2024年江西省九江市修水縣中考一模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．請將答案寫在答題卡上，否則不給分．
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18 分．每小題只有一個正確選項）
1. 將一元二次方程化成一般形式后，若二次項的系數(shù)是3，則一次項的系數(shù)是（）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式；根據(jù)題意化為一般形式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：
即
∴一次項系數(shù)是
故選：C．
2. 如圖，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A. 當(dāng)，平行四邊形是矩形
B. 當(dāng)，平行四邊形是矩形
C. 當(dāng)，平行四邊形是菱形
D. 當(dāng)，平行四邊形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查菱形，矩形的判定，根據(jù)菱形，矩形的判定逐個判斷即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
當(dāng)，平行四邊形是矩形，正確，不符合題意，
當(dāng)，平行四邊形矩形，正確，不符合題意，
當(dāng)，平行四邊形是菱形，正確，不符合題意，
當(dāng)，平行四邊形是菱形，得不到正方形，錯誤，符合題意，
故選：D．
3. 某物體如圖所示，其俯視圖是（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)俯視圖的意義判斷即可．
【詳解】的俯視圖是
．
故選B．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，正確理解俯視圖是解題的關(guān)鍵．
4. 下列說法中正確的是（）
A. 兩條直線被一組平行線所截，所得的線段成比例
B. 對于反比例函數(shù)y隨x的增大而減小
C. 關(guān)于x的方程是一元二次方程
D. 正方形的每一條對角線平分一組對角
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的定義和正方形的性質(zhì)．分別根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的定義和正方形的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：A、兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，原說法錯誤，不符合題意；
B、對于反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，原說法錯誤，不符合題意；
C、關(guān)于x的方程是一元二次方程，原說法錯誤，不符合題意；
D、正方形的每一條對角線平分一組對角，原說法正確，符合題意；
故選：D．
5. 老師設(shè)計了接力游戲，用合作的方式完成“求拋物線的頂點坐標(biāo)”，規(guī)則如下：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成解答．過程如圖所示：
接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯誤的是（）
A. 只有甲B. 丙和丁C. 甲和丁D. 乙和丙
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了把二次函數(shù)一般解析式化成頂點式，以及二次函數(shù)頂點式的圖象和性質(zhì)，觀察每一項的變化，發(fā)現(xiàn)甲將老師給的式子等式右邊縮小兩倍，到了丁處根據(jù)丙的式子得出了錯誤的頂點坐標(biāo)．
【詳解】解：老師：，
可得頂點坐標(biāo)為．
根據(jù)題中過程可知從甲開始出錯，按照此步驟下去到了丁處可得頂點應(yīng)為，所以錯誤的只有甲和?。?br>故選：C．
6. 如圖，半徑為的扇形中，，是上一點，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接，證明四邊形是正方形，進(jìn)而得出，，然后根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵，，，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∴圖中陰影部分面積，
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，求扇形面積，證明四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題(本大題共6 小題，每小題3分，共18分)
7. 已知，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
．
故答案為：．
8. 在一個不透明的布袋中裝有50個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在左右，則布袋中白球可能有______．
【答案】
【解析】
【分析】利用頻率估計概率得到摸到白球的概率為，然后根據(jù)概率公式計算出黃球，再求白球即可．
【詳解】解：設(shè)袋子中白球有個，
根據(jù)題意，得：
，
解得：，
則，
即布袋中白球可能有個，
故答案為．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
9. 已知關(guān)于x的方程的一個根是，則它的另一個根是________．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，根據(jù)該方程一個根為，即可求出另一個根．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
∴，
∵該方程一個根為，令，
∴，解得：．
故答案為：5．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩根為，，則，．
10. “青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個竹筒水容器，圖為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為，開口寬為，這個水容器所能裝水的最大深度是________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，過點O作于點D，交于點C，先由垂徑定理求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而可得出的長．本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，過點O作于點D，交于點C，如圖所示：
∵，
∴，
由題意得：，
在中，
，
∴，
即水的最大深度為，
故答案為：．
11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在第一象限，點B在x軸的正半軸，，將沿所在的直線翻折后，點B落在點C處，且軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，則k的值為___．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查翻折的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，延長交x軸于點D，則，設(shè)，則，由翻折的性質(zhì)得，，利用勾股定理求得，得到點C的坐標(biāo)為，結(jié)合點C在反比例函數(shù)圖象上，可求得，進(jìn)一步求得，在中利用勾股定理求得a，即可求得答案．
【詳解】解：延長交x軸于點D，如圖所示：

設(shè)，則，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
由翻折的性質(zhì)得：，，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴點C的坐標(biāo)為，
∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，或（不合題意，舍去），
∴．
故答案為：．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，長方形ABCD按如圖所示放置，O是AD的中點，且A、B、C的坐標(biāo)分別為(5，0)，(5，4)，(－5，4)，點P是BC上的動點，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則點P的坐標(biāo)為_______．
【答案】(－2，4)或(3，4)或(－3，4)
【解析】
【分析】先根據(jù)題意得到OD=OA=5，CD=4，然后分當(dāng)時和當(dāng)時進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形，A、B、C的坐標(biāo)分別為(5，0)，(5，4)，(－5，4)，
∴OD=OA=5，CD=4，
如圖所示，當(dāng)時，過點作軸于E，
∴，
∴，
∴的坐標(biāo)為（-3，4），
同理可求出的坐標(biāo)為（3，4）；
如圖所示，當(dāng)時，設(shè)CD與y軸交于F，則CF=5，OF=4，
，
∴，
∴的坐標(biāo)為（-2，4），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為(－2，4)或(3，4)或(－3，4)，
故答案為：(－2，4)或(3，4)或(－3，4)．
【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的定義．
三、（本大題共5 小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計算：
（2）如圖，為的直徑，C，D 是上的兩點，且，求證：．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)混合運算，圓心角，弦，弧間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，熟練掌握各個性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)，計算各項，再算加減法即可；
（2）利用平行線性質(zhì)得到，，根據(jù)等邊對等角得到，通過等量代換得，最后根據(jù)等角對等弧得證．
【詳解】解：（1）原式；
（2）證明：，
，，
，
，
，
．
14. 如圖，AE平分，D為AE上一點，．
（1）求證：；
（2）若D為AE中點，，求CD的長．
【答案】（1）證明見詳解；（2）CD的長為2．
【解析】
【分析】（1）由角平分線的定義可得，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；
（2）由中點的定義可得，再由（1）中結(jié)論相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：（1）證明∵AE平分，
∴，
在與中，
∵，
，
∴；
（2）∵D為AE中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CD的長為2．
【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線和線段中點的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15. 已知拋物線與y軸交于點，它的頂點M，對稱軸是直線．求此拋物線的表達(dá)式及點M的坐標(biāo)．
【答案】；頂點．
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特征得到，再根據(jù)對稱軸得到，即可求出此拋物線的表達(dá)式，然后將其化為頂點式，即可得到頂點M的坐標(biāo)．
【詳解】拋物線與y軸交于點，
，
對稱軸是直線，
，
，
拋物線的表達(dá)式為，
，
頂點．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式拋物線上點的坐標(biāo)特征，對稱軸，頂點坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16. 為了弘揚雷鋒精神，某校組織“學(xué)雷鋒，爭做新時代好少年”的宣傳活動，根據(jù)活動要求，每班需要2名宣傳員，某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機選取2名同學(xué)作為宣傳員．
（1）“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“隨機”）
（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率．
【答案】（1）隨機（2）
【解析】
【分析】（1）由確定事件與隨機事件的概念可得答案；
（2）先畫樹狀圖得到所有可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計算即可．
【小問1詳解】
解：“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機事件；
【小問2詳解】
畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中選中的兩名同學(xué)恰好是甲，丁的結(jié)果數(shù)為2，
所以選中兩名同學(xué)恰好是甲，丁的概率．
【點睛】本題考查的是事件的含義，利用畫樹狀圖求解隨機事件的概率，熟記事件的概念與分類以及畫樹狀圖的方法是解本題的關(guān)鍵．
17. 僅用無刻度的直尺，按要求畫圖(保留畫圖痕跡，不寫作法)
(1)如圖①，畫出的一個內(nèi)接矩形.
(2)如圖②，是的直徑，是弦，且，畫出的內(nèi)接正方形.
【答案】（1）答案見詳解；（2）答案見詳解.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，畫出圓的兩條直徑，即可得到⊙O的一個內(nèi)接矩形；
【詳解】（2）根據(jù)對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，畫出圓的一條直徑，使其與AB互相垂直，即可得到⊙O的內(nèi)接正方形．
解：（1）如圖所示，過O作⊙O的直徑AC與BD，連接AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD即為所求；
（2）如圖所示，延長AC，BD交于點E，連接AD，BC交于點F，連接EF并延長交⊙O于G，H，連接AH，HB，BG，GA，則四邊形AHBG即為所求．
【點睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖以及圓的性質(zhì)的運用，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
四、（本大題共3 小題，每小題8分，共24分）
18. 已知一個矩形的面積為6，長為x，寬為y．
（1）y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）在圖中畫出該函數(shù)的圖象；
列表：
上面表格中m的值是；
描點：在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點；
連線：用光滑的曲線順次連接各點，即可得到該函數(shù)的圖象．
（3）若點與點是該函數(shù)圖象上的兩點，試比較和的大?。?br>【答案】（1）
（2），畫圖見解析
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)解析式，圖象的畫法以及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識點并能靈活運用．
（1）利用矩形的面積公式可以得到與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描點，再用光滑的曲線順次連接即可畫出圖象；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．
【小問1詳解】
根據(jù)題意得：，
所以，
則與之間函數(shù)表達(dá)式為．
故答案為：．
【小問2詳解】
【小問3詳解】
由圖象可知，在第一象限內(nèi)隨著的增大而減小，
，
．
19. 2023年亞運會在杭州順利舉行，亞運會吉祥物“江南憶”公仔爆紅．據(jù)統(tǒng)計“江南憶”公仔在某電商平臺8月份的銷售量是5萬件，10月份的銷售量是萬件．
（1）若該平臺8月份到10月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？
（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪“江南憶”公仔的進(jìn)價為每件40元，若售價為每件80元，每天能銷售20件，售價每降價元，每天可多售出2件，為了推廣宜傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使銷售該公仔每天獲利元，則售價應(yīng)降低多少元？
【答案】（1）
（2）元．
【解析】
【分析】(1)設(shè)月平均增長率是，利用月份的銷售量月份的銷售量月平均增長率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
(2)設(shè)售價應(yīng)降低元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷售量為件，利用每天銷售該公仔獲得的利潤每件的銷售利潤日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可求出的值，再結(jié)合要盡量減少庫存，即可得出售價應(yīng)降低的錢數(shù)．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵
【小問1詳解】
解：設(shè)月平均增長率是，
依題意得：，
解得：，不合題意，舍去．
答：月平均增長率是．
【小問2詳解】
解：設(shè)售價應(yīng)降低元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷售量為件，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又要盡量減少庫存，
．
答：售價應(yīng)降低元．
20. 圖1為放在水平地面上的落地式話筒架實物圖．圖2為其示意圖，支撐桿垂直于地面，，斜桿連接在支撐桿頂端處，，其中的長度可通過斜桿的滑動來進(jìn)行調(diào)節(jié)，斜桿還可以繞著點旋轉(zhuǎn)，且與支撐桿的夾角為．
（1）當(dāng)時，求話筒到地面的高度；
（2）落地式話筒可以根據(jù)使用者的身高需要調(diào)節(jié)的長度和夾角的度數(shù)，某運動員使用落地式話筒的適合高度是，請問該話筒的高度能否滿足這名運動員的需要，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）
（2）該話筒的高度能滿足這名運動員的需要，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵；
（1）過點作，于點，得出，進(jìn)而根據(jù)筒到地面的高度為，即可求解；
（2）依題意，當(dāng)，點重合時，，點離地面最高，此時如圖所示，過點作，于點，進(jìn)而根據(jù)（1）的方法，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，過點作，于點，
∵
∴,
又，
∴筒到地面的高度為；
【小問2詳解】
解：依題意，當(dāng)，點重合時，，點離地面最高，
此時如圖所示，過點作，于點，
∴
∴
∴筒到地面的高度為
∵某運動員使用落地式話筒的適合高度是，
∴該話筒的高度能滿足這名運動員的需要．
五、（本大題共2 小題，每小題9分，共18 分）
21. 課本改編
（1）如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，則度，度．
（2）如果的內(nèi)接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2，求證：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．
知識運用
（3）如圖3，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點 D，E，F(xiàn) 是線段的中點，連接，求證：是的切線．
【答案】（1）90，180；（2）見解析；（3）見解析
【解析】
【分析】此題考查了圓周角定理、切線的判定、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵.
（1）利用圓周角定理及四邊形內(nèi)角和進(jìn)行解答即可；
（2）連接并延長，交于點E，連接根據(jù)（1）的結(jié)論進(jìn)行證明即可；
（3）證明，由四邊形是圓內(nèi)接四邊形，進(jìn)一步得到，，又由是的半徑，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，
∴度，
∵
∴
故答案為：90，180
(2)證明：如圖，連接并延長，交于點E，連接
由(1)可知，，，
，
，
即圓內(nèi)接四邊形的對角互補
（3）證明:連接，如圖所示.
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
是線段的中點，
是的半徑，
是的切線
22. 如圖1，、、、為矩形四個頂點，，．動點、分別從點、出發(fā)，點以的速度沿邊向點移動，點以的速度沿邊向點移動，點移動到點時，兩點同時停止移動．以為邊作正方形，點出發(fā)時，正方形的面積為．已知與的函數(shù)圖象是拋物線的一部分，如圖2所示．請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）自變量的取值范圍是_______；
（2）______，_______，________；
（3）出發(fā)多少秒時，正方形的面積為？
【答案】（1）
（2） ①. 3 ②. 2 ③. 25
（3）出發(fā)或秒時，正方形的面積為
【解析】
【分析】本題考查動點問題，涉及圖形的面積，勾股定理，函數(shù)的最值．
（1）自變量的取值范圍是點從點到點的運動時間，由時間距離速度，即可求；
（2）由圖2知，正方形的面積的最小值是9，而正方形的面積最小時，根據(jù)兩平行線間垂直線段最短的性質(zhì)，得,當(dāng)正方形的面積最小時，由和得，分別為的中點，即；當(dāng)正方形的面積最大時，等于矩形的對角線，根據(jù)勾股定理，它為5，即；
（3）求出正方形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，即可求得出發(fā)或秒時，正方形的面積為．
【小問1詳解】
，速度為
運動完的時間為
故自變量的取值范圍為；
【小問2詳解】
由圖2知，正方形的面積的最小值是9，
根據(jù)兩平行線間垂直線段最短的性質(zhì)，得；
正方形的面積最小時，由和得，
分別為的中點，即；
當(dāng)正方形的面積最大時，等于矩形的對角線，根據(jù)勾股定理，它為5，即；
【小問3詳解】
過點作垂足為點,則四邊形為矩形
∴，
∵
∴
在中，
∵是以為邊長的正方形的面積
∴
當(dāng)時，
解得
∴出發(fā)或秒時，正方形的面積為．
六、（本大題共12 分）
23. 【特例感知】如圖1，點是正方形 ABCD 對角線AC上一點，于點，于點
（1）求證：四邊形是正方形．
（2）；
【規(guī)律探究】將正方形繞點A 旋轉(zhuǎn)得到圖2，連接，，
（3）的比值是否會發(fā)生變化? 請說明理由．
【拓展應(yīng)用】
如圖3，在圖2 的基礎(chǔ)上，，，分別是，，的中點．
（4）求證：四邊形．是正方形．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）不變，理由見解析；（4）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和判定即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可；
（3）過作于點，過作交于點，證明四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，再根據(jù)性質(zhì)證明是等腰直角三角形即可；
（4）根據(jù)正方形的性質(zhì)和判定即可；
【詳解】（1）四邊形是正方形，
，平分，
，，
，
,四邊形是矩形，
四邊形是正方形；
（2）由（1）得：四邊形是正方形，
四邊形是正方形，
設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，
，，
，
，
故答案為：；
（3）不變，理由：
四邊形是正方形，四邊形是正方形，
，，
，
，
，
過作于點，過作交于點，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是平行四邊形，
易得：，
，，
，即是等腰直角三角形，
，
；
（4）四邊形是正方形，理由：
由（3）得，
，
點，，分別是，，的中點，
，
，
，
，
四邊形是正方形．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
3
m
1.5
1
…

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