n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1．設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥2)的值為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.B　[因?yàn)殡S機(jī)變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝.]2．(2019·咸陽二模)已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，，，且三人錄取結(jié)果相互之間沒有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿?/span>(　　)A.  B.  C.  D.B　[甲、乙、丙三人都沒有被錄取的概率為P1＝(1－)×(1－)×(1－)＝，所以三人中至少有一人被錄取的概率為P＝1－P1＝，故選B.]3．袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　　)A.  B.  C.  D.D　[袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率P＝C＝.]4．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　)A．0.8  　　 B．0.75C．0.6  　　 D．0.45A　[已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝＝0.8.]5．甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為和，甲、乙兩人各射擊一次，有下列說法：①目標(biāo)恰好被命中一次的概率為＋；②目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為×；③目標(biāo)被命中的概率為×＋×；④目標(biāo)被命中的概率為1－×，以上說法正確的是(　　)A．②③  B．①②③  C．②④  D．①③C　[對(duì)于說法①，目標(biāo)恰好被命中一次的概率為×＋×＝，所以①錯(cuò)誤，結(jié)合選項(xiàng)可知，排除B、D；對(duì)于說法③，目標(biāo)被命中的概率為×＋×＋×，所以③錯(cuò)誤，排除A.故選C.]二、填空題6．(2019·眉山模擬)三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將T2，T3兩個(gè)元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為________．　[三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將T2，T3兩個(gè)元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為：p＝×(×＋×＋×)＝.]7．如果生男孩和生女孩的概率相等，則有3個(gè)小孩的家庭中女孩多于男孩的概率為________．　[設(shè)女孩個(gè)數(shù)為X，女孩多于男孩的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C× ＋C＝3× ＋＝.]8．將一個(gè)大正方形平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)，投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，則P(A|B)＝________．　[依題意，隨機(jī)試驗(yàn)共有9個(gè)不同的基本結(jié)果．由于隨機(jī)投擲，且小正方形的面積大小相等，所以事件B包含4個(gè)基本結(jié)果，事件AB包含1個(gè)基本結(jié)果．所以P(B)＝，P(AB)＝.所以P(A|B)＝＝＝.]三、解答題9．設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；(2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列．[解]　記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨(dú)立，且P(Ak)＝，P()＝.(1)法一：他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝.法二：由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P＝C××＝.(2)X的所有可能取值為2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( )＝×＋×＝，P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2A3)＝×2＋×2＝，P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2 )＝3×＋3×＝，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.綜上，X的分布列為X2345P10.空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQuality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；300以上為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的數(shù)據(jù)分別為：45，50，75，74，93，90，117，118，199，215.(1)利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(2)將頻率視為概率，從六月中隨機(jī)抽取3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列．[解]　(1)從所給數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4，∴該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為＝，從而估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為30×＝18.(2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B.∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C＝，P(ξ＝2)＝C＝，P(ξ＝3)＝＝，ξ的分布列為ξ0123P1．箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為(　　)A．   B．×C．×   D．C××B　[由題意知，第四次取球后停止是當(dāng)且僅當(dāng)前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情況，此事件發(fā)生的概率為×.]2．甲、乙等4人參加4×100米接力賽，在甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率是(　　)A.  B.  C.  D.D　[甲不跑第一棒共有A·A＝18(種)情況，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有兩類：(1)乙跑第一棒，共有A＝6(種)情況；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8(種)情況，∴甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率為＝，故選D.]3．(2019·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是________．0．18　　[記事件M為甲隊(duì)以4∶1獲勝，則甲隊(duì)共比賽五場，且第五場甲隊(duì)獲勝，前四場甲隊(duì)勝三場負(fù)一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]4．(2019·北京高考)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額(元)支付方式(0，1 000](1 000，2 000]大于2 000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由．[解]　(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30人，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為＝0.4.(2)X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”．由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6.所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”．假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝＝.答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化．1．經(jīng)檢測，有一批產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，記其中合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ，則P(ξ＝k)取得最大值時(shí)，k的值為(　　)A．5  B．4  C．3  D．2B　[根據(jù)題意得，P(ξ＝k)＝C，k＝0，1，2，3，4，5，則P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C×＝，P(ξ＝2)＝C×＝，P(ξ＝3)＝C×＝，P(ξ＝4)＝C×＝，P(ξ＝5)＝C×＝，故當(dāng)k＝4時(shí)，P(ξ＝k)最大．]2．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球．乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件．再從乙罐中隨機(jī)取出一球，用B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))．①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B與事件A1相互獨(dú)立；④A1，A2，A3為兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)．②④　[P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤錯(cuò)誤；從甲罐中取出1紅球放入乙罐后，則乙罐中有5個(gè)紅球，從中任取1個(gè)為紅球的概率為，即P(B|A1)＝，故②正確；由于P(B)≠P(B|A1)，故B與A1不獨(dú)立，因此③錯(cuò)誤；由題意知，④正確．]  

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