2024學(xué)年廣西南寧市西鄉(xiāng)塘區(qū)第二十四中學(xué)八年級下學(xué)期3月數(shù)學(xué)月考試題（原卷版+解析版）

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一、選擇題（每題3分，滿分36分）
1. 下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A．=，故不是最簡二次根式；
B．=，故不是最簡二次根式；
C．是最簡二次根式；
D．=，故不是最簡二次根式；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的識別，如果二次根式的被開方式中都不含分母，并且也都不含有能開的盡方的因式，像這樣的二次根式叫做最簡二次根式．
2. 以下列長度的線段為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐項(xiàng)分析判斷即可．
【詳解】 不能構(gòu)成直角三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
可以構(gòu)成直角三角形，故B選項(xiàng)正確；
不能構(gòu)成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
不能構(gòu)成直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．如果兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
3. 如圖，在平行四邊形中，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由平行線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵平行四邊形中， ，，
∴
∴
∴
∴
故選：B．
4. 如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面面處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部 處， 旗桿折斷之前的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的長，再由旗桿折斷之前的高度是求解即可．
【詳解】解：由題意得，
，
，
米，
旗桿折斷之前的高度是18米，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意并能靈活運(yùn)用知識是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，四邊形兩條對角線相交于點(diǎn)，且互相平分，添加下列條件，仍不能判定四邊形為菱形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定對各選項(xiàng)逐一判斷即可得．
【詳解】解：四邊形兩條對角線相交于點(diǎn)，且互相平分，
四邊形是平行四邊形，
，
當(dāng)或時(shí)，均可判定四邊形是菱形；
當(dāng)時(shí)，可判定四邊形是矩形；
當(dāng)時(shí)，
由得：，
，
，
四邊形是菱形；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定．
6. 如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．還考查了三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于三角形第三邊的一半，熟練掌握運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由三角形中位線的判斷和性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴；
又∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴；
故選：B．
7. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式加減法運(yùn)算法則判斷A和B，根據(jù)二次根式乘除法運(yùn)算法則判斷C和D．
【詳解】解：A、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不能合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、，正確，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式乘除法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
8. 如圖，平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)O，，，，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平行四邊形的對角線相互平分，故的長度可知，且在中，運(yùn)用勾股定理可求的長度，且平行四邊形中對邊對應(yīng)相等，長度可求．
【詳解】解：∵平行四邊形的對角線相互平分，
∴，
又∵，故為直角三角形，
∴根據(jù)勾股定理可得：，
∴，
且平行四邊形中，，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于掌握平行四邊形的對角線相互平分．
9. 如圖，在中，將折疊，使點(diǎn) B 恰好落在邊 上，與點(diǎn)重合， 為折痕，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)未知數(shù)利用勾股定理列方程求解即可．
【詳解】∵在中，
∴
∵將折疊，使點(diǎn) B 恰好落在邊 上，與點(diǎn)重合，
∴，
∴
設(shè)，則
∴在中，
即，解得
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列出方程．
10. 如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個(gè)小正方形，則留下陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)小正方形的面積得到邊長即可得到大正方形的邊長，根據(jù)陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣兩個(gè)小正方形的面積即可得出答案．
【詳解】解：∵兩個(gè)小正方形的面積為15和6，
∴兩個(gè)小正方形的邊長為，，
∵大正方形的邊長為：+，
∴陰影部分的面積＝（+）2﹣6﹣15
＝15+2××+6﹣6﹣15
＝6（cm2），
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，根據(jù)小正方形的面積得到邊長，進(jìn)而得到大正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．
11. 如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（ ）
A. 2c﹣bB. ﹣bC. bD. ﹣2a﹣b
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)數(shù)軸可以得到a＜b＜0＜c，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)，以及算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡即可．
【詳解】根據(jù)數(shù)軸可以得到：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，則a+c＜0，c﹣b＞0，則原式=﹣a+（a+c）+（c﹣b）=﹣a+a+c+c﹣b=2c﹣b．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，解答此題，要弄清以下問題：
（1）定義：一般地，形如（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式．當(dāng)a＞0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，當(dāng)a=0時(shí)，0，當(dāng)a小于0時(shí)，二次根式無意義．
（2）性質(zhì)：|a|．
12. 如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先證明四邊形AEPF為矩形，可得AM＝AP，最后利用垂線段最短確定AP的位置，利用面積相等求出AP的長，即可得AM．
【詳解】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴，
∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°，
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AEPF為矩形，
∵M(jìn) 為 EF 中點(diǎn)，
∴M 也是 AP中點(diǎn)，即AM＝AP，
故當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP有最小值，此時(shí)AM最小，
由，可得AP＝，
AM＝AP＝；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，確定出AP⊥BC時(shí)AM最小是解題關(guān)鍵．
二、填空題（每題2分，滿分12分）
13. 若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
解得，，
故答案為：．
14. 菱形的一條對角線長為，面積是，則菱形的另一條對角線長為___cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線的積的一半，即可求得．
【詳解】解：設(shè)菱形的另一條對角線長為xcm，則
×6×x=6cm2，
∴x=2cm．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握菱形的面積等于兩條對角線的積的一半．
15. 如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求解．
【詳解】∵，D為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，點(diǎn)P是平分線上一點(diǎn)，于B，且，，，則的面積是______．
【答案】18
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過P作于D，
點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，于B，
，
，
，
在與中，
，
≌，
，
，
故答案為18．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17. 數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．請你利用公式解答下列問題：在中，已知，，，則的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先求得三角形周長的一半的值，然后代入公式，化簡即可求解．
【詳解】解：∵為三角形周長的一半，，，，
∴，
∴
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級的長、寬、高分別為，和，和是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)上有一只螞蟻想到點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為_________.

【答案】
【解析】
【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算AB，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．
【詳解】解：展開圖為：

則AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB==125cm．
所以螞蟻所走的最短路線長度為125cm．
故答案為：125．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（滿分66分）
19. 計(jì)算：
【答案】
【解析】
【分析】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，絕對值化簡，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，絕對值化簡，然后計(jì)算加減法即可．
【詳解】解：
20. 先化簡，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把括號內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法，然后約分化簡，最后代值計(jì)算即可．
詳解】解；
，
當(dāng)時(shí)，原式．
21. 如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形格點(diǎn)上．
（1）求的長；
（2）判斷是否為直角三角形，并說明理由；
（3）求點(diǎn)C到邊的距離．
【答案】（1） （2）不是；理由見解析
（3）
【解析】
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，組合圖形求面積，觀察圖形，確定合適的直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
（1）利用網(wǎng)格及勾股定理求解即可；
（2）根據(jù)勾股定理在網(wǎng)絡(luò)圖直角三角形中，求三角形三邊的平方，根據(jù)勾股定理逆定理判斷是否構(gòu)成直角三角形；
（3）由面積法：運(yùn)用組合圖形求出三角形面積，利用三角形面積公式構(gòu)建方程求解．
【小問1詳解】
解：；
【小問2詳解】
不是；理由如下：
由勾股定理，
，，
∴
∴三角形不是直角三角形．
【小問3詳解】
根據(jù)圖象得：，
∵
∴設(shè)點(diǎn)C到邊的距離為，
則，
解得．
∴點(diǎn)C到邊的距離為．
22. 如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，連接交于點(diǎn)O，求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)證明，再利用證明即可證明．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
23. 下面是夏紅同學(xué)對題目的計(jì)算過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
題目：已知，求的值．
原式…………………第一步
………………………………第二步
………………………………………第三步
將代入上式，得
原式………………………………第四步
………………………第五步
．………………………………………第六步
任務(wù)一：填空：
①在化簡步驟中，第 步是進(jìn)行分式的通分．
②第 步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是 ．
任務(wù)二：請寫出該題計(jì)算的正確過程．
【答案】任務(wù)一：①一；②五，分子沒有乘；任務(wù)二：．
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的化簡求值，分母有理化進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：任務(wù)一：①在化簡步驟中，第一步是進(jìn)行分式的通分，
故答案為：一．
②第五步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是：分子沒有乘．
故答案為：五，分子沒有乘．
任務(wù)二：原式
=．
24. 已知：如圖，是的角平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，試求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）120
【解析】
【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，，再證，即，即可得出結(jié)論；
（2）連接交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，利用勾股定理求得，從而可得，再利用菱形的面積公式計(jì)算即可．本題考查平行四邊形的判定、勾股定理、菱形的判定與性質(zhì)、菱形的面積公式及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
【小問2詳解】
解：如圖，連接交于點(diǎn)O，

由（1）可知，四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 在某段限速公路BC上(公路視為直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60 km/h（即），并在離該公路100 m處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測點(diǎn)A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．
(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)一輛汽車從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15 s，通過計(jì)算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速．(參考數(shù)據(jù)：≈1.7)
【答案】見解析
【解析】
【詳解】試題分析:根據(jù)方位角的概念,得出∠BAO=60°,∠CAO=45°,由∠BAO=60°可得∠ABO=30°,進(jìn)而可得AB的值,然后在Rt△ABO中由勾股定理可求出OB的值,（2）判斷是否超速就是求BC的長,然后比較即可.
解：(1)在Rt△AOB中，
∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝AB.
∵OA＝100 m，∴AB＝200 m.
由勾股定理，得OB＝＝100(m)．
在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.
∴OC＝OA＝100 m．∴B(－100，0)，C(100，0)．
(2)∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，≈18>，
∴這輛汽車超速了．
26. （1）【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的；①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是 ；（只填序號）
（2）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對角線交于點(diǎn)O，，，，之間的數(shù)量關(guān)系為，請你給出證明；
（3）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長．
【答案】（1）③④；（2）證明見解析；（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了特殊平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定：
（1）根據(jù)菱形和正方形的性質(zhì)即可得到答案；
（2）先根據(jù)勾股定理得到，，，，即可推算出；
（3）先根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，再證明，得到四邊形是垂美四邊形，再結(jié)合（2）的結(jié)論即可求出．
【詳解】解：（1）∵菱形和正方形的對角線相互垂直，矩形和平行四邊形的對角線不一定垂直，
∴只有正方形和菱形時(shí)垂美四邊形，
故答案：③④；
（2）∵，
∴，，，，
∴，，
∴；
（3）如下圖所示，設(shè)，交于點(diǎn)M，，交于點(diǎn)N，連接，
由正方形的性質(zhì)可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是垂美四邊形，
根據(jù)（2）得，
∵，，
∴，
∵正方形和正方形，
∴，
∴，
∴．