專題16 妙解離心率問(wèn)題（12大題型）（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯?wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫(xiě)。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題16 妙解離心率問(wèn)題
目錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156895279" 01 頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題 PAGEREF _Tc156895279 \h 2
\l "_Tc156895280" 02 焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率 PAGEREF _Tc156895280 \h 6
\l "_Tc156895281" 03 共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題 PAGEREF _Tc156895281 \h 8
\l "_Tc156895282" 04 橢圓與雙曲線的4a通徑體 PAGEREF _Tc156895282 \h 11
\l "_Tc156895283" 05 橢圓與雙曲線的4a直角體 PAGEREF _Tc156895283 \h 14
\l "_Tc156895284" 06 橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題 PAGEREF _Tc156895284 \h 19
\l "_Tc156895285" 07 雙曲線的4a底邊等腰三角形 PAGEREF _Tc156895285 \h 21
\l "_Tc156895286" 08 焦點(diǎn)到漸近線距離為b PAGEREF _Tc156895286 \h 25
\l "_Tc156895287" 09 焦點(diǎn)到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形 PAGEREF _Tc156895287 \h 29
\l "_Tc156895288" 10 以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與漸近線相交問(wèn)題 PAGEREF _Tc156895288 \h 32
\l "_Tc156895289" 11 漸近線平行線與面積問(wèn)題 PAGEREF _Tc156895289 \h 36
\l "_Tc156895290" 12 數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度角度 PAGEREF _Tc156895290 \h 38
01 頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題
1．（2024·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為N，連接AN，BN，因?yàn)锳F⊥BF，所以四邊形AFBN為長(zhǎng)方形，再根據(jù)橢圓的定義化簡(jiǎn)得，得到離心率關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，再利用輔助角公式和三角函數(shù)的單調(diào)性求得離心率的范圍.由題意橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為N，連接AN，BN，因?yàn)锳F⊥BF，所以四邊形AFBN為長(zhǎng)方形．
根據(jù)橢圓的定義：，由題∠ABF＝α，則∠ANF＝α，
所以，
利用，
∵，∴，，即橢圓離心率的取值范圍是，
故選B.
2．（2024·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為：,根據(jù)，得到四邊形為為矩形，再由，結(jié)合橢圓的定義得到，然后由求解.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為：,
因?yàn)椋?br>所以四邊形為為矩形，
所以
因?yàn)椋?br>所以
由橢圓的定義得：，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
故選：B
3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也在橢圓上，
設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義：，
又，（1）
又原點(diǎn)是的斜邊中點(diǎn)，，
又（2）
（3）
將（2）（3）代入（1），
，即
，所以，
所以，即，
所以，所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：A
4．（2024·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)校考期末）已知雙曲線：（，）右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，．
，四邊形為矩形．
所以．
則，．
．
．
即，
則，
，
，
則，
,，
則，
即，
故雙曲線離心率的取值范圍是，
故選：D．
02 焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率
5．（2024·河南南陽(yáng)·高三鄭州一中階段練習(xí)）已知，是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，由得：，
而，即，因此有，即，
因，于是得，即，解得，
所以橢圓的離心率的取值范圍為.
故選：D
6．（2024·黑龍江·校聯(lián)考）已知，，，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)Р為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，取最小值，則橢圓離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】假設(shè)點(diǎn)在軸上方，設(shè)，則，
由已知得，，
設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
∴ ，，
∴

考慮對(duì)勾函數(shù)，
由于為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，，取最小值，即取最小值，
也取最小值，此時(shí)，
∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴，即，解得.
即橢圓離心率的取值范圍為.
故選：.
7．（2024·貴州·高三凱里一中?？计谀┮阎獧E圓，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè) ，，
若橢圓上存在點(diǎn)使得，
，
，

即，
，
即，

.
故選D
8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)（）使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意作圖如下：
由圖可得：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的上（下）頂點(diǎn)處時(shí)，最大，
要滿足橢圓C上存在點(diǎn)（）使得，則，
∴，即：，整理得：，
又，∴得到：，∴，
∴橢圓離心率的取值范圍為，
故選:B．
03 共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題
9．（2024·安徽·校聯(lián)考）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為、，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則與滿足的關(guān)系是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由橢圓與雙曲線定義得，所以，選B.
10．（多選題）（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：與雙曲線：（，）有公共焦點(diǎn)，，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，則（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】設(shè)，的焦距為，由，共焦點(diǎn)知，故正確；
△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，錯(cuò)；
由，得，又，得，所以，
從而，故正確．
故選：．
11．（2024·湖北孝感·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最大值為．
【答案】/
【解析】不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，
設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，
，所以，，
，在△中，，
由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，即．
所以，從而，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：
12．（2024·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州第十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)分別是它們?cè)诘谝幌笙藓偷谌笙薜慕稽c(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為，，，為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，為兩曲線在第三象限的交點(diǎn).
由橢圓和雙曲線定義知：，，
，，
由橢圓和雙曲線對(duì)稱性可知：四邊形為平行四邊形，
，，，
即，
.
故答案為：.
13．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最小值是 .
【答案】
【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，，設(shè)兩曲線的焦距為，
設(shè)，，則，，所以，，
，
化為，，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值是.
故答案為：.
04 橢圓與雙曲線的4a通徑體
14．（2024·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，橢圓的焦距為，由題意得出，橢圓的離心率為，.
由橢圓的定義可得，
由余弦定理得，
設(shè)，由橢圓的定義可得，
由余弦定理得，
即，解得.
所以，，，因此，.
故選D.
15．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，(如圖)，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，
將代入橢圓方程知，解得：，即
過(guò)點(diǎn)作軸，則，又
，得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即
又點(diǎn)在橢圓上，，即
又，，，即
故選：D
16．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，（如圖），過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，
由題意可得：，則，
因?yàn)?，則，解得，
即，且點(diǎn)在橢圓上，
則，整理得，解得，即.
故選：A.
17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓E:的左，右焦點(diǎn)分別為，（如圖），過(guò)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意設(shè)，則，所以；
由于，所以
由得，化為，所以，得
故選：A
05 橢圓與雙曲線的4a直角體
18．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】運(yùn)用特殊值法進(jìn)行求解. 不妨設(shè)，利用勾股定理、余弦定理，結(jié)合橢圓的定義和離心率公式進(jìn)行求解即可.不妨設(shè)，則，，
∴，，
∴由得或（舍），
∴，∴，
又由得，
∴.
故選：C
19．（2024·重慶·校聯(lián)考）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由雙曲線定義知，
則，，所以，
∴的周長(zhǎng)為，
∴，，
由，
所以，故，∴，
∴，，∴，
在中，，故.
故選：A.
20．（2024·廣西桂林·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，，
∴，，
∵，
在中，由余弦定理，
得：，
∴，
化簡(jiǎn)可得，而，
故，
∴，，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴橢圓的離心率.
故選：D.
21．（2024·湖南·校聯(lián)考）已知，，是雙曲線上的三個(gè)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)右焦，若，且，則該雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖，因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?，設(shè)，則，又，所以，，所以，得，所以，又因?yàn)?，即，所以得離心率，選擇A
22．（2024·湖北·高三開(kāi)學(xué)考試）已知是雙曲線上的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，若且，則該雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
設(shè)左焦點(diǎn)為，，連接
則，，，
因?yàn)?，且?jīng)過(guò)原點(diǎn)
所以四邊形為矩形
在Rt△中，，代入

化簡(jiǎn)得
所以在Rt△中，，代入

化簡(jiǎn)得，即
所以選B
23．（2024·山東聊城·統(tǒng)考）已知A，B，C是雙曲線上的三點(diǎn)，直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，AC經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F，若，且，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接
由題意知
∴四邊形為矩形，令
∵，
∴在中，
將帶入可得
∴
∴在中，
即
可得
故選：D
06 橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題
24．（2024·江西上饒·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)榍?，所以為等腰直角三角形，所?
由雙曲線定義可得，，
兩式相加得，所以，又，
在中，由余弦定理，可得，解得.
故選：A.
25．（2024·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與雙曲線C的右支在第一象限的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，且△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】為等邊三角形，則，設(shè)為原點(diǎn)，
中，，故，故.
故選：B
26．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，分別為雙曲線：的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，連接，，在中，，，則雙曲線的離心率為（）
A．2B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，由雙曲線的定義可得，
由，可得，即有，
因?yàn)闉榈妊切危?br>所以，
解得，
在△中，，
化為，即有．
故選：．
07 雙曲線的4a底邊等腰三角形
27．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考）已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點(diǎn)，以為圓心的圓過(guò)，，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】取MN中點(diǎn)A，連AF2，由已知令，則，如圖：
因點(diǎn)M，N為雙曲線左右兩支上的點(diǎn)，由雙曲線定義得，，
則，令雙曲線半焦距為c，
中，，中，，
則有，即，
因直線的斜率為，即，而，即，
，于是有，，，
所以雙曲線的離心率為.
故選：B
28．（2024·江西九江·統(tǒng)考）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線分別交雙曲線左、右兩支于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，若P，Q，F(xiàn)1都在以M為圓心的圓上，且，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．2C．D．2
【答案】C
【解析】以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，則，又，
可知PQ⊥MF1，則|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，
設(shè)|PF1|＝t，則|PQ|t，
由雙曲線的定義可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，
則t＝4a，即t＝2a，則：|PF2|，
在Rt△MF1F2中，|MF1|2a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2a，
由勾股定理可知|F1F2|＝2a＝2c，
則雙曲線C的離心率為：e．
故選：C．
29．（2024·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線左右兩支交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)，且，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?br>即
所以
在三角形中，有余弦定理可得：
所以
即
因?yàn)橐訫N為直徑的圓經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2，
所以，又|MF2|＝|NF2|，
可得△MNF2為等腰直角三角形，
設(shè)|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|m，
由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，
兩式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，
即有m＝2a，
在直角三角形HF1F2中可得
4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，
化為c2＝3a2，
即e．
故選：B．
30．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，，，
因?yàn)?，?
因，故，
整理得到，即，故選A.
31．（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，與交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由且知：△為等腰直角三角形且、，即，
∵，
∴，故，則，
而在△中，，
∴，則，故.
故選：B.
08 焦點(diǎn)到漸近線距離為b
32．（2024·四川瀘州·高三統(tǒng)考期末）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，且與C的右支交于點(diǎn)Q，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為（）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，
∵O為F1F2的中點(diǎn)，又，∴Q為PF2的中點(diǎn)，
又F2（c，0）到的距離，
∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，
連接，所以，又|F1F2|＝2c，
∵PO的斜率為，又QF2⊥PO，
∴QF2的斜率為，∴，∴，
在△QF2F1中，由余弦定理可得：
，化簡(jiǎn)可得a＝b，
∴雙曲線C的離心率為＝.
故選：A.
33．（2024·安徽滁州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為H，若|HF1|=3|HF2|，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題設(shè)條件推導(dǎo)出，，可得的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式得，計(jì)算求出離心率．由題設(shè)知雙曲線C：的一條漸近線方程為：，
∵右焦點(diǎn)，且，
∴，
∴，由，解得，
∴，∴，
平方化簡(jiǎn)得，
又，
∴，即，
，即，
所以，故得，
故選：D.
34．（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C 的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝3|OP|，則C的離心率為（）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
則，，
，
在中，，
在中，，
，即，
所以
故選：A ．
35．（2024·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)在，過(guò)點(diǎn)的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M?N兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間)，且，又過(guò)點(diǎn)作于P(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且，則雙曲線E的離心率（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，可得如下示意圖：
其中，知：，又，，即且，
∴中，有，得，
∴在中，，若與x軸夾角為，即，
∴，由，即可得.
故選：C
09 焦點(diǎn)到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形
36．（2024·安徽宣城·統(tǒng)考）設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．5
【答案】C
【解析】不妨設(shè)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線方程為，
與聯(lián)立可得；
與聯(lián)立可得，
∵，∴，
整理得，，即，
∵，∴．
故選：C．
37．（2024·浙江臺(tái)州·高三臺(tái)州一中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為H，交另一條漸近線于點(diǎn)A，已知O為原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由題意直線方程為，
由，解得，即，
由，解得，即，
由圖知，在第二象限，，
所以，
，
代入可得，
化簡(jiǎn)得，，
因?yàn)?，所以，即，?br>故選：D．
38．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，交軸于點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，并且點(diǎn)位于點(diǎn)，之間．已知為原點(diǎn)，且，則雙曲線離心率為（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)，漸近線的方程為，即，
漸近線OA的方程為，即．所以，，．
所以，．
解得或（舍去），
所以雙曲線的離心率為，
故選：C．
39．（2024·四川巴中·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，），過(guò)的右焦點(diǎn)作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得，再由用表示出.根據(jù)雙曲線的漸近線方程及正切二倍角公式，即可求得與的等量關(guān)系式，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.雙曲線：（，），右焦點(diǎn)，漸近線方程為.
將漸近線方程化為一般式為，雙曲線滿足，
過(guò)的右焦點(diǎn)作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別在一、四象限，如下圖所示:
由點(diǎn)到直線距離公式可知，
根據(jù)題意，則，
設(shè)，由雙曲線對(duì)稱性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知，
即，化簡(jiǎn)可得，
由雙曲線離心率公式可知，
故選：B.
10 以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與漸近線相交問(wèn)題
40．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如下圖示，
因?yàn)?，，是中點(diǎn)，
所以是中點(diǎn)且，則，，
因?yàn)橹本€是雙曲線的漸近線，
所以，，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，整理得，
因?yàn)?，所以?
故選：A
41．（2024·江蘇徐州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，
設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線，所以，則，又點(diǎn)在漸近線上，
所以，且，則，，所以，所以，
則在中，可得，，即，解得，所以，
故選：A．
42．（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作傾斜角為的直線與軸和雙曲線的右支分別交于點(diǎn)、，若，則該雙曲線的離心率為
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：由題意求出直線方程，再根據(jù)，可得為的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得，化簡(jiǎn)整理即可求出
∵，∴為的中點(diǎn)，由題意可得直線方程為當(dāng)時(shí)，設(shè) ∴，即即整理可得即解得．故選C．
43．（2024·甘肅蘭州·校聯(lián)考）(2017·蘭州模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線右支的一個(gè)交點(diǎn)為P，PF1與雙曲線相交于點(diǎn)Q，且|PQ|＝2|QF1|，則該雙曲線的離心率為( )
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】如圖，連接.由|，可設(shè) 則|；由，得| 由得點(diǎn)在以為直徑的圓上，
由，得解得
，化簡(jiǎn)得雙曲線的離心率
故選A.
44．（2024·福建莆田·統(tǒng)考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且.設(shè)的離心率為，則=
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，結(jié)合已知可求得，由漸近線上點(diǎn)滿足可得（為雙曲線右頂點(diǎn)）且，利用面積可建立的關(guān)系式，變形后可求得．由題意，則①，又②，得＝，∵在漸近線上且，設(shè)為雙曲線右頂點(diǎn)，如圖，則，且，由得，于是，變形為，解得（舍去），故選B．
11 漸近線平行線與面積問(wèn)題
45．（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考）設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于，兩點(diǎn)．若的面積為4，則雙曲線D的離心率為（）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與雙曲線漸近線平行的直線交雙曲線漸近線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與雙曲線漸近線平行的直線交雙曲線漸近線于點(diǎn)，
因此是平行四邊形，因?yàn)榈拿娣e為4，所以平行四邊形的面積為8，過(guò)點(diǎn)與雙曲線漸近線平行的直線為，于是有：
，
過(guò)點(diǎn)與雙曲線漸近線平行的直線為：
，與直線的距離為：
，而，
于是有：，
而，所以
因?yàn)樵陔p曲線上，所以，
解得，因此，
故離心率為
46．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點(diǎn)，，若，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】雙曲線的漸近線方程：，
即，
設(shè)點(diǎn)，可得，
分別聯(lián)立兩組直線方程可得，，
，
∵，∴，
∴，由題意，
所以，即，
所以，即
∴.
故選：B.
47．（2024·福建·）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P分別作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，等于展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，則雙曲線C的離心率為
A．3B．3或C．D．或
【答案】B
【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式求得的值，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合，可求得的值，再代入離心率公式，即可得答案；由已知可得，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，
設(shè)雙曲線半焦距為c，.
設(shè)，得，.
P到兩條漸近線的距離分別為，，
.
①.又②，由①②可得或，
或.
故選：B
12 數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度角度
48．（2024·山東泰安·統(tǒng)考）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C在第一象限存在點(diǎn)M，使得，直線與y軸交于點(diǎn)A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為 .
【答案】
【解析】由題意得，
又由橢圓的定義得，
記，則，，
則，所以，
故，
則，則，即
等價(jià)于，得：或（舍）
故答案為：
49．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)，若，的面積是面積的6倍，則橢圓的離心率是 .
【答案】
【解析】由題意知，，，，當(dāng)時(shí)，.
由，得，.
又的角平分線與直線交于點(diǎn)，可知，所以.
，解得，橢圓的離心率是.
故答案為：.
50．（2024·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓，左、右焦點(diǎn)分別為、，若

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