第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集的知識求得.
【詳解】集合是自然數(shù)集，所以
故選：B
2. 定義域在R上的函數(shù)y＝f(x)的值域為[a，b]，則函數(shù)y＝f(x＋a)的值域為( )
A. [2a，a＋b]B. [0，b－a]C. [a，b]D. [－a，a＋b]
【答案】C
【解析】
【詳解】令，∵，則，∴函數(shù)與是同一個函數(shù)；
∴的值域為
故選C
3. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷 的范圍可得答案.
【詳解】,
故，
故選：D.
4. 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)的定義域是可求出，令代替，可得，即可求出的定義域.
【詳解】因為函數(shù)的定義域是
由，得，
所以的定義域是，
由
得.
所以的定義域為.故選：A
【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的定義域，屬于中檔題 .
5. 我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有以下問題：“今有人合伙買羊，每人出5錢，差45錢；每人出7錢，差3錢.問合伙人數(shù)?羊價各是多少.”由此可推算，羊價為（ ）
A. 24錢B. 165錢C. 21錢D. 150錢
【答案】D
【解析】
【分析】設合伙人的人數(shù)為n，由題意列方程即可解得.
【詳解】設合伙人的人數(shù)為n，由題意列方程得：，解得：n=21，
羊價為：.
故選：D
6. 若方程的兩實根中一個小于，另一個大于，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設，根據(jù)二次函數(shù)的零點分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得，
令，由已知可得，解得，
故選：A.
7. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求得函數(shù)的定義域，本題即求在定義域內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得在定義域 內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間．
【詳解】解：令，求得，故函數(shù)的定義域為，
本題即求在內(nèi)的減區(qū)間．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得在內(nèi)的減區(qū)間為，
即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，
故選B．
【點睛】本題主要考查根式函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，復合函數(shù)的單調(diào)性，難度不大，但要注意，求單調(diào)區(qū)間，一定要先求函數(shù)定義域．
8. 已知冪函數(shù)與的部分圖像如圖所示，直線，與，的圖像分別交于A，B，C，D四點，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示出，由冪函數(shù)的圖象可得，從而得，，再由，代入化簡計算，即可求解出答案.
【詳解】由題意，，，根據(jù)圖象可知，當時，，，因為，所以，因為，可得.
故選：B
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. ，
B. 當時，，
C. 是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件
D. “”是“”的充要條件
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)判別式判斷A、B；應用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷C；解不等式求解集判斷D.
【詳解】A：由，故，為真；
B：由題設，故，為真；
C：對于奇函數(shù)，顯然不存在，必要性不成立，為假；
D：由，而恒成立，
所以，故必要性成立，充分性不成立，為假.
故選：AB
10. 若，則下列不等式中恒成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行逐一判斷即可.
【詳解】A：因為，所以恒成立，
B：當時，顯然成立，但是不成立，
C：因為，所以
（當且僅當時取等號，即時取等號），所以本選項符合題意；
D：因為，所以（當且僅當時取等號，即或時取等號），所以本選項符合題意，
故選：ACD
11. 下列判斷錯誤的是（ ）
A. 方程組的解集為
B.
C. 的最小值為
D. 如果，那么
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)集合的運算，不等式的性質(zhì)等逐項判斷即可.
【詳解】對于A，方程組的解集為點集，應該是，故A錯誤；
對于B,，故B正確；
對于C，當時， ，故C錯誤；
對于D，如果，則，那么，故D正確；
故選：AC
12. 已知函數(shù)，其中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在實數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)
B. 存在實數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù)
C. 當時，的單調(diào)增區(qū)間為，
D. 當時，若方程有三個不等實根，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】A、B利用奇偶性定義及解析式判斷是否存在實數(shù)使或；C、D寫出的分段函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合參數(shù)a的范圍，應用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間，進而確定時方程根的情況求參數(shù)范圍.
【詳解】由，顯然當時有，但不存在實數(shù)使，A正確，B錯誤；
且在處連續(xù)，當時，易知：在上遞增，遞減，上遞增，C正確；
由解析式，當時在上遞增，遞減，上遞增，
又，，要使有三個不等實根，即與有三個交點，
所以，又，可得，D正確.
故選：ACD
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共小題，共分）
13. 已知函數(shù)有兩個零點，分別在1的兩側(cè)，則實數(shù)的取值范圍是_____
【答案】
【解析】
【分析】由題意知，列出不等式組求解即可.
【詳解】函數(shù)開口向上，
由題意知，解得.
故答案為：
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，函數(shù)的零點，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.
14. 已知函數(shù)（且）的圖像過點，其反函數(shù)的圖像過點，則的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象所過的點代入列式求解.
【詳解】函數(shù)（且）的圖像過點，反函數(shù)的圖像過點，可得原函數(shù)的圖像過，所以，所以的值為.
故答案為：
15. 已知，若方程有四個根，，，且，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象知，，得，
將已知轉(zhuǎn)化為求的范圍，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
因為方程有四個根，，，且，則
由圖象可知，，，
又，可得，則
則，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
，即
即的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用，其中解答中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象和對勾函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力.
16. 設．
（1）當時，f（x）的最小值是_____；
（2）若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是_____．
【答案】 ①. ②. [0，]
【解析】
【分析】（1）先求出分段函數(shù)的每一段的最小值，再求函數(shù)的最小值；（2）對分兩種情況討論，若a＜0，不滿足條件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.
【詳解】（1）當時，當x≤0時，f（x）＝（x）2≥（）2，
當x＞0時，f（x）＝x22，當且僅當x＝1時取等號，
則函數(shù)的最小值為，
（2）由（1）知，當x＞0時，函數(shù)f（x）≥2，此時的最小值為2，
若a＜0，則當x＝a時，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）＝0，此時f（0）不是最小值，不滿足條件．
若a≥0，則當x≤0時，函數(shù)f（x）＝（x﹣a）2為減函數(shù)，
則當x≤0時，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝a2，
要使f（0）是f（x）的最小值，則f（0）＝a2≤2，即0≤a，
即實數(shù)a的取值范圍是[0，]
【點睛】本題主要考查分段函數(shù)最值的求法，考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
四、解答題（本大題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知函數(shù).
（1）若，求的值；
（2）求函數(shù)的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式代入求解即可；
（2）換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域即可得解.
【小問1詳解】
因為，
若，則，
令，則方程為，
解得或（舍去），
所以，解得.
【小問2詳解】
因為，
令，則，
所以當時，取得最小值，
故的值域.
18. 已知，命題，；命題，使得.
（1）若p是真命題，求a的最大值；
（2）若p，q一個為真命題，一個為假命題，求a的取值范圍；
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）先求出的范圍，利用全稱命題為真命題即可求得；（2）先求出命題q為真時a的取值范圍，進而分類討論：i.p真q假時和ii. p假q真時分別求出對應a的取值范圍即可求解.
【小問1詳解】
記，由在單調(diào)遞增，所以.
要使命題，為真命題，只需，即a的最大值為1.
【小問2詳解】
命題，使得為真命題，則，解得：或.
i.p真q假時，只需，所以；
ii. p假q真時，只需或，所以；
所以或.
綜上所述：a的取值范圍為.
19. 已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式（）的解集，：，：.
（1）求集合，集合；
（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分式根式有意義及一元二次不等式的解法即可求解；
（2）將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)為真子集關(guān)系，利用真子集的定義即可求解.
【小問1詳解】
因為，
∴，即，解得，
∴，
∵（），
∴，解得或，
∴
【小問2詳解】
∵是的充分不必要條件，
∴，，
令，則，
∴且等號不同時成立，解得，
∴實數(shù)取值范圍是.
20.
已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并給予證明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）函數(shù)為奇函數(shù)；（3）.
【解析】
【分析】（1）真數(shù)位置大于0，得到的取值范圍；（2）得到，然后判斷與的關(guān)系，從而得到函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式，從而得到的解集.
【詳解】解：（1）真數(shù)部分大于零，即解不等式，
解得,
函數(shù)的定義域為.
（2）函數(shù)為奇函數(shù)，
證明：由第一問函數(shù)的定義域為，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
（3）解不等式，
即
即，
從而有，
所以.
不等式的解集為.
【點睛】本題考查函數(shù)的定義域，奇偶性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，屬于簡單題.
21. 某商場新進一批成本為8400元的商品，如果每斤商品賣80元，可以賣出100斤.現(xiàn)在商場要進行商品促銷活動，經(jīng)調(diào)查，每斤商品的價格降低元，可以多賣出斤商品.
（1）若要使這批商品不虧本，求的取值范圍；
（2）設利潤的參照率，求利潤的參照率的最大值及這時的商品價格.
（參考數(shù)據(jù)）
【答案】（1）； （2）利參照率的最大值為，商品價格為元.
【解析】
【分析】（1）設每斤商品的價格降低元，可得商品售出斤，得出不等式，即可求解；
（2）設商品的價格降低元，得出利潤的參照率的表達式，結(jié)合基本不等式求得最小值，即可得到答案.
【詳解】（1）設每斤商品的價格降低元，可得商品售出斤，
所以銷售收入為元，
令，即，
即，解得，
所以要使這批商品不虧本，求的取值范圍為.
（2）設商品的價格降低元，
可得利潤為，
所以利潤的參照率
，
當且僅當時，即時等號成立，
所以利潤的參照率的最大值為，這時的商品價格為元.
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的實際應用問題，其中解答中認真審題，結(jié)合題意，求得利潤的參照率的表達式，結(jié)合基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
22. 已知關(guān)于的不等式.
（1）是否存在實數(shù)，使不等式對任意恒成立，并說明理由；
（2）若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若不等式對有解，求的取值范圍.
【答案】（1）不存在實數(shù)，理由見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，
（1）討論和時的情況；
（2），顯然該函數(shù)單調(diào)，所以只需即可.
（3）討論當時，當時，當時，如何對有解，其中，，均為一元二次不等式，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象求解即可.
【小問1詳解】
原不等式等價于，
當時，，即，不恒成立；
當時，若不等式對于任意實數(shù)恒成立，
則且，無解；
綜上，不存在實數(shù)，使不等式恒成立.
【小問2詳解】
設，
當時，恒成立，
當且僅當，即，
解得即，
所以的取值范圍是.
【小問3詳解】
若不等式對有解，
等價于時，有解.
令，
當時，即，此時顯然在有解；
當時，時，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，顯然有解；
當時，對稱軸為，，
時，有解，
結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，易得：或，
解得或（無解），
又∵，
;
綜上所述，的取值范圍為.

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