?8.7 向量法求距離、探索性及折疊問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.點(diǎn)到平面的距離

若P是平面α外一點(diǎn)，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，則點(diǎn)P到平面α的距離d＝.
2.點(diǎn)到直線的距離
如圖(1)，點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，A是l上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個(gè)與直線l垂直的向量n，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝.
如圖(2)，設(shè)e是直線l的方向向量，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝||sin〈，e〉.

3.線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.

典型例題分析
考向一 　　點(diǎn)到直線的距離
例1 如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，則點(diǎn)P到直線BD的距離為_(kāi)_______.

答案　
解析　如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
則＝(－3，0，1)，＝(－3，4，0)，
故點(diǎn)P到直線BD的距離d＝＝＝，
所以點(diǎn)P到直線BD的距離為.
考向二 點(diǎn)到平面的距離
例2 在棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面AB1D的距離為(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案　A
解析　以A為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于AC的直線為x軸，以AC所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由ABC－A1B1C1是棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，
故A(0，0，0)，B1，D，C1(0，a，a)，
所以＝，＝，＝，
設(shè)平面AB1D的法向量是n＝(x，y，z)，
所以取n＝(，1，－2)，
故點(diǎn)C1到平面AB1D的距離d＝＝＝a.
感悟提升　1.點(diǎn)線距的求解步驟：
直線的單位方向向量a→所求點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的向量及其在直線的方向向量a上的投影向量→代入公式.
2.點(diǎn)面距的求解步驟：
(1)求出該平面的一個(gè)法向量；
(2)找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；
(3)求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離.


考向三 探索性問(wèn)題
例3 (2023·廈門質(zhì)檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面A1B1C1與平面AB1C的交線為l.

(1)證明：A1B⊥B1C.
(2)已知∠ABB1＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在點(diǎn)P，使A1B與平面ABP所成角為30°？若存在，求B1P的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明　因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B為菱形，
所以A1B⊥AB1.
因?yàn)槠矫鍭A1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，AC?平面ABC，AC⊥AB，
所以AC⊥平面AA1B1B.
又A1B?平面AA1B1B，所以AC⊥A1B.
又因?yàn)锳B1∩AC＝A，
所以A1B⊥平面AB1C.
又B1C?平面AB1C，所以A1B⊥B1C.
(2)解　l上不存在點(diǎn)P，使A1B與平面ABP所成角為30°.理由如下：
取A1B1的中點(diǎn)D，連接AD.
因?yàn)椤螦BB1＝60°，所以∠AA1B1＝60°.
又AA1＝A1B1，
所以△AA1B1為等邊三角形，
所以AD⊥A1B1.
因?yàn)锳1B1∥AB，所以AD⊥AB.
又平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，AD?平面AA1B1B，
所以AD⊥平面ABC.
以A為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(－1，0，)，B1(1，0，)，＝(0，2，0)，
＝(2，0，0)，＝(1，0，).
因?yàn)锳C∥A1C1，AC?平面A1B1C1，
A1C1?平面A1B1C1，
所以AC∥平面A1B1C1，
又AC?平面AB1C，平面A1B1C1∩平面AB1C＝l，
所以AC∥l.
假設(shè)l上存在一點(diǎn)P，使A1B與平面ABP所成角為30°.

設(shè)＝λ(λ∈R)，則＝(0，2λ，0)，
所以＝＋＝(1，2λ，).
設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABP的一個(gè)法向量，
則即
令y＝－，則z＝2λ，可取n＝(0，－，2λ).
又＝(3，0，－)，
所以sin 30°＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
即3＋4λ2＝4λ2，此方程無(wú)解，
因此l上不存在點(diǎn)P，使A1B與平面ABP所成角為30°.
感悟提升　1.對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.
2.對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).
訓(xùn)練2 如圖，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

(1)求證：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面DAC夾角的大??；
(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由.
(1)證明　連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接SO.由題意知SO⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O－xyz.

設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO＝a，
于是S，D，C，B.
于是，＝，＝，
則·＝0，故OC⊥SD，從而AC⊥SD.
(2)解　由題設(shè)知，平面PAC的一個(gè)法向量＝，
平面DAC的一個(gè)法向量＝.
則cos〈，〉＝＝，
所以平面PAC與平面DAC夾角的大小為30°.
(3)解　在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC.
根據(jù)第(2)問(wèn)知是平面PAC的一個(gè)法向量，
且＝，＝，＝.
設(shè)＝t，
則＝＋＝＋t＝.
又·＝0，得－＋0＋a2t＝0，
則t＝，
當(dāng)SE∶EC＝2∶1時(shí)，⊥.
由于BE?平面PAC，故BE∥平面PAC.
因此在棱SC上存在點(diǎn)E，使BE∥平面PAC，此時(shí)SE∶EC＝2∶1.
考向四 折疊問(wèn)題
例4(1) (2023·濟(jì)南調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，將△ACD沿AC折起，使得
點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，連接PB，PB＝.
(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；
(2)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值.

(1)證明　因?yàn)锽C＝1，PC＝2，PB＝，
所以BC2＋PB2＝PC2，所以BC⊥PB，
又因?yàn)锽C⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因?yàn)锽C?平面ABC，
所以平面ABC⊥平面PAB.
(2)解　作PO⊥AB于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)O垂直于平面PAB的直線為x軸，OB，OP所在直線分別為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

易得OB＝，OP＝，
所以P，C，
所以＝，
易知平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(0，0，1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，
所以直線PC與平面ABC所成角的正弦值為.

(2)(2023·蘇北四市質(zhì)檢)已知一圓形紙片的圓心為O，直徑AB＝2，圓周上有C，D兩點(diǎn).如圖，OC⊥AB，∠AOD＝，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn).沿AB將紙片折為直二面角，并連接PO，PD，PC，CD.

(1)當(dāng)AB∥平面PCD時(shí)，求PD的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)三棱錐P－COD的體積最大時(shí)，求二面角O-PD-C的余弦值.
解　(1)因?yàn)锳B∥平面PCD，AB?平面OPD，
平面OPD∩平面PCD＝PD，所以AB∥PD，
又∠AOD＝，所以∠ODP＝∠OPD＝，
所以∠POD＝，
又OD＝OP＝1，所以PD＝.
(2)由題意知OC⊥平面POD，
而S△DOP＝·OD·OP·sin∠DOP，
所以當(dāng)OD⊥OP時(shí)，三棱錐P－COD的體積最大.
易知OC，OD，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，

則C(1，0，0)，D(0，0，1)，P(0，1，0)，
故＝(1，－1，0)，＝(0，1，－1).
設(shè)平面CPD的法向量為n1＝(x，y，z).
則即
取y＝1，得x＝1，z＝1，
得平面CPD的一個(gè)法向量為n1＝(1，1，1).
易知平面OPD的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)，
設(shè)二面角O-PD-C為θ，
則cos θ＝＝，
所以二面角O-PD-C的余弦值為.
感悟提升　翻折問(wèn)題中的解題關(guān)鍵是要結(jié)合圖形弄清翻折前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.


基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題
1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，且平面的法向量為，則到平面的距離等于（????）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量法計(jì)算可得.
【詳解】依題意，平面的法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離.
故選：C
2．空間中有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線MN的距離為（????）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線距離的向量求法即可求解.
【詳解】因?yàn)椋缘囊粋€(gè)單位方向向量為.
因?yàn)?，故?
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故選：A
3．已知空間三點(diǎn)，則到直線的距離為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給出的三個(gè)點(diǎn)求出、和,求出和，即可求出到直線的距離.
【詳解】由題意，空間三點(diǎn)，
，
∴，
，
∴到直線的距離為：，
故選：B.
4．已知空間三點(diǎn)，，，則到直線的距離為（????）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再根據(jù)夾角公式求出，從而求出，再根據(jù)距離公式計(jì)算可得.
【詳解】解：因?yàn)?，，，所以?br /> ，
則，，，
所以，則，
所以到直線的距離為.
故選：B
5．在空間直角坐標(biāo)系中，平面的法向量為， 已知，則P到平面的距離等于 （　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)面距的向量公式計(jì)算．
【詳解】
所求距離為．
故選：C．
6．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（??????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
??
，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，令，得
則點(diǎn)到平面的距離為.
故選：A

二、多選題
7．如圖，在正四棱柱中，，為四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（????）

A．點(diǎn)到側(cè)棱的距離相等 B．正四棱柱外接球的體積為
C．若，則平面 D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】BD
【分析】利用正四棱柱的體對(duì)角線等于外接球直徑，以及空間位置關(guān)系的向量方法證明和空間距離的向量方法計(jì)算方法即可求解.
【詳解】對(duì)于A, 到側(cè)棱的距離等于,
到側(cè)棱的距離相等且等于,故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)正四棱柱外接球的直徑為，則有,
即，所以外接球的體積等于，故B正確；
對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則,
因?yàn)?，所?
所以，，,
所以，所以與平面不垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,由以上知，設(shè)平面的法向量為，
則有，,
,即，令則，
所以，
因?yàn)?所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.

故選:BD.
8．[多選題]下列命題中正確的是（????）．
A．可以用求空間兩點(diǎn)A，B的距離
B．設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，點(diǎn)A在平面內(nèi)，則點(diǎn)B到的距離為
C．若直線l與平面平行，直線l上任意一點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)的距離就是直線l與平面的距離
D．若平面與平面平行，則平面內(nèi)任意一點(diǎn)到平面的距離就是平面與平面之間的距離
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知A正確；由點(diǎn)到平面的距離，面面距的定義以及向量公式易知B，D正確；根據(jù)點(diǎn)面距與線面距的定義可知C錯(cuò)誤．
【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知A顯然正確，由點(diǎn)到平面的距離，面面距的定義以及向量公式易知B，D正確．C中，直線l上任意一點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度為直線l與平面的距離，故C錯(cuò)誤．
故選：ABD．

三、填空題
9．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)__________.
【答案】/
【分析】先求得向量，再利用公式即可求得點(diǎn)到平面的距離
【詳解】由，，可得
又點(diǎn)在平面內(nèi)，為平面的一個(gè)法向量，
則點(diǎn)到平面的距離
故答案為：
10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為_(kāi)______．

【答案】
【解析】由平面確定點(diǎn)到平面的距離就是直線到平面的距離，建立坐標(biāo)系求出平面的法向量為，最后由得出答案.
【詳解】因?yàn)?，由線面平行的判定定理可知，平面
則點(diǎn)到平面的距離就是直線到平面的距離
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：




設(shè)平面的法向量為，則
取，則
則點(diǎn)到平面的距離為
故答案為：

11．一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示，AB=1，則在原來(lái)的正方體中，線段CF的中點(diǎn)到直線AM的距離為_(kāi)_______.

【答案】/
【分析】先將展開(kāi)圖還原成正方體，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積公式及投影定義即可求出線段CF的中點(diǎn)到直線AM的距離.
【詳解】將展開(kāi)圖還原成正方體，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由圖知，，，設(shè)CF的中點(diǎn)為G，則，，.
故G到AM的距離.

故答案為：
12．為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，若已知，，，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)_．
【答案】/
【分析】方法一：過(guò)作，交于，連結(jié)，則可得是點(diǎn)到的距離，然后求解即可，方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可
【詳解】方法一
矩形中，，，，
過(guò)作，交于，連結(jié)，

平面，平面，
，
又 ，，
平面，
∵平面，
，即是點(diǎn)到的距離，
，，
，
點(diǎn)到的距離為．
方法二
∵平面，平面，
∴，
∵
∴三線兩兩垂直，
∴以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，
，
，
點(diǎn)到的距離為
故答案為：

四、解答題
13．如圖，是圓柱的一條母線，是底面的一條直徑，是圓
上一點(diǎn)，且，.

(1)求直線與平面所成角的大??；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理找到線面角，進(jìn)而在直角三角形中求解；(2)作垂線找到點(diǎn)到平面的距離，利用等面積法求解.
【詳解】（1）平面平面

是底面的一條直徑,
又平面平面
所以平面
是直線與平面所成角,
因?yàn)?所以
所以
所以直線與平面所成角的大小
（2）
過(guò)作,垂足為，
由(1)得平面平面
所以平面平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫?
平面,,
所以平面，

根據(jù)等面積法,

即到平面的距離等于.
14．如圖在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求：

(1)異面直線和所成的角的余弦值
(2)點(diǎn)到平面的距離
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
則，，所以，
所以異面直線和所成的角的余弦值為.

（2）解：因?yàn)?，，?br /> 設(shè)平面的法向量為，
所以，即，令，則，
所以點(diǎn)到平面的距離.
15．在平行四邊形中，，，，，且平面ABCD，求點(diǎn)P到直線BC的距離．
【答案】1
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，垂直平面ABCD向上為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)椋?，，由勾股定理得：，所以，，設(shè)點(diǎn)P到直線BC的距離為，則，則，所以.

16．如圖，在三棱柱中，平面，的中點(diǎn)為．

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)直線與平面所成角的正弦值為
(3)點(diǎn)到平面的距離為.

【分析】（1）先證明平面，再利用線面垂直的性質(zhì)證明即可；
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用線面夾角公式求出即可；
（3）根據(jù)（2）中坐標(biāo)系，先得點(diǎn)的坐標(biāo)，在利用空間中點(diǎn)到平面距離公式求解即可．
【詳解】（1）解：平面，平面，所以，
又，所以，又，平面
故平面，又平面，
所以；
（2）解：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

,0,，,0,，,1,，,0,，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，令，故，
又，則
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）解：由于為中點(diǎn)，故，所以
又由（2）可知是平面的一個(gè)法向量，
則點(diǎn)到平面的距離為：.







提升題型訓(xùn)練

一、單選題
1．已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，若直線l與平面垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（????）
A． B． C． D．10
【答案】A
【分析】由題意得，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．
【詳解】由題意得，則，即，解得.
故選：A.
2．棱長(zhǎng)為的正四面體中，則等于（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】.
故選：A.
3．在空間中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y，z）滿足z＝0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是
A．平面
B．直線
C．不是平面，也不是直線
D．以上都不對(duì)
【答案】A
【詳解】試題分析：如圖，

在空間中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y，z）滿足z=0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是坐標(biāo)平面xOy面．
考點(diǎn)：軌跡方程
4．四棱錐中，，則這個(gè)四棱錐的高為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出平面的法向量，計(jì)算法向量與的夾角得出與平面的夾角，從而可求出到平面的距離．
【詳解】解：設(shè)平面的法向量為，，，則，
，令可得，，即，2，，
，
設(shè)與平面所成角為，則，
于是到平面的距離為，即四棱錐的高為．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．如圖在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1兩兩垂直且長(zhǎng)度相等，點(diǎn)P在線段A1C1上運(yùn)動(dòng)，異面直線BP與B1C所成的角為θ，則θ的取值范圍是

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，根據(jù)二次函數(shù)求范圍可得．
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，

則，
設(shè)，則，
所以，
令，則
所以，即
因?yàn)?br /> 所以
故選：C．
6．已知正四棱錐側(cè)面和底面的棱長(zhǎng)都為2，P為棱BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面SAD的距離是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】證明平面SAD，可得故點(diǎn)P到平面SAD的距離即為點(diǎn)B到平面SAD的距離，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
【詳解】解：由題可知，平面SAD，平面SAD，
所以平面SAD，
故點(diǎn)P到平面SAD的距離即為點(diǎn)B到平面SAD的距離，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面SAD的法向量為，
則有，可取，
則點(diǎn)B到平面SAD的距離為
即點(diǎn)P到平面SAD的距離為.
故選：D.


二、多選題
7．有下列四個(gè)命題，其中正確的命題有（????）
A．已知A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則
B．若兩個(gè)非零向量與滿足＋＝，則.
C．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量可以是共面向量.
D．對(duì)于空間的任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若 (x，y，z)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.
【答案】ABC
【分析】根據(jù)空間向量的加法的幾何意義、平行向量的定義，結(jié)合共面的定義逐一判斷即可.
【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)命題正確；
B：由，所以，所以本選項(xiàng)命題正確；
C：根據(jù)平移，當(dāng)空間向量的有向線段所在的直線是異面直線時(shí)，這兩個(gè)向量可以是共面向量，所以本選項(xiàng)命題正確；
D：只有當(dāng)時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，所以本選項(xiàng)命題不正確，
故選：ABC
8．已知正方體，則下列結(jié)論中正確的有（????）
A．
B．平面
C．線段被平面分成兩段，其長(zhǎng)線段與短線段長(zhǎng)度比為
D．正方體被平面分割為大小兩個(gè)幾何體的體積比為
【答案】ABD
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；求出平面的一個(gè)法向量，可判斷B選項(xiàng)的正誤；求出點(diǎn)、到平面的距離，可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出三棱錐的體積，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，

則、、、、、、、.
對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，
由，可得，取，可得，
所以，平面，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，點(diǎn)到平面的距離為，
，點(diǎn)到平面的距離為，
所以，線段被平面分成兩段，其長(zhǎng)線段與短線段長(zhǎng)度比為，
C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
所以，正方體被平面分割為大小兩個(gè)幾何體的體積比為，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離，方法如下：
（1）等體積法：先計(jì)算出四面體的體積，然后計(jì)算出的面積，利用錐體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離；
（2）空間向量法：先計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)到平面的距離為.

三、填空題
9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)間的距離是__________．
【答案】
【分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式即得．
【詳解】∵點(diǎn)和點(diǎn)，
∴點(diǎn)和點(diǎn)間的距離是.
故答案為：.
10．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，且，則________．
【答案】6
【分析】依題意可得，即可得到，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解之即可.
【詳解】，且直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，
，
，即，解得．
故答案為：
11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】過(guò)B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N．則可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．
【詳解】過(guò)B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N．則可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．
由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，
∴||＝．
故答案為
【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)空間向量的模.
12．如圖，銳二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，，，則銳二面角的平面角的余弦值是___________.

【答案】
【分析】根據(jù)題意得，兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得到答案；
【詳解】設(shè)銳二面角的平面角為，
，則
，則
.
故答案為：

四、解答題
13．在空間四邊形中，連接，設(shè)M，G分別是的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各向量表達(dá)式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.
(1)
，
∵G是的中點(diǎn)，
∴；

(2)
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴.
14．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)分別為C，，正方形沿著折起形成三棱柱，三棱柱中，.

（1）證明:當(dāng)時(shí)，求證：平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）
【分析】（1）要證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，關(guān)鍵證明，；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量公式求二面角的余弦值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，又?br /> 所以，所以，
因?yàn)?，，所以平面，平?br /> 所以，且，
所以平面；
（2）因?yàn)?，，兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，作為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，

平面，所以向量是平面的法向量，
，，，，，
設(shè)平面的法向量，
所以，即 ，令，， ，
所以平面的一個(gè)法向量，
，
所以二面角的余弦值是
15．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是中點(diǎn)．

（1）求直線與平面的夾角余弦值；
（2）求平面和平面的夾角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出直線與平面的夾角的正弦值，再轉(zhuǎn)化為余弦值.
（2）利用向量法計(jì)算出平面和平面的夾角的余弦值.
【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)直線與平面的夾角為，
則，.
（2）平面的法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則.

16．如圖，正四棱錐的底面面積為4，一條側(cè)棱長(zhǎng)為.

(1)求PA和DC的所成角的余弦值；
(2)求側(cè)棱PA和側(cè)面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）因?yàn)?，則PA和DC的所成的角為或其補(bǔ)角，由余弦定理求解即可；
（2）連接交于點(diǎn)，連接，則易知兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可
【詳解】（1）因?yàn)檎睦忮F的底面面積為4，一條側(cè)棱長(zhǎng)為，
所以，
又，
所以PA和DC的所成的角為或其補(bǔ)角，
因?yàn)椋?br /> 所以PA和DC的所成角的余弦值為；
（2）連接交于點(diǎn)，連接，
則易知兩兩垂直，
故以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
即，令，則，
設(shè)PA和平面PBC所成的角為，
則，
所以PA和平面PBC所成角的正弦值為



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