四邊形是平行四邊形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，由此即可求證．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，點是的中點，
∴，
∵沿所在的直線折疊，的對應(yīng)點分別為，，
∴，
∴，則是等腰三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴的度數(shù)為．
（2）解：如圖所示，連接，點是上的一點，

∵四邊形是矩形，
∴，，即，
∵沿所在的直線折疊，的對應(yīng)點分別為，，
∴，，是的角平分線，
由（1）可知，，
∴，
∴，且，
∴四邊形是平行四邊形，則，，
如圖所示，連接，，過點作于點，

∵點是的中點，，
∴點是線段的中點，則，
∴在中，
，
∴，
∴，，
∵沿所在的直線折疊，的對應(yīng)點分別為，，
∴，，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，矩形的判定，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握矩形折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出，證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；
（2）證明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形；
（2）解：由（1）知四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，點E是對角線上一點，連接，且．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）如圖所示，連接與交于O，先由平行四邊形對角線互相平分得到，再利用證明得到，進而證明，得到，由此即可證明平行四邊形是菱形；
（2）先由菱形的性質(zhì)得到，再解， 得到，利用勾股定理求出，則，，則．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接與交于O，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形；

（2）解：∵四邊形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（負值舍去），
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，延長至D，使得，過點A，D分別作，，與相交于點E．下面是兩位同學(xué)的對話：

(1)請你選擇一位同學(xué)的說法，并進行證明；
(2)連接，若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）選擇小星的說法，先證四邊形是平行四邊形，推出，再證明四邊形是矩形，即可得出；選擇小紅的說法，根據(jù)四邊形是矩形，可得，根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；
（2）根據(jù)，可得，再用勾股定理解即可．
【詳解】（1）證明：①選擇小星的說法，證明如下：
如圖，連接，

，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
又，點D在的延長線上，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是矩形，
；
②選擇小紅的說法，證明如下：
如圖，連接，，

由①可知四邊形是矩形，
，
四邊形是平行四邊形，
，
．
（2）解：如圖，連接，

，，
，
，
在中，，
，
解得
即的長為．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定方法．
17．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）將兩個完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)已知，當(dāng)四邊形是菱形時．的長為__________．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由題意可知易得，即，依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；
（2）如圖，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對角線平分對角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意可知，
，，
，
四邊形地平行四邊形；
（2）如圖，在中，，，，
，，
四邊形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識綜合求解．
三、填空題
18．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖在正方形中，點E在上，連接，，F(xiàn)為的中點連接．若，則的長為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的值，再根據(jù)勾股定理即可求出的長．
【詳解】解：正方形
，
F為的中點，
設(shè)
，
在中，
即
解得
故，
在中
解得（負值舍去）
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點E在邊上，點F是AE的中點，，則的長為 ．

【答案】
【分析】利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，進而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵點F是AE的中點，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題
20．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點P在對角線上，過點P作，交邊于點M，N，過點M作交于點E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．

【答案】②③④
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判斷②；根據(jù)相似可以得到，判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④．
【詳解】解：∵，，
∴，
在點P移動過程中，不一定，
相矛盾，
故①不正確；

延長交于點H,
則為矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正確，
，
即當(dāng)?shù)淖钚≈担鰾、D關(guān)于的對稱點,
把圖中的向上平移到圖2位置，使得，連接，即為的最小值，則，,
這時，
即的最小值是20，
故④正確；
故答案為：②③④

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

小星：由題目的已知條件，若連接，則可
證明．
小紅：由題目的已知條件，若連接，則可證明．

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專題18 矩形菱形正方形（共39題）--2023年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編：

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專題18 矩形菱形正方形（共20道）-2023年全國各地中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）：

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