最新高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講 專題34 立體幾何解答題中的體積求解策略

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高考數(shù)學(xué)題中容易題、中等題、難題的比重為3:5:2，即基礎(chǔ)題占80%，難題占20%。
無(wú)論是一輪、二輪，還是三輪復(fù)習(xí)都把“三基”即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法作為重中之重，死握一些難題的做法非常危險(xiǎn)！也只有“三基”過(guò)關(guān)，才有能力去做難題。
二、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，是在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，把大量的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等陳述性知識(shí)，讓學(xué)生在主動(dòng)參與、積極構(gòu)建的基礎(chǔ)上，形成越來(lái)越有層次的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生體驗(yàn)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，形成解決問(wèn)題的產(chǎn)生方式，因此，在高考復(fù)習(xí)中，在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，把握縱橫聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在加強(qiáng)各知識(shí)塊的聯(lián)系之后，抓主干知識(shí)，理清框架。
三、注重通性通法
近幾年的高考題都注重對(duì)通性通法的考查，這樣避開(kāi)了過(guò)死、過(guò)繁和過(guò)偏的題目，解題思路不依賴特殊技巧，思維方向多、解題途徑多、方法活、注重發(fā)散思維的考查。在復(fù)習(xí)中千萬(wàn)不要過(guò)多“玩技巧”，過(guò)多的用技巧，會(huì)使成績(jī)好的學(xué)生“走火入魔”，成績(jī)差的學(xué)生“信心盡失”。
四、提高運(yùn)算能力
運(yùn)算能力是最基礎(chǔ)的能力。由于高三復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，老師和學(xué)生都不重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)，一個(gè)問(wèn)題，看一看知道怎樣解就行了。這是我們高三學(xué)生運(yùn)算能力差的直接原因。其實(shí)，運(yùn)算的合理性、正確性、簡(jiǎn)捷性、時(shí)效性對(duì)學(xué)生考試成績(jī)的好壞起到至關(guān)重要的作用。因此，運(yùn)算能力要進(jìn)一步加強(qiáng)，讓學(xué)生自己體悟運(yùn)算的重要性和書寫的規(guī)范性。同時(shí)，在運(yùn)算中不斷地反思自己解題過(guò)程的合理性，轉(zhuǎn)化的等價(jià)性等等。
專題34 立體幾何解答題中的體積求解策略
【高考地位】
立體幾何是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重點(diǎn)，解答題中體積的求法也是重點(diǎn)考查的知識(shí)，其求解的策略主要有兩種方法：其一針對(duì)三棱錐的換頂點(diǎn)的思路，其二是對(duì)于多面體求體積可用切割法.
方法一 換頂點(diǎn)法
例1【廣西北海市2021屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面平面，為等邊三角形，且，、分別為棱、的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求三棱錐的體積.
【變式演練1】【四川省瀘州市2020屆高三數(shù)學(xué)臨考沖刺模擬試卷（文科）（四模）】如圖，在多面體中，側(cè)面是平行四邊形，底面是等腰梯形，，，，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰為點(diǎn).
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，求四面體的體積.
【變式演練2】【河南省名校聯(lián)考2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD，過(guò)AD的平面與PC，PB分別交于點(diǎn)M，N，連接MN.
（1）證明：BC//MN；
（2）已知PA=AD=AB=2BC，平面ADMN⊥平面PBC，求的值.
方法二 切割法
例2、【安徽省皖豫名校聯(lián)盟體2021屆高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）】如圖，已知四邊形為等腰梯形，，，四邊形為矩形，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．


（1）探究：是否存在點(diǎn)，使得平面平面？并證明；
（2）若，線段在平面內(nèi)的投影與線段重合，求多面體的體積．
例3、《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體ABCDEF，其中，“羨除”形似“楔體”．“廣”是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長(zhǎng)a，b，c、“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離m、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離n（如圖）．已知，，，，，則此“羨除”的體積為（ ）

A．2B．3C．D．
【來(lái)源】安徽省合肥一六八中學(xué)2021屆高三下學(xué)期最后一卷理科數(shù)學(xué)試題
【變式演練3】【云南省昆明市第一中學(xué)2021屆高三高中新課標(biāo)第一次摸底測(cè)試】如圖，在六面體ABCDEF中，AB//CD，AB⊥AD，且AB =AD =CD= 1，四邊形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
（1）證明:平面BCE⊥平面BDE;
（2）求六面體ABCDEF的體積.
【變式演練4】【四川省內(nèi)江市2020屆高三下學(xué)期第三次模擬考試】如圖，在直棱柱中，，，，，.
（1）證明：面面；
（2）求多面體的體積.
【高考再現(xiàn)】
1．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)19】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面⊥平面；
（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．
2.【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)20】如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．過(guò)和的平面交于，交于．
（1）證明：//，且平面平面；
（2）設(shè)為的中心，若，//平面，且，求四棱錐的體積．
3．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，文19）圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2．
（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；
（2）求圖2中的四邊形的面積．
4.（2017?新課標(biāo)Ⅰ，文18）如圖，在四棱錐中，，且．
（1）證明：平面平面；
（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．
5.（2019?新課標(biāo)Ⅱ，文17）如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，．
（1）證明：平面；
（2）若，，求四棱錐的體積．
【反饋練習(xí)】
1．取兩個(gè)相互平行且全等的正邊形，將其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“角反棱柱”.當(dāng)時(shí)，得到如圖所示棱長(zhǎng)均為2的“六角反棱柱”，則該“六角反棱柱”外接球的表面積等于（ ）
A．B．C．D．
【來(lái)源】普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)押題卷（四）
2．三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號(hào)坑發(fā)現(xiàn)了玉琮，玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對(duì)稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長(zhǎng)，外徑長(zhǎng)，筒高，中部為棱長(zhǎng)是的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則該玉琮的體積為（ ）

A．B．C．D．
【來(lái)源】河南省2021屆高三仿真模擬考試（二）數(shù)學(xué)（文）試題
3．以三棱柱上底所在平面某一點(diǎn)為對(duì)稱中心，將上底圖形旋轉(zhuǎn)180°后，再將上?下底頂點(diǎn)連接形成空間幾何體稱為“扭反三棱柱”.如圖所示的“扭反三棱柱”上?下底為全等的等腰三角形，且頂點(diǎn)A，B，C，A1，B1，C1均在球O的球面上，AB=AC=A1B1=A1C1=m，截面BCB1C1是矩形，BC=2，B1C=4.則該幾何體的外接球表面積為_(kāi)_________，當(dāng)該幾何體體積最大時(shí)m=__________.
【來(lái)源】重慶市第八中學(xué)2021屆高三下學(xué)期適應(yīng)性月考卷（七）數(shù)學(xué)試題
4．美麗的廣州塔，以其窈窕的身姿被廣州人民親昵地稱為“小蠻腰”，它的整體輪廓可以看成是雙曲線的一部分繞虛軸旋轉(zhuǎn)得到的．以下是研究廣州塔的一個(gè)數(shù)學(xué)題型：將曲線與軸、圍成的部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一旋轉(zhuǎn)體，直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面圓的面積為_(kāi)_____．根據(jù)祖暅原理，構(gòu)造適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)或多個(gè)幾何體，求出此旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)_____．
（提示：祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等）
【來(lái)源】2021年普通學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試新高考超級(jí)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
5．我國(guó)古代的帝王曾經(jīng)熱衷于玩一種名叫“六博”的游戲.玩游戲時(shí)需要使用一種類似于現(xiàn)代的骰子的名叫“煢”的物品.考古發(fā)現(xiàn)最早的“煢”為一個(gè)十四面體，可由一個(gè)正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去三棱錐（共八個(gè)）得到.若“煢”的棱長(zhǎng)為，則這枚“煢”的體積為_(kāi)_____.
【來(lái)源】浙江省杭州市桐廬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期暑期階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題
6．端午節(jié)是中國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日，“咸蛋黃”口味的粽子也越來(lái)越受人們的喜愛(ài)，高三年級(jí)各班進(jìn)行了包粽子大賽，我們把粽子的形狀近似為一個(gè)正四面體，蛋黃近似為一個(gè)球體，當(dāng)這個(gè)球體與正四面體的六條棱都相切時(shí)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)，若某小組獲得了獎(jiǎng)勵(lì)，他們包的粽子棱長(zhǎng)為3，則放入粽子的蛋黃的表面積等于______．
【來(lái)源】重慶市巴蜀中學(xué)2021屆高三適應(yīng)性（九）數(shù)學(xué)試題
7．如圖，的正方形紙片，剪去對(duì)角的兩個(gè)的小正方形，然后沿虛線折起，分別粘合AB與AH，ED與EF，CB與CD，GF與GH，得到一幾何體Ω，記Ω上的棱AC與EG的夾角為a，則下列說(shuō)法正確的是___________.
①幾何體Ω中，CG⊥AE；
②幾何體Ω是六面體；
③幾何體Ω的體積為；
④.
【來(lái)源】浙江省金華市2021屆高三下學(xué)期5月高考仿真模擬數(shù)學(xué)試題
8．如圖甲是一水晶飾品，名字叫梅爾卡巴，其對(duì)應(yīng)的幾何體叫星形八面體，也叫八角星體，是一種二復(fù)合四面體，它是由兩個(gè)有共同中心的正四面體交叉組合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如圖乙所示．若一星形八面體中兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)均為2，則該星形八面體的體積為_(kāi)_____．
【來(lái)源】重慶市第八中學(xué)2021屆高三下學(xué)期模擬（八）數(shù)學(xué)試題
9．【江西省南昌二中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文科）】已知四棱臺(tái)的下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，且面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，與面所成角的正切值為2.
（1）證明：面；
（2）求證：面，并求三棱錐的體積.
10．【江西省南昌市第十中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試】如圖，四棱錐的底面是菱形，，平面，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求四棱錐的側(cè)面積.
11.【重慶市九龍坡區(qū)2020屆高三第三次質(zhì)量調(diào)研】如圖所示，菱形ABCD與正△BCE所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且AB＝2，F(xiàn)D＝．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若BD＝2，求幾何體EFABCD的體積．
12．【陜西省渭南市韓城市2020屆高三（6月份）高考數(shù)學(xué)（文科）模擬】如圖，在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通過(guò)△AOB以直線OA為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到（即∠BOC＝120°），點(diǎn)M為線段BC上一點(diǎn)，且MB＝．
（Ⅰ）求證：OA⊥OM；
（Ⅱ）若D是線段AB的中點(diǎn)，求四棱錐O﹣ACMD的體積．
13．【四川省德陽(yáng)市2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文科）三診】如圖所示，四棱柱的側(cè)棱與底面垂直，底面是菱形，四棱錐的頂點(diǎn)在平面上的投影恰為四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，四棱錐和四棱柱的高相等．
（1）證明：平面；
（2）若，求幾何體的體積．
14．【河南省焦作市2020—2021學(xué)年高三年級(jí)第一次模擬考試】如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）若，是面積為的等邊三角形，求四棱錐的體積.
15．【陜西省西安市高新一中2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱 的中點(diǎn)，直線AF與DH交于點(diǎn)P，直線BE與CG交于點(diǎn)S.
（1）求證：直線平面ABCD；
（2）求四棱錐B-PDCS的體積.
16．【河南省許昌市、濟(jì)源市、平頂山市2020屆高三數(shù)學(xué)（文科）第三次質(zhì)檢】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，.
（1）求證：；
（2）若，三棱錐的體積為1，求線段的長(zhǎng)度.
17.【四川省武勝烈面中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三9月月考】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點(diǎn)為線段上異于A，B的點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接，.
（1）求證：平面平面；
（2）若三棱錐的體積為，求的長(zhǎng).
18．【貴州省遵義市2021屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文科】如圖1，等腰梯形，．沿折起得到四棱錐（如圖2），G是的中點(diǎn)．

（1）求證平面；
（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求三棱錐的體積．
19．如圖，平面四邊形，其中．將沿折起，使P在面上的投影即為在線段上，且，為中點(diǎn)，過(guò)作平面，使平行于平面，且平面與直線分別交于D、E，與交于G．
（1）求的值；
（2）求多面體的體積．
【來(lái)源】安徽省合肥一六八中學(xué)2021屆高三下學(xué)期最后一卷文科數(shù)學(xué)試題
萬(wàn)能模板
內(nèi) 容
使用場(chǎng)景
三棱錐體積的求解
解題模板
第一步 觀察三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)；
第二步 找到易求高的頂點(diǎn)的三棱錐，有時(shí)需要等價(jià)轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)，如平行轉(zhuǎn)化，相似，
全等轉(zhuǎn)化；
第三步 根據(jù)公式求解結(jié)果.
萬(wàn)能模板
內(nèi) 容
使用場(chǎng)景
多面體體積的求解
解題模板
第一步 觀察幾何體特征，多面體切割成其他錐體或者補(bǔ)起來(lái)；
第二步 分別求出組成的幾何體的體積；
第三步 根據(jù)公式求解結(jié)果.