2．請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡上，否則不給分．
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18 分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1. 將一元二次方程化成一般形式后，若二次項(xiàng)的系數(shù)是3，則一次項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式；根據(jù)題意化為一般形式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：
即
∴一次項(xiàng)系數(shù)是
故選：C．
2. 如圖，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A. 當(dāng)，平行四邊形是矩形
B. 當(dāng)，平行四邊形是矩形
C. 當(dāng)，平行四邊形是菱形
D. 當(dāng)，平行四邊形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查菱形，矩形的判定，根據(jù)菱形，矩形的判定逐個(gè)判斷即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
當(dāng)，平行四邊形是矩形，正確，不符合題意，
當(dāng)，平行四邊形矩形，正確，不符合題意，
當(dāng)，平行四邊形是菱形，正確，不符合題意，
當(dāng)，平行四邊形是菱形，得不到正方形，錯(cuò)誤，符合題意，
故選：D．
3. 某物體如圖所示，其俯視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)俯視圖的意義判斷即可．
【詳解】 的俯視圖是
．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，正確理解俯視圖是解題的關(guān)鍵．
4. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 兩條直線被一組平行線所截，所得的線段成比例
B. 對(duì)于反比例函數(shù)y隨x的增大而減小
C. 關(guān)于x的方程 是一元二次方程
D. 正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的定義和正方形的性質(zhì)．分別根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的定義和正方形的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：A、兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、對(duì)于反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、關(guān)于x的方程 是一元二次方程，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，原說(shuō)法正確，符合題意；
故選：D．
5. 老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成“求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)”，規(guī)則如下：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成解答．過(guò)程如圖所示：
接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（ ）
A. 只有甲B. 丙和丁C. 甲和丁D. 乙和丙
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了把二次函數(shù)一般解析式化成頂點(diǎn)式，以及二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖象和性質(zhì)，觀察每一項(xiàng)的變化，發(fā)現(xiàn)甲將老師給的式子等式右邊縮小兩倍，到了丁處根據(jù)丙的式子得出了錯(cuò)誤的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：老師：，
可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
根據(jù)題中過(guò)程可知從甲開(kāi)始出錯(cuò)，按照此步驟下去到了丁處可得頂點(diǎn)應(yīng)為，所以錯(cuò)誤的只有甲和?。?br>故選：C．
6. 如圖，半徑為的扇形中，，是上一點(diǎn)，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接，證明四邊形是正方形，進(jìn)而得出，，然后根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵，，，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∴圖中陰影部分面積，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，求扇形面積，證明四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題(本大題共6 小題，每小題3分，共18分)
7. 已知，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
．
故答案為：．
8. 在一個(gè)不透明的布袋中裝有50個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在左右，則布袋中白球可能有______．
【答案】
【解析】
【分析】利用頻率估計(jì)概率得到摸到白球的概率為，然后根據(jù)概率公式計(jì)算出黃球，再求白球即可．
【詳解】解：設(shè)袋子中白球有個(gè)，
根據(jù)題意，得：
，
解得：，
則，
即布袋中白球可能有個(gè)，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
9. 已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根是________．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，根據(jù)該方程一個(gè)根為，即可求出另一個(gè)根．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
∴，
∵該方程一個(gè)根為，令，
∴，解得：．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩根為，，則，．
10. “青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個(gè)竹筒水容器，圖為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為，開(kāi)口寬為，這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)．本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，如圖所示：
∵，
∴，
由題意得：，
在中，
，
∴，
即水的最大深度為，
故答案為：．
11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸，，將沿所在的直線翻折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處，且軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值為_(kāi)__．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查翻折的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，則，設(shè)，則，由翻折的性質(zhì)得，，利用勾股定理求得，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，可求得，進(jìn)一步求得，在中利用勾股定理求得a，即可求得答案．
【詳解】解：延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，如圖所示：

設(shè)，則，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
由翻折的性質(zhì)得：，，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，或（不合題意，舍去），
∴．
故答案為：．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形ABCD按如圖所示放置，O是AD的中點(diǎn)，且A、B、C的坐標(biāo)分別為(5，0)，(5，4)，(－5，4)，點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______．
【答案】(－2，4)或(3，4)或(－3，4)
【解析】
【分析】先根據(jù)題意得到OD=OA=5，CD=4，然后分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，A、B、C的坐標(biāo)分別為(5，0)，(5，4)，(－5，4)，
∴OD=OA=5，CD=4，
如圖所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于E，
∴，
∴，
∴的坐標(biāo)為（-3，4），
同理可求出的坐標(biāo)為（3，4）；
如圖所示，當(dāng)時(shí)，設(shè)CD與y軸交于F，則CF=5，OF=4，
，
∴，
∴的坐標(biāo)為（-2，4），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，4)或(3，4)或(－3，4)，
故答案為：(－2，4)或(3，4)或(－3，4)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的定義．
三、（本大題共5 小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計(jì)算：
（2）如圖，為 的直徑，C，D 是上的兩點(diǎn)，且，求證：．
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，圓心角，弦，弧間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)，計(jì)算各項(xiàng)，再算加減法即可；
（2）利用平行線性質(zhì)得到，，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，通過(guò)等量代換得，最后根據(jù)等角對(duì)等弧得證．
【詳解】解：（1）原式；
（2）證明：，
，，
，
，
，
．
14. 如圖，AE平分，D為AE上一點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）若D為AE中點(diǎn)，，求CD的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）CD的長(zhǎng)為2．
【解析】
【分析】（1）由角平分線的定義可得，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；
（2）由中點(diǎn)的定義可得，再由（1）中結(jié)論相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：（1）證明∵AE平分，
∴，
在與中，
∵，
，
∴；
（2）∵D為AE中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CD的長(zhǎng)為2．
【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線和線段中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15. 已知拋物線與y軸交于點(diǎn)，它的頂點(diǎn)M，對(duì)稱(chēng)軸是直線．求此拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】；頂點(diǎn)．
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸得到，即可求出此拋物線的表達(dá)式，然后將其化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【詳解】拋物線與y軸交于點(diǎn)，
，
對(duì)稱(chēng)軸是直線，
，
，
拋物線的表達(dá)式為，
，
頂點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16. 為了弘揚(yáng)雷鋒精神，某校組織“學(xué)雷鋒，爭(zhēng)做新時(shí)代好少年”的宣傳活動(dòng)，根據(jù)活動(dòng)要求，每班需要2名宣傳員，某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)作為宣傳員．
（1）“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）
（2）請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率．
【答案】（1）隨機(jī) （2）
【解析】
【分析】（1）由確定事件與隨機(jī)事件的概念可得答案；
（2）先畫(huà)樹(shù)狀圖得到所有可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機(jī)事件；
【小問(wèn)2詳解】
畫(huà)樹(shù)狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中選中的兩名同學(xué)恰好是甲，丁的結(jié)果數(shù)為2，
所以選中兩名同學(xué)恰好是甲，丁的概率．
【點(diǎn)睛】本題考查的是事件的含義，利用畫(huà)樹(shù)狀圖求解隨機(jī)事件的概率，熟記事件的概念與分類(lèi)以及畫(huà)樹(shù)狀圖的方法是解本題的關(guān)鍵．
17. 僅用無(wú)刻度的直尺，按要求畫(huà)圖(保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)作法)
(1)如圖①，畫(huà)出的一個(gè)內(nèi)接矩形.
(2)如圖②，是的直徑，是弦，且，畫(huà)出的內(nèi)接正方形.
【答案】（1）答案見(jiàn)詳解；（2）答案見(jiàn)詳解.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，畫(huà)出圓的兩條直徑，即可得到⊙O的一個(gè)內(nèi)接矩形；
【詳解】（2）根據(jù)對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，畫(huà)出圓的一條直徑，使其與AB互相垂直，即可得到⊙O的內(nèi)接正方形．
解：（1）如圖所示，過(guò)O作⊙O的直徑AC與BD，連接AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD即為所求；
（2）如圖所示，延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)E，連接AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)交⊙O于G，H，連接AH，HB，BG，GA，則四邊形AHBG即為所求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖以及圓的性質(zhì)的運(yùn)用，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
四、（本大題共3 小題，每小題8分，共24分）
18. 已知一個(gè)矩形的面積為6，長(zhǎng)為x，寬為y．
（1）y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為 ；
（2）在圖中畫(huà)出該函數(shù)的圖象；
列表：
上面表格中m的值是 ；
描點(diǎn)：在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)；
連線：用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)，即可得到該函數(shù)的圖象．
（3）若點(diǎn)與點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，試比較和的大?。?br>【答案】（1）
（2），畫(huà)圖見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)解析式，圖象的畫(huà)法以及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)并能靈活運(yùn)用．
（1）利用矩形的面積公式可以得到與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描點(diǎn)，再用光滑的曲線順次連接即可畫(huà)出圖象；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意得：，
所以，
則與之間函數(shù)表達(dá)式為．
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
【小問(wèn)3詳解】
由圖象可知，在第一象限內(nèi)隨著的增大而減小，
，
．
19. 2023年亞運(yùn)會(huì)在杭州順利舉行，亞運(yùn)會(huì)吉祥物“江南憶”公仔爆紅．據(jù)統(tǒng)計(jì)“江南憶”公仔在某電商平臺(tái)8月份的銷(xiāo)售量是5萬(wàn)件，10月份的銷(xiāo)售量是萬(wàn)件．
（1）若該平臺(tái)8月份到10月份的月平均增長(zhǎng)率都相同，求月平均增長(zhǎng)率是多少？
（2）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪“江南憶”公仔的進(jìn)價(jià)為每件40元，若售價(jià)為每件80元，每天能銷(xiāo)售20件，售價(jià)每降價(jià)元，每天可多售出2件，為了推廣宜傳，商家決定降價(jià)促銷(xiāo)，同時(shí)盡量減少庫(kù)存，若使銷(xiāo)售該公仔每天獲利元，則售價(jià)應(yīng)降低多少元？
【答案】（1）
（2）元．
【解析】
【分析】(1)設(shè)月平均增長(zhǎng)率是，利用月份的銷(xiāo)售量月份的銷(xiāo)售量月平均增長(zhǎng)率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
(2)設(shè)售價(jià)應(yīng)降低元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，每天的銷(xiāo)售量為件，利用每天銷(xiāo)售該公仔獲得的利潤(rùn)每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)日銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可求出的值，再結(jié)合要盡量減少庫(kù)存，即可得出售價(jià)應(yīng)降低的錢(qián)數(shù)．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率是，
依題意得：，
解得：，不合題意，舍去．
答：月平均增長(zhǎng)率是．
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)售價(jià)應(yīng)降低元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，每天的銷(xiāo)售量為件，
依題意得： ，
整理得：，
解得：，．
又要盡量減少庫(kù)存，
．
答：售價(jià)應(yīng)降低元．
20. 圖1為放在水平地面上的落地式話筒架實(shí)物圖．圖2為其示意圖，支撐桿垂直于地面，，斜桿連接在支撐桿頂端處，，其中的長(zhǎng)度可通過(guò)斜桿的滑動(dòng)來(lái)進(jìn)行調(diào)節(jié)，斜桿還可以繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且與支撐桿的夾角為．
（1）當(dāng)時(shí)，求話筒到地面的高度；
（2）落地式話筒可以根據(jù)使用者的身高需要調(diào)節(jié)的長(zhǎng)度和夾角的度數(shù)，某運(yùn)動(dòng)員使用落地式話筒的適合高度是，請(qǐng)問(wèn)該話筒的高度能否滿足這名運(yùn)動(dòng)員的需要，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）
（2）該話筒的高度能滿足這名運(yùn)動(dòng)員的需要，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵；
（1）過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，得出，進(jìn)而根據(jù)筒到地面的高度為，即可求解；
（2）依題意，當(dāng)，點(diǎn)重合時(shí)，，點(diǎn)離地面最高，此時(shí)如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)（1）的方法，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，
∵
∴,
又，
∴筒到地面的高度為；
【小問(wèn)2詳解】
解：依題意，當(dāng)，點(diǎn)重合時(shí)，，點(diǎn)離地面最高，
此時(shí)如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，
∴
∴
∴筒到地面的高度為
∵某運(yùn)動(dòng)員使用落地式話筒的適合高度是，
∴該話筒的高度能滿足這名運(yùn)動(dòng)員的需要．
五、（本大題共2 小題，每小題9分，共18 分）
21. 課本改編
（1）如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，則 度， 度．
（2）如果的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線不是的直徑，如圖2，求證：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
知識(shí)運(yùn)用
（3）如圖3，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點(diǎn) D，E，F(xiàn) 是線段的中點(diǎn)，連接，求證：是的切線．
【答案】（1）90，180；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】此題考查了圓周角定理、切線的判定、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵.
（1）利用圓周角定理及四邊形內(nèi)角和進(jìn)行解答即可；
（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接根據(jù)（1）的 結(jié)論進(jìn)行證明即可；
（3）證明，由四邊形是圓內(nèi)接四邊形，進(jìn)一步得到，，又由是的半徑，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，
∴度，
∵
∴
故答案為：90，180
(2)證明：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接
由(1)可知，，，
，
，
即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)
（3）證明:連接，如圖所示.
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
是線段的中點(diǎn)，
是的半徑，
是的切線
22. 如圖1，、、、為矩形四個(gè)頂點(diǎn)，，．動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、出發(fā)，點(diǎn)以的速度沿邊向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)以的速度沿邊向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)．以為邊作正方形，點(diǎn)出發(fā)時(shí)，正方形的面積為．已知與的函數(shù)圖象是拋物線的一部分，如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
（1）自變量的取值范圍是_______；
（2）______，_______，________；
（3）出發(fā)多少秒時(shí)，正方形的面積為？
【答案】（1）
（2） ①. 3 ②. 2 ③. 25
（3）出發(fā)或秒時(shí)，正方形的面積為
【解析】
【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及圖形的面積，勾股定理，函數(shù)的最值．
（1）自變量的取值范圍是點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由時(shí)間距離速度，即可求；
（2）由圖2知，正方形的面積的最小值是9，而正方形的面積最小時(shí)，根據(jù)兩平行線間垂直線段最短的性質(zhì)，得,當(dāng)正方形的面積最小時(shí)，由和得，分別為的中點(diǎn)，即；當(dāng)正方形的面積最大時(shí)，等于矩形的對(duì)角線，根據(jù)勾股定理，它為5，即；
（3）求出正方形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，即可求得出發(fā)或秒時(shí)，正方形的面積為．
【小問(wèn)1詳解】
，速度為
運(yùn)動(dòng)完的時(shí)間為
故自變量的取值范圍為；
【小問(wèn)2詳解】
由圖2知，正方形的面積的最小值是9，
根據(jù)兩平行線間垂直線段最短的性質(zhì)，得；
正方形的面積最小時(shí)，由和得，
分別為的中點(diǎn)，即；
當(dāng)正方形的面積最大時(shí)，等于矩形的對(duì)角線，根據(jù)勾股定理，它為5，即；
【小問(wèn)3詳解】
過(guò)點(diǎn)作垂足為點(diǎn),則四邊形為矩形
∴，
∵
∴
在中，
∵是以為邊長(zhǎng)的正方形的面積
∴
當(dāng)時(shí)，
解得
∴出發(fā)或秒時(shí)，正方形的面積為．
六、（本大題共12 分）
23. 【特例感知】如圖1，點(diǎn) 是正方形 ABCD 對(duì)角線AC上一點(diǎn)，于點(diǎn) ，于點(diǎn)
（1）求證：四邊形是正方形．
（2） ；
【規(guī)律探究】將正方形 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)得到圖2，連接 ，，
（3） 的比值是否會(huì)發(fā)生變化? 請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】
如圖3，在圖2 的基礎(chǔ)上，，，分別是 ，，的中點(diǎn)．
（4）求證：四邊形． 是正方形．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）不變，理由見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和判定即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可；
（3）過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，再根據(jù)性質(zhì)證明是等腰直角三角形即可；
（4）根據(jù)正方形的性質(zhì)和判定即可；
【詳解】（1）四邊形是正方形，
，平分，
，，
，
,四邊形是矩形，
四邊形是正方形；
（2）由（1）得：四邊形是正方形，
四邊形是正方形，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，
，，
，
，
故答案為：；
（3）不變，理由：
四邊形是正方形，四邊形是正方形，
，，
，
，
，
過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是平行四邊形，
易得：，
，，
，即是等腰直角三角形，
，
；
（4）四邊形是正方形，理由：
由（3）得，
，
點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，
，
，
，
，
四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
3
m
1.5
1
…

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