2、學會運用數(shù)形結合思想。數(shù)形結合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學思想。
3、要學會搶得分點。一道中考數(shù)學壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道題目解題思路轉化為得分點。
4、學會運用等價轉換思想。在研究數(shù)學問題時，我們通常是將未知問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將實際問題轉化為數(shù)學問題。
5、學會運用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉化思想:體現(xiàn)在數(shù)學上也就是要把難的問題轉化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，把未知的問題轉化為已知的問題。
重難點突破09 相似三角形8種模型
（A字、8字、射影定理、一線三等角、線束模型、三角形內(nèi)接矩形、三平行模型、手拉手模型）
目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156654683" 題型01 A字模型
\l "_Tc156654684" 題型02 8字模型
\l "_Tc156654685" 題型03 射影定理
\l "_Tc156654686" 題型04 一線三等角模型
\l "_Tc156654687" 題型05 線束模型
\l "_Tc156654688" 題型06 三角形內(nèi)接矩形模型
\l "_Tc156654689" 題型07 三平行模型
\l "_Tc156654690" 題型08 手拉手模型（旋轉模型）
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．
2）兩個三角形相似的判定定理：
①三邊成比例的兩個三角形相似；
②兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
③兩角分別相等的兩個三角形相似．
④斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似.
題型01 A字模型
1．（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點，點E在BC上，連接CD，AE交于點F，若∠CFE=45°，BD=2AD，則CE＝ ．
2．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片，點E在AB邊上，把△BCE沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點F處，連接DF．若點E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2，則DF＝ ，BE＝ ．
3．（2020·山東濟寧·中考真題）如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D．AC與BD相交于點E，CD2=CE·CA,分別延長AB,DC相交于點P，PB=BO，CD=22．則BO的長是 ．
4．（2020·上海浦東新·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點D，過點D作CA的平行線，交邊AB于點E．
(1)求線段DE的長；
(2)取線段AD的中點M，連接BM，交線段DE于點F，延長線段BM交邊AC于點G，求EFDF的值．
5．（2021上·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．
（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的29；
（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．
6．（2020上·河南鄭州·九年級校考階段練習）如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求AN:NC的值．
7．（2022下·江蘇蘇州·八年級星海實驗中學?？计谥校┒x：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足∠1=∠2，則稱點P為這個三角形的“理想點”．
(1)如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=22，AB=4，試判斷點D是不是△ABC的“理想點”，并說明理由；
(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點D是△ABC的“理想點”，求CD的長．
8．（2021上·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如果兩個相似三角形的對應邊存在2倍關系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．
（1）如果△DEF與△ABC互為母子三角形，則DEAB的值可能為（ ）
A．2 B．12 C．2或12
（2）已知：如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=2AD, ∠ADE=∠B．
求證：△ABD與△ADE互為母子三角形．
（3）如圖2，△ABC中，AD是中線，過射線CA上點E作EG//BC，交射線DA于點G，連結BE，射線BE與射線DA交于點F，若△AGE與△ADC互為母子三角形．求AGGF的值．
9．（2020上·全國·九年級專題練習）已知，如圖，AD是直角三角形ABC斜邊上的中線，AE⊥AD，AE交CB的延長線于點E．
（1）求證：△BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD，垂足為點F，且BE?CE＝9，求EF?DE的值．
題型02 8字模型
10．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，連接AE，若AE的延長線和BC的延長線相交于點F．
（1）求證：BC=CF；
（2）連接AC和BE相交于點為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．
11．（2020·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則BEEG的值為（ ）
A．12B．13C．23D．34
12．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，點O是△ABC邊BC上一點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于點M，N，且ABAM＝m，ACAN＝n．
（1）若點O是線段BC中點．
①求證：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之間的關系（用含k的代數(shù)式表示）．
13．（2021·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?12x2+2x+6與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線y=x?2與y軸交于點D，與x軸交于點E，與直線BC交于點F．
（1）點F的坐標是________；
（2）如圖1，點P為第一象限拋物線上的一點，PF的延長線交OB于點Q，PM⊥BC于點M，QN⊥BC于點N，PMQN=114，求點P的坐標；
（3）如圖2，點S為第一象限拋物線上的一點，且點S在射線DE上方，動點G從點E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒42個單位長度的速度運動，當SE＝SG，且tan∠SEG=12時，求點G的運動時間．
14．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為?1,0，點C的坐標為0,?3．點P為拋物線y=x2+bx+c上的一個動點．過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E．
（1）求b、c的值；
（2）設點F在拋物線y=x2+bx+c的對稱軸上，當△ACF的周長最小時，直接寫出點F的坐標；
（3）在第一象限，是否存在點P，使點P到直線BC的距離是點D到直線BC的距離的5倍？若存在，求出點P所有的坐標；若不存在，請說明理由．
15．（2021上·安徽合肥·九年級合肥壽春中學?？计谀┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點，連接CD，分別過點A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求證：AN＝CM；
（2）若點D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長；
（3）如圖2，若點E為AB中點，連接EM，設sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．

16．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與實踐：
數(shù)學活動課上，老師讓同學們根據(jù)下面情境提出問題并解答．
問題情境：在□ABCD中，點P是邊AD上一點．將△PDC沿直線PC折疊，點D的對應點為E．
“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點P與點A重合，過點E作EF∥AD，與PC交于點F，連接DF，則四邊形AEFD是菱形．
(1)數(shù)學思考：請你證明“興趣小組”提出的問題；
(2)拓展探究：“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當點P為AD的中點時，延長CE交AB于點F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關系，并說明理由．
請你幫助他們解決此問題．
(3)問題解決：“創(chuàng)新小組”在前兩個小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當點E恰好落在AB邊上時，AP=3，PD=4，DC=10．則AE的長為___________．（直接寫出結果）
17．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形ABCD中，AB=2，點E是對角線BD上的一動點，∠DAE=αα≠45°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線BF交射線DC于點G．
(1)當0°

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