同一平面直角坐標系中，感受圖形變換前后(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、相似等)點的坐標的變化規(guī)律．
【例1】在平面直角坐標系中，已知點O(0，0)，A(1，3)，將線段OA向右平移3個單位長度，得到線段O1A1，則點O1的坐標是__________，A1的坐標是__________．
【考點1】在坐標系中圖形變換前后，確定點的位置和坐標
【變式1】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點 A(3，4)，將OA繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°至OA′， 則點A′的坐標是________．
【考點2】在坐標系中圖形變換前后，解決有關 函數(shù)的問題
【例2】如圖，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′OB′.(1)若點A的坐標為(a，b)，則點A′的坐標為________；(2)若tan∠AOB＝ ，OB＝4，反比例函數(shù)y＝ (k≠0)經(jīng)過點A′，求k的值．
解：（1）（－b，a） （2）由（1）知A′（－2，4）， ∴k的值為－8.
【變式2】如圖，在平面直角坐標系中，A(1，0)， B(0，－1)，C(3，－2)，△DEF是由△ABC繞著某 點P旋轉(zhuǎn)得到的．(1)求點P的坐標；(2)求直線EF的解析式．
解：（1）（0，1）（2）∵E（2，1），F(xiàn)（3，4），設EF的解析式為y=kx+b，∴ 2k+b=1, 解得 k=3, 3k+b=4. b=－5.
【考點3】在坐標系中圖形變換前后，相似問題
【例3】如圖，已知拋物線y＝2x2－2與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C.(1)寫出以A，B，C為頂點的三角形面積；(2)過點D(m，0)(其中m＞1)且與x軸垂直的直線l上有一點Q(點Q在第一象限)，使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長．(用含m的代數(shù)式表示)
解：（1）∵y＝2x2－2，∴當y＝0時，2x2－2＝0，x＝±1，∴點A的坐標為(－1，0)， 點B的坐標為(1，0），AB＝2.又當x＝0時，y＝－2， ∴點C的坐標為(0,－2），OC＝2. ∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×2×2＝2.
(2)過點D(m，0)(其中m＞1)且與x軸垂直的直線l上有一點Q(點Q在第一象限)，使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長．(用含m的代數(shù)式表示)
（2）∵點B的坐標為(1，0），點C的坐標為(0，－2），∴OB＝1，OC＝2. ∵∠QDB＝∠BOC＝90°，∴以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：①OB與BD邊是對應邊時，△OBC∽△DBQ，則 ，即 ，解得DQ＝2(m－1)＝2m－2;②OB與QD邊是對應邊時，△OBC∽△DQB，則 ，即 ，解得DQ= . 綜上所述，線段QD的長為2m－2或 .
【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，將△ABO擴大到原來的2倍，得到△A′B′O，若點A的坐標是(1，2)，B的坐標是(2，1)．(1)求點A′和B′的坐標．(2)過點A的雙曲線為 ，過點A′的雙曲線為 ，求n－m的值．
解：（1）A′(－2,－4）,B′(－4,－2）. （2）由已知,得m=2. n=8. ∴n－m=6.
1．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度， Rt△ABC的三個頂點A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，得到△A1B1C，請畫 出△A1B1C的圖形，(2)平移△ABC，使點A的對應點A2坐標為(－2，－6)，請畫出平移 后對應的△A2B2C2的圖形；(3)若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉(zhuǎn) 中心的坐標．
解：（1）圖略 （2）圖略 （3）旋轉(zhuǎn)中心坐標(0，－2）
2．(1)如圖，寫出坐標系中△ABC與△A′B′C′的頂點坐標，并判斷這兩個三角形是通過怎樣的變換得到的；(2)如果點M(m＋1，n－3)與點M′(2m＋1，－7＋n)是兩個三角形中的對應點，求m，n的值．
解：（1）A(2，4），B(－2，2），C(3，1）， A′(2，－4），B′(－2，－2），C′(3，－1）. 關于x軸對稱得到.（2）由題意,得 m+1=2m+1, 解得 n＝5, n－3=－(－7+n）. m＝0
3．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x軸，將△ABC沿y軸翻折，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分別是對應頂點)，直線y＝x＋b經(jīng)過點A，C′，求點C′的坐標．
解：把A(－2,0)代入y＝x＋b, 得－2+b=0，b=2. ∴y=x+2， 當x=1時，y=1+2=3， ∴點C′的坐標為 (1，3) .
4．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC和 △A1B1C1關于點E成中心對稱．(1)畫出對稱中心E，并寫出點E，A，C的坐標；(2)P(a，b)是△ABC的邊AC上一點，△ABC經(jīng)平移后點P的對應點為P2(a＋6，b＋2)，請畫出上述平移后的△A2B2C2，并寫出點A2，C2的坐標；(3)判斷△A2B2C2和△A1B1C1的位置關系．(直接寫出結(jié)果)
解：（1）E(－3，－1），A(－3，2）， C(－2，0） （2）A2(3，4），C2(4，2）. （3）△A2B2C2與△A1B1C1 關于原點O成中心對稱.
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，(1)求證：①BE＝DG；②BE⊥DG；(2)用a和b的代數(shù)式表示DE2＋BG2.
解：（1）證明：設BE，DG交于點O，∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG. 在△BCE和△DCG中，∵BC=DC，∠BCE=∠DCG，CE=CG，∴△BCE≌△DCG(SAS）.∴BE=DG，∴∠1=∠2. ∵∠BCD=90°∵∠2+∠3=∠1+∠4=90°， ∴∠BOD=90°，∴BE⊥DG.

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