1.2023年10月8日，第19屆亞運會閉幕式在杭州奧體中心體育場舉行，下面是四屆亞運會的會徽，其中圖案(除放射16道光芒的紅日和文字外)是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.人體中樞神經系統(tǒng)中約含有1千億個神經元，某種神經元的直徑約為0.000052m.將數據0.000052用科學記數法表示為( )
A. 5.2×10?5B. 5.2×10?6C. 0.52×10?4D. 52×10?6
3.下列運算正確的是( )
A. 3a+2a=5a2B. ?8a2÷4a=2aC. (?2a2)3=?8a6D. 4a3?3a2=12a6
4.若多項式9x2?mx+4是一個完全平方式，則m的值為( )
A. 12B. ±12C. 6D. ±6
5.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點D，E，再分別以點D、E為圓心，大于12DE為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若BG=1，AC=4，則△ACG的面積是( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
6.如圖，AE，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=36°，∠C=76°，則∠DAE的度數為( )
A. 40°B. 20°C. 18°D. 38°
7.如圖，在△ABC中，AB=AC，點M在CA的延長線上，MN⊥BC于點N，交AB于點O，若AO=3，BO=4，則MC的長度為( )
A. 12
B. 9
C. 10
D. 11
8.某機床廠原計劃在一定期限內生產240套機床，在實際生產中通過改進技術，結果每天比原計劃多生產4套，并且提前5天完成任務．設原計劃每天生產x套機床，根據題意，下列方程正確的是( )
A. 240x+5=240x+4B. 240x?5=240x+4C. 240x+5=240x?4D. 240x?5=240x?4
9.如圖，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于點P，已知△ABC的面積為12cm2，則陰影部分的面積為( )
A. 6cm2
B. 8cm2
C. 10cm2
D. 12cm2
10.如圖，∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，依此類推，若OA1=1，則△A2016B2016A2017的邊長為( )
A. 2016B. 4032C. 22016D. 22015
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.若m?22=24，則m=______.
12.代數式x2?x+3的值為5，則代數式2x2?2x+4值為______.
13.若分式|x|?1x?1的值為0，則x=______.
14.一個正多邊形的邊長為2，每個內角為135°，則這個多邊形的周長是______.
15.如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm，延長BC到點E，使CE=1cm，連接DE，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，當△PBC和△DCE全等時，t的值為______.
16.如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD=CD，E是邊AC上的點，DE//AB，與BC交于點F.下面四個結論：①連結AD，則AD垂直平分線段BC；②△CEF是等邊三角形；③若AB=8，CE=2，則CF=4；④若∠CBD=40°，則∠EDC=10°，其中所有正確結論的序號是______.
三、解答題：本題共6小題，共52分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
(1)解方程：1?13x?1=56x?2；
(2)先化簡(x2x+3?x+3)÷x2?9x2+6x+9，再從?3，0，3中選擇合適的x值代入求值.
18.(本小題6分)
如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為(2,4).
(1)畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
(2)求△A1B1C1的面積；
(3)在x軸上找一點P，使PB+PC的和最小.(標出點P即可，不用求點P的坐標)
19.(本小題7分)
如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖②的方法拼成一個邊長為(2a+2b)的正方形.
(1)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積.
方法1：______；方法2：______.
(2)觀察圖②，直接寫出(a+b)2，(a?b)2，ab三個代數式之間的等量關系；
(3)根據(2)中你發(fā)現(xiàn)的等量關系，解決如下問題：若m+2n=8，mn=72，求m?2n的值.
20.(本小題8分)
已知：如圖，點D是△ABC的邊AC上的一點，過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F為垂足，再過點D作DG//AB，交BC于點G，且DE=DF.
(1)求證：DG=BG；
(2)當D點是AC邊的中點時，求證：BD⊥AC.
21.(本小題10分)
某服裝店購進一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數是乙種款型件數的1.5倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元．
(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件？
(2)商店進價提高60%標價銷售，銷售一段時間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定對乙款型按標價的五折降價銷售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？
22.(本小題11分)
(1)問題發(fā)現(xiàn)：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分別連接BD，CE.求證：BD=CE.
(2)類比探究：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上.請判斷線段BD與CE存在怎樣的數量關系及位置關系，并說明理由.
(3)問題解決：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，若AE=7，BE=2，請直接寫出四邊形ABEC的面積.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B、C、D中的圖形不是軸對稱圖形，故B、C、D不符合題意；
A中的圖形是軸對稱圖形，故A符合題意．
故選：A.
如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，由此即可判斷．
本題考查軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義．
2.【答案】A
【解析】解：0.000052=5.2×10?5；
故選：A.
由科學記數法a×10n中a與n的意義即可得答案．
本題考查科學記數法；熟練掌握科學記數法a×10n中a與n的意義是解題的關鍵．
3.【答案】C
【解析】解：A、3a+2a=5a，故此選項錯誤；
B、?8a2÷4a=?2a，故此選項錯誤；
C、(?2a2)3=?8a6，正確；
D、4a3?3a2=12a5，故此選項錯誤；
故選：C.
直接利用合并同類項法則以及冪的乘方和積的乘方運算法則、整式的乘除運算法則分別計算得出答案．
此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
4.【答案】B
【解析】解：∵9x2?mx+4是一個完全平方式，
∴?m=±12，
∴m=±12.
故選：B.
利用完全平方公式的結構特征解答即可．
此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線).也考查了角平分線的性質．
利用基本作圖得到AG平分∠BAC，利用角平分線的性質得到G點到AC的距離為1，然后根據三角形面積公式計算△ACG的面積．
【解答】
解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G點到AC的距離等于BG的長，即G點到AC的距離為1，
所以△ACG的面積=12×4×1=2.
故選：C.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了三角形內角和定理和三角形外角性質，△ABC中已知∠B=36°，∠C=76°，就可知道∠BAC的度數，則∠BAD就可求出；利用三角形外角性質求出∠ADE，∠DAE是直角三角形ADE的一個內角，則∠DAE=90°?∠ADE.
【解答】
解：∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76°，
∴∠BAC=180°?∠B?∠C=68°，
∵AE，AD分別是△ABC的高和角平分線，
∴∠BAD=∠DAC=34°，∠AED=90°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=90°?∠ADE=20°.
故選B.
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC=∠MNB=90°，
∴∠B+∠BON=90°，∠C+∠M=90°，
∴∠M=∠BON，
∵∠BON=∠MOA，
∴∠M=∠MOA，
∴AM=AO=3，
∵BO=4，
∴AB=AC=AO+BO=7，
∴MC=AM+AC=10，
故選：C.
根據等腰三角形的性質可得∠B=∠C，再根據垂直定義可得∠MNC=∠MNB=90°，從而可得∠B+∠BON=90°，∠C+∠M=90°，然后利用等角的余角相等可得∠M=∠BON，再根據對頂角相等可得∠BON=∠MOA，從而可得∠M=∠MOA，進而可得AM=AO=3，最后利用線段的和差關系，進行計算即可解答．
本題考查了等腰三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．
8.【答案】B
【解析】解：實際用的時間為：240x+4，
原計劃用的時間為：240x，
則方程可表示為：240x?5=240x+4.
故選B.
關鍵描述語為：提前5天完成任務．等量關系為：原計劃用的時間?5=實際用的時間．
找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．用到的等量關系為：工作時間=工作總量÷工作效率．
9.【答案】A
【解析】解：延長AP交BC于D，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠DCP，
∵AP⊥CP，
∴∠APC=∠DPC=90°，
在△ACP與△DCP中，
∠ACP=∠DCPCP=CP∠APC=∠DPC，
∴△ACP≌△DCP(ASA)，
∴AP=DP，
∴S△ABP=12S△ABD，S△ACP=12S△ACD，
∴陰影部分的面積=12S△ABC=12×12=6(cm2)，
故選：A.
延長AP交BC于D，根據角平分線的定義得到∠ACP=∠DCP，由垂直的定義得到∠APC=∠DPC=90°，根據全等三角形的性質得到AP=DP，于是得到結論．
本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本題主要考查等邊三角形的性質和含30°角的直角三角形的性質，根據條件找到等邊三角形的邊長和OA1的關系是解題的關鍵．根據等邊三角形的性質和∠MON=30°，可求得∠OB1A2=90°，可求得OA2=2OA1=2，同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn?1=…=2n?1OA2=2nOA1=2n，再結合含30°角的直角三角形的性質可求得△AnBnAn+1的邊長，于是可得出答案．
【解答】
解：∵△A1B1A2為等邊三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A2=90°，可求得OA2=2OA1=2，
同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn?1=…=2n?1OA2=2nOA1=2n，
在△OBnAn+1中，∠O=30°，∠BnAn+1O=60°，
∴∠OBnAn+1=90°，
∴BnAn+1=12OAn+1=12×2n=2n?1，
即△AnBnAn+1的邊長為2n?1，
∴△A2016B2016A2017的邊長為22016?1=22015，
故選D.
11.【答案】4
【解析】解：∵m?22=24，
∴m=22=4.
故答案為：4.
利用同底數冪的乘法的法則進行求解即可．
本題主要考查同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
12.【答案】8
【解析】解：∵x2?x+3=5，
∴2x2?2x+4
=2(x2?x+3)?2
=2×5?2
=10?2
=8
故答案為：8.
首先把2x2?2x+4化成2(x2?x+3)?2，然后把x2?x+3=5代入，求出算式的值是多少即可．
此題主要考查了代數式求值問題，要熟練掌握，求代數式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結以下三種：①已知條件不化簡，所給代數式化簡；②已知條件化簡，所給代數式不化簡；③已知條件和所給代數式都要化簡．
13.【答案】?1
【解析】解：∵分式|x|?1x?1的值為0，
∴|x|?1=0且x?1≠0，
解得：x=?1.
故答案為：?1.
直接利用分式的值為零，則分子為零，分母不為零，進而得出答案．
此題主要考查了分式的值為零的條件，正確掌握相關定義是解題關鍵．
14.【答案】16
【解析】解：∵正多邊形的每個內角為135°，
∴每個外角是180°?135°=45°，
∵多邊形的邊數為：360÷45=8，
則這個多邊形是八邊形，
∴這個多邊形的周長=2×8=16，
故答案為：16.
一個正多邊形的每個內角都相等，根據內角與外角互為鄰補角，因而就可以求出外角的度數，根據任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數就可以求出外角和中外角的個數，求得多邊形的邊數，即可得到結論．
本題考查了多邊形內角與外角：n邊形的內角和為(n?2)×180°；n邊形的外角和為360°.
15.【答案】2或7
【解析】分點P在AB和CD上兩種情況討論即可．
解：∵△DCE是直角三角形，
∴△PBC為直角三角形，
∴點P只能在AB上或者CD上，
①當點P在AB上時，△PBC≌△ECD，有BP=CE，
∴BP=CE=1，
∴AP=AB?BP=3?1=2，
∴t=2÷1=2，
②當點P在CD上時，△PBC≌△EDC，有CP=CE=1，
∴t=(3+3+1)÷1=7，
故答案為：2或7.
本題主要考查三角形全等的判定，關鍵是要考慮到點P的兩種情況，牢記三角形全等的性質．
16.【答案】①②
【解析】解：如圖，連接AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=∠ECF=60°，
∵BD=CD，
∴點A、D都在線段BC的垂直平分線上，
∴AD垂直平分線段BC；故①正確；
∵DE//AB，
∴∠ABC=∠EFC=60°，∠CEF=∠CAB=60°，
∴△CEF是等邊三角形，故②正確；
∵△CEF是等邊三角形，CE=2，
∴CF=2，故③錯誤，
∵BD=CD，∠CBD=40°，
∴∠DCB=∠DBC=40°，
∵∠EFC=60°，
∴∠CDE=∠EFC?∠DCB=60°?40°=20°，故④錯誤；
故答案為：①②．
由等邊三角形的性質、等腰三角形的判定與性質以及平行線的性質分別對各個結論進行判斷即可．
本題考查了等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、平行線的性質、三角形的外角性質等知識，熟練掌握等邊三角形的性質和等腰三角形的性質是解題的關鍵．
17.【答案】解：(1)解方程：1?13x?1=56x?2，
1?13x?1=52(3x?1)，
2(3x?1)?2=5，
6x?2?2=5，
6x=9，
x=32.
檢驗：當x=32時，6x?2≠0，
所以，原分式方程的根為x=32；
(2)原式=(x2x+3?x2?9x+3)+((x+3)(x?3)(x+3)2
=9x+3×x+3x?3
=9x?3.
∵x=±3時，原分式無意義．
∴x只能為0，當x=0時，原式=?3.
【解析】(1)去分母轉化為整式方程求解；
(2)先通分算括號內的，再算加法，化簡后將有意義的x的值代入計算即可．
本題考查分式化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的基本性質，把所求式子化簡．
18.【答案】解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求；
(2)△A1B1C1的面積=2×4?12×1×3?12×1×2?12×1×4=3.5；
(3)如圖，點P即為所求．

【解析】(1)利用軸對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
(2)把三角形的面積考查矩形的面積截取周圍的三個三角形面積即可；
(3)作點B關于x軸的對稱點B′，連接CB′交x軸于點P，連接PB，點P即為所求．
本題考查作圖-軸對稱變換，軸對稱最短問題，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考常考題型．
19.【答案】(a?b)2 (a+b)2?4ab
【解析】解：(1)方法一：由圖可知，陰影部分是一個邊長為(a?b)的正方形，則其面積為(a?b)2；
方法二：由圖可知，陰影部分的面積可以看作是邊長為a+b的正方形面積減去周圍4個長方形的面積，
∴陰影部分面積為：(a+b)2?4ab；
故答案為：(a?b)2，(a+b)2?4ab；
(2)圖②中兩種方法表示的陰影部分面積相等，則(a?b)2=(a+b)2?4ab；
(3)由mn=72得：m?2n=7，
∴(m?2n)2=(m+2n)2?4m?2n=82?4x7=36
∴m?2n=±6.
(1)方法一：直接計算陰影部分面積；方法二：用大正方形面積減去四個長方形的面積；
(2)利用圖②中兩個陰暗部分面積相等即可得到三個代數式的等量關系；
(3)把mn=72變形為m?2n=7，則利用(2)中的等量關系即可求解．
本題考查了完全平方公式的幾何背景，以及兩個公式之間的關系，從整體與局部兩種情況分析并寫出面積的表達式是解題的關鍵．
20.【答案】(1)證明：連接BD.
∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，∴
∠ABD=∠DBC，
又∵DG//AB，
∴∠ABD=∠BDG，
∴∠BDG=∠DBC，
∴DG=BG；
(2)證明：由(1)∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB，
在△BDE與△BDF中，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，
∴△BDE≌△BDF，
∴BE=BF，DE=DF，
在△ADE與△CDF中，
∵AD=CD，ED=FD，∠AED=∠CFD=90°，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴AB=CB，
又D為AC的中點，
∴BD垂直平分AC.
【解析】(1)連接BD，先根據DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF可知∠ABD=∠DBC，再根據DG//AB，即可得出∠ABD=∠BDG，進而可得出∠BDG=∠DBC，由等角對等邊可知DG=BG；
(2)先根據(1)中∠ABD=∠DBC可知∠EDB=∠FDB，由全等三角形的判定定理可得出△BDE≌△BDF，再根據全等三角形的性質可得出BE=BF，DE=DF，同理證明△ADE≌△CDF，得出AE=CF，推出AB=CB，由等腰三角形三線合一即可得出．
本題考查的是線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定及性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．
21.【答案】解：(1)設乙種款型的T恤衫購進x件，則甲種款型的T恤衫購進1.5x件，依題意有
78001.5x+30=6400x，
解得x=40，
經檢驗，x=40是原方程組的解，且符合題意，
1.5x=60.
答：甲種款型的T恤衫購進60件，乙種款型的T恤衫購進40件；
(2)6400x=160，
160?30=130(元)，
130×60%×60+160×60%×(40÷2)?160×[1?(1+60%)×0.5]×(40÷2)
=4680+1920?640
=5960(元)
答：售完這批T恤衫商店共獲利5960元．
【解析】(1)可設乙種款型的T恤衫購進x件，則甲種款型的T恤衫購進1.5x件，根據甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元，列出方程即可求解；
(2)先求出甲款型的利潤，乙款型前面銷售一半的利潤，后面銷售一半的虧損，再相加即可求解．
本題考查了列分式方程解實際問題的運用，分式方程的解法的運用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
22.【答案】(1)證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC?∠CAD=∠DAE=∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：BD與CE的數量關系是BD=CE，位置關系是BD⊥CE；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，
∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴BD⊥CE；
(3)解：同(2)可得，△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE=2，
∵AE=7，
∴DE=AE?AD=7?2=5，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME=12DE=52，
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM=52，
∴AM=AD+DM=2+52=92，
∴AC= AM2+CM2= (92)2+(52)2= 1062=BC，
∴S△ABC=12AC?BC=12× 1062× 1062=534，
∵S△BCE=S△ACD=12AD?CM=12×2×52=52，
∴S四邊形ABEC=S△ABC+S△BCE=534+52=634，
∴四邊形ABEC的面積為634.
【解析】(1)由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，即可證△ABD≌△ACE(SAS)，從而BD=CE；
(2)由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可證△ABD≌△ACE(SAS)，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE；
(3)同(2)得，△ACD≌△BCE(SAS)，故AD=BE=2，DE=AE?AD=7?2=5，因CM⊥DE，有DM=ME=CM=52，求出AM=AD+DM=2+52=92，AC= AM2+CM2= 1062=BC，即得S△ABC=12AC?BC=12× 1062× 1062=534，又S△BCE=S△ACD=12AD?CM=12×2×52=52，可得S四邊形ABEC=S△ABC+S△BCE=534+52=634.
本題考查四邊形綜合應用，涉及全等三角形判定與性質，等腰直角三角形性質及應用，三角形面積公式等，解題的關鍵是掌握全等三角形判定定理．

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