一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復(fù)數(shù)z=1+2i31?i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2.某校運動會，一位射擊運動員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8.則下列說法錯誤的是( )
A. 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8B. 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7
C. 這組數(shù)據(jù)的極差為4D. 這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為9
3.已知向量a,b的夾角為45°,a=1,b= 2，則2b?a=( )
A. 5B. 7C. 13D. 5
4.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為4π3的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為( )
A. 6πB. 8πC. 10πD. 12π
5.已知非零向量a，b滿足2a+b⊥2a?b，且向量a在向量b上的投影向量是 34b，則a與b的夾角是( )
A. π6B. π3C. π2D. 5π6
6.學(xué)生甲想?yún)⒓幽掣咧行Ｋ{(lán)球投籃特長生考試，測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直接進入下一輪，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預(yù)錄??；③若他在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不預(yù)錄取.已知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為34，在三分線處投籃命中率為35，假設(shè)學(xué)生甲每次投進與否互不影響.則學(xué)生甲共投籃三次就結(jié)束考試得概率為( )
A. 2780B. 3380C. 950D. 340
7.故宮角樓的屋頂是我國十字脊頂?shù)牡湫痛?，如圖1，它是由兩個完全相同的直三棱柱垂直交叉構(gòu)成，將其抽象成幾何體如圖2所示.已知三樓柱ABF?CDE和BDG?ACH是兩個完全相同的直三棱柱，側(cè)棱EF與GH互相垂直平分，EF,GH交于點I，AF=BF=a，AF⊥BF，則點G到平面ACEF的距離是( )
A. 33aB. 12aC. 22aD. 24a
8.如圖，直線l1//l2，點A是l1，l2之間的一個定點，點A到l1，l2的距離分別為 2和 6，點B是直線l2上一個動點，過點A作AC⊥AB，點E、F在線段BC上運動(包括端點)且EF=1，若△ABC的面積為2 3，則AE?AF的最小值為( )
A. 3B. 114C. 3 22D. 74
二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列關(guān)于平面向量的說法正確的是( )
A. 若a，b是共線的單位向量，則a=b
B. 若a，b是相反向量，則a=b
C. 若a+b=0，則向量a，b共線
D. 若AB//CD，則點A，B，C，D必在同一條直線上
10.如圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣，設(shè)5個盒子分別被斷開為事件A，B，C，D，E.箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是( )
A. A，B兩個盒子串聯(lián)后暢通的概率為13
B. D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為130
C. A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為56
D. 當(dāng)開關(guān)合上時，整個電路暢通的概率為2936
11.如圖，已知二面角α?l?β的棱l上有A,B兩點，C∈α,AC⊥l,D∈β,BD⊥l，且AC=AB=BD，則( )
A. 當(dāng)α⊥β時，直線CD與平面β所成角的正弦值為 33
B. 當(dāng)二面角α?l?β的大小為60°時，直線AB與CD所成角為45°
C. 若CD=2AB=2，則三棱錐A?BCD的外接球的體積為5 5π3
D. 若CD=2AB，則二面角C?BD?A的余弦值為2 77
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=i2020+i2021，則復(fù)數(shù)z= ．
13.為深入貫徹落實習(xí)近平總書記對天津工作“三個著力”重要要求，天津持續(xù)深化改革，創(chuàng)建全國文明城區(qū)，城市文明程度顯著提升，人民群眾的夢想不斷實現(xiàn).在創(chuàng)建文明城區(qū)的過程中，中央文明辦對某小區(qū)居民進行了創(chuàng)建文明城區(qū)相關(guān)知識網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，從本次問卷中隨機抽取了50名居民的問卷結(jié)果，統(tǒng)計其得分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得50份數(shù)據(jù)的得分結(jié)果分為6組：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則該小區(qū)居民得分的第70百分位數(shù)為 ．
14.《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點與相對的棱剖開，得到一個陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個鱉臑(四個面均為直角三角形的四面體).在如圖所示的塹堵ABC?A1B1C1中，BB1=BC=2 3，AB=2，AC=4，且有鱉臑C1?ABB1和鱉臑C1?ABC，現(xiàn)將鱉臑C1?ABC沿線BC1翻折，使點C與點B1重合，則鱉臑C1?ABC經(jīng)翻折后，與鱉臑C1?ABB1拼接成的幾何體的外接球的表面積是 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=2bsinA．
(1)求角B的大小．
(2)若a=3 3，c=5，求b．
16.(本小題12分)
如圖，在三棱錐A?BCD中，O,E,M分別是棱BD,BC,AC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 2．

(1)求證：EM//平面ABD；
(2)求證：AO⊥平面BCD；
(3)求異面直線AB與CD所成角的余弦值．
17.(本小題12分)
2023年為普及航天知識，某校開展了“航天知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機抽取了80名，統(tǒng)計他們的成績(滿分100分)，其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)若該中學(xué)參加這次競賽的共有3000名學(xué)生，試估計全校這次競賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)；
(2)估計參加這次競賽的學(xué)生成績的第75百分位數(shù)；
(3)若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機抽取6人，再從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為航天達(dá)人的概率．
18.(本小題12分)
如圖①所示，在Rt?ABC中，∠C=90°，D，E分別是AC，AB上的點，且DE//BC,AC=2BC=3DE=6.將?ADE沿DE折起到?A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖②所示．M是線段A1D的中點，P是A1B上的點，EP//平面A1CD．
(1)求A1PA1B的值．
(2)證明：平面BCM⊥平面A1BE．
(3)求點P到平面BCM的距離．
19.(本小題12分)
如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，BD⊥A1C，且E，F(xiàn)，H分別為線段BB1，A1B，AD的中點．
(1)證明：A1B=A1D.
(2)證明：平面EFH //平面A1CD．
(3)若AB=2A1B1，AA1=1，∠ABC=π3，當(dāng)A1B與平面A1CD所成的角最大時，求四棱臺ABCD?A1B1C1D1的體積V．
參考答案
1.D
2.D
3.A
4.A
5.A
6.B
7.B
8.B
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.2i

14.100π3
15.解：(1)由a=2bsinA，
根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，
由△ABC為銳角三角形得B=π6．
(2)因為a=3 3, c=5，
由余弦定理得b2=a2+c2?2accsB=27+25?45=7，
所以b= 7．
16.(1)
由已知得EM//AB，
又EM?平面ABD，AB?平面ABD，
因此EM//平面ABD；
(2)
連結(jié)OC

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD，
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD，
在?AOC中，由已知可得AO=1,CO= 3，而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90,即AO⊥OC，
∵BD∩OC=O,BD?平面BCD，OC?平面BCD，
∴AO⊥平面BCD；
(3)
連結(jié)OM,OE，由E為BC的中點知ME//AB,OE//DC，
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．
在?OME中，EM=12AB= 22,OE=12DC=1,
∵OM是直角?AOC斜邊AC上的中線，∴OM=12AC=1,
∴cs∠OEM=OE2+EM2?OM22OE?EM= 24,
∴異面直線AB與CD所成角的所成角的余弦值是 24．
17.解：(1)由頻率分布直方圖可知，成績在 [80,100] 內(nèi)的頻率為 0.020×10+0.010×10=0.3 ，
則估計全校這次競賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)約為 3000×0.3=900 人；
(2)由頻率分布直方圖可知，成績在 [40,50) 內(nèi)的頻率為 0.005×10=0.05 ，
成績在 [50,60) 內(nèi)的頻率為 0.015×10=0.15 ，
成績在 [60,70) 內(nèi)的頻率為 0.020×10=0.2 ，
成績在 [70,80) 內(nèi)的頻率為 0.030×10=0.3 ，
成績在 [80,90) 內(nèi)的頻率為 0.020×10=0.2 ，
所以成績在 80 分以下的學(xué)生所占的比例為 0.05+0.15+0.2+0.3=70% ，
成績在 90 分以下的學(xué)生所占的比例為 0.05+0.15+0.2+0.3+0.2=90% ，
所以成績的75%分位數(shù)一定在 [80,90) 內(nèi)，即為80+10×0.75?，
因此估計參加這次競賽的學(xué)生成績的75百分位數(shù)為82.5；
(3)因為 6×0.30.3+0.2+0.1=3 ， 6×0.20.3+0.2+0.1=2 ， 6×0.10.3+0.2+0.1=1 ，
所以從成績在[70,80),[80,90)，[90,100]內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了3人，2人，1人，
其中有3人為航天達(dá)人，設(shè)為a,b,c，有3人不是航天達(dá)人，設(shè)為d,e,f，
則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，
(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)共15種，
其中2人均為航天達(dá)人為 a,b,a,c,b,c 共3種，
所以被選中的2人均為航天達(dá)人的概率為315=15．
18.(1)
令平面PED交棱A1C于點N，連接PN,DN，由DE//BC，BC?平面A1BC，DE?平面A1BC，
則DE//平面A1BC，而平面PED∩平面A1BC=PN，DE?平面PED，于是PN//DE，
又EP//平面A1CD，平面PED∩平面A1CD=DN，EP?平面PED，于是EP//DN，
因此四邊形DEPN是平行四邊形，PN=DE，而BC=3,DE=2，PN//BC，
所以A1PA1B=PNBC=23．
(2)
在圖①的Rt?ABC中，由DE//BC,AC=2BC=3DE=6，得AD=4,CD=2，
于是A1D=4,CD=2，而A1C⊥CD，則A1C= A1D2?CD2=2 3，∠CA1D=30°，
又M是線段A1D的中點，則MC=MA1，∠A1CM=∠CA1D=30°，
由(1)得A1NA1C=NPBC=23，則A1N=4 33,CN=2 33，tan∠CND=CDCN= 3，
則有∠CND=60°，∠CND+∠NCM=90°，因此DN⊥CM，
顯然DE⊥CD,DE⊥A1D，CD∩A1D=D,CD,A1D?平面A1CD，則DE⊥平面A1CD，
而DE//BC，因此BC⊥平面A1CD，又DN?平面A1CD，則DN⊥BC，
又BC∩CM=C,BC,CM?平面BCM，從而DN⊥平面BCM，又EP//DN，
則EP⊥平面BCM，而EP?平面A1BE，
所以平面BCM⊥平面A1BE．
(3)
由(1)知PN//BC，又BC?平面BCM，PN?平面BCM，則PN//平面BCM，
即點P到平面BCM的距離等于點N到平面BCM的距離?=CNsin30°=12×2 33= 33，
所以點P到平面BCM的距離為 33．
19.(1)證明：如圖，連接AC，與BD交于點O．
因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD．
又因為BD⊥A1C，AA1∩A1C=A1，AA1、A1C?平面AA1C，
所以BD⊥平面AA1C，
因為AC?平面AA1C，所以AC⊥BD．
因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以四邊形ABCD是菱形，則AB=AD．
因為AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，
所以A1B2=A1A2+AB2
=A1A2+AD2=A1D2，即A1B=A1D；
(2)證明：延長EF交AA1于點M，連接MH，
由中位線性質(zhì)可得EF/?/A1B1，
因為A1B1//AB//CD，所以EF/?/CD．
因為EF?平面A1CD，CD?平面A1CD，所以EF//平面A1CD，
易得M為AA1的中點，則MH//A1D.
因為MH?平面A1CD，A1D?平面A1CD，所以MH/?/平面A1CD，
因為EF∩MH=M，EF、MH?平面EFH，
所以平面EFH/?/平面A1CD；
(3)解：設(shè)AB=m，m>0，因為∠ABC=π3，
所以AC=BC=AB=AD=m，
則A1B= m2+1，A1D=A1C= m2+1，
所以△A1CD為等腰三角形，
故S△A1CD=12?m? m2+1?14m2=12 34m4+m2，
設(shè)點B到平面A1CD的距離為d，A1B與平面A1CD所成的角為α，
則sinα=dA1B=d m2+1，
因為VA1?BCD=13?AA1?S△BCD
=13S△BCD=13× 34m2= 312m2，
VB?A1CD=13?d?S△A1CD=13?d?12 34m4+m2，
所以13?d?12 34m4+m2= 312m2，
解得d= 3m 3m2+4，
所以sinα= 3m 3m2+4 m2+1= 3 3m2+4m2+7
≤ 3 2 12+7= 32+ 3=2 3?3，
當(dāng)且僅當(dāng)m4=43，即m2=2 33時，等號成立，此時A1B與平面A1CD所成的角最大．
故此時ABCD?A1B1C1D1的體積
V=13×1×(2× 34m2+2×14× 34m2
+ 2× 34m2×2×14× 34m2)
=13( 32×2 33+12× 34×2 33+ 32×2 33×12× 34×2 33)=712．

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