同一平面直角坐標(biāo)系中，感受圖形變換前后(平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、相似等)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．
【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，3)，將線段OA向右平移3個(gè)單位長度，得到線段O1A1，則點(diǎn)O1的坐標(biāo)是__________，A1的坐標(biāo)是__________．
【考點(diǎn)1】在坐標(biāo)系中圖形變換前后，確定點(diǎn)的位置和坐標(biāo)
【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn) A(3，4)，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至OA′， 則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是________．
【考點(diǎn)2】在坐標(biāo)系中圖形變換前后，解決有關(guān) 函數(shù)的問題
【例2】如圖，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′OB′.(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________；(2)若tan∠AOB＝ ，OB＝4，反比例函數(shù)y＝ (k≠0)經(jīng)過點(diǎn)A′，求k的值．
解：（1）（－b，a） （2）由（1）知A′（－2，4）， ∴k的值為－8.
【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，0)， B(0，－1)，C(3，－2)，△DEF是由△ABC繞著某 點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到的．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求直線EF的解析式．
解：（1）（0，1）（2）∵E（2，1），F(xiàn)（3，4），設(shè)EF的解析式為y=kx+b，∴ 2k+b=1, 解得 k=3, 3k+b=4. b=－5.
【考點(diǎn)3】在坐標(biāo)系中圖形變換前后，相似問題
【例3】如圖，已知拋物線y＝2x2－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.(1)寫出以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積；(2)過點(diǎn)D(m，0)(其中m＞1)且與x軸垂直的直線l上有一點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在第一象限)，使得以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似，求線段QD的長．(用含m的代數(shù)式表示)
解：（1）∵y＝2x2－2，∴當(dāng)y＝0時(shí)，2x2－2＝0，x＝±1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0），AB＝2.又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－2， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,－2），OC＝2. ∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×2×2＝2.
【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABO擴(kuò)大到原來的2倍，得到△A′B′O，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)，B的坐標(biāo)是(2，1)．(1)求點(diǎn)A′和B′的坐標(biāo)．(2)過點(diǎn)A的雙曲線為 ，過點(diǎn)A′的雙曲線為 ，求n－m的值．
解：（1）A′(－2,－4）,B′(－4,－2）. （2）由已知,得m=2. n=8. ∴n－m=6.
1．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度， Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，得到△A1B1C，請(qǐng)畫 出△A1B1C的圖形，(2)平移△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)為(－2，－6)，請(qǐng)畫出平移 后對(duì)應(yīng)的△A2B2C2的圖形；(3)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn) 中心的坐標(biāo)．
解：（1）圖略 （2）圖略 （3）旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)(0，－2）
2．(1)如圖，寫出坐標(biāo)系中△ABC與△A′B′C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷這兩個(gè)三角形是通過怎樣的變換得到的；(2)如果點(diǎn)M(m＋1，n－3)與點(diǎn)M′(2m＋1，－7＋n)是兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求m，n的值．
解：（1）A(2，4），B(－2，2），C(3，1）， A′(2，－4），B′(－2，－2），C′(3，－1）. 關(guān)于x軸對(duì)稱得到.（2）由題意,得 m+1=2m+1, 解得 n＝5, n－3=－(－7+n）. m＝0
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x軸，將△ABC沿y軸翻折，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))，直線y＝x＋b經(jīng)過點(diǎn)A，C′，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)．
解：把A(－2,0)代入y＝x＋b, 得－2+b=0，b=2. ∴y=x+2， 當(dāng)x=1時(shí)，y=1+2=3， ∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為 (1，3) .
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和 △A1B1C1關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱．(1)畫出對(duì)稱中心E，并寫出點(diǎn)E，A，C的坐標(biāo)；(2)P(a，b)是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，△ABC經(jīng)平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P2(a＋6，b＋2)，請(qǐng)畫出上述平移后的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2，C2的坐標(biāo)；(3)判斷△A2B2C2和△A1B1C1的位置關(guān)系．(直接寫出結(jié)果)
解：（1）E(－3，－1），A(－3，2）， C(－2，0） （2）A2(3，4），C2(4，2）. （3）△A2B2C2與△A1B1C1 關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱.
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，(1)求證：①BE＝DG；②BE⊥DG；(2)用a和b的代數(shù)式表示DE2＋BG2.
解：（1）證明：設(shè)BE，DG交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG. 在△BCE和△DCG中，∵BC=DC，∠BCE=∠DCG，CE=CG，∴△BCE≌△DCG(SAS）.∴BE=DG，∴∠1=∠2. ∵∠BCD=90°∵∠2+∠3=∠1+∠4=90°， ∴∠BOD=90°，∴BE⊥DG.

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