重難點(diǎn)06 相交線與平行線的5種模型（5題型）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
重難點(diǎn)突破06 相交線與平行線的5種模型
（三線八角、鉛筆頭、鋸齒型、翹腳、三角板拼接模型）
目錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc155795834" 題型01 三線八角模型
\l "_Tc155795835" 題型02 鉛筆頭模型
\l "_Tc155795836" 題型03 鋸齒型模型
\l "_Tc155795837" 題型04 翹腳模型
\l "_Tc155795838" 題型05 三角板拼接模型
題型01 三線八角模型
模型介紹：三條直線相交組成八個(gè)角，去討論它們之間的關(guān)系.
【快速判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角】
【針對(duì)訓(xùn)練】
例1（2018·廣東廣州·中考真題）如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯(cuò)角分別是（）
A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4
變式1（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，下列兩個(gè)角是同旁內(nèi)角的是（）
A．∠1與∠2B．∠1與∠3C．∠1與∠4D．∠2與∠4
變式2（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）如圖，與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是（）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
例2（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，則∠2的大小為（）
A．120°B．122°C．132°D．148°
變式1（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
變式2（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線m∥n，∠1=100°，∠2=30°，則∠3=（）
A．70°B．110°C．130°D．150°
變式3（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線m∥n，AC⊥BC于點(diǎn)C，∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）
A．140°B．130°C．120°D．110°
題型02 鉛筆頭模型
【針對(duì)訓(xùn)練】
例3如圖，已知：AB∥CD，求證：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°．
變式1如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
變式2 問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
思路點(diǎn)撥：
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．
問題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為 °；
問題遷移：
（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
變式3 如圖，已知AB∥CD．
（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；
（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．
（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；
（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．
變式4（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）
（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）
（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）
（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）

題型03 鋸齒型模型
【針對(duì)訓(xùn)練】
例4（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）
A．70°B．65°C．35°D．5°
變式1（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面是解答一道幾何題時(shí)兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
變式2（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┤鐖D，直線AB∥CD，∠EFG?∠AEF=30°，則∠FGD= ．
變式3 問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．
問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)， ∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．
(3)問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1?B1?A2???Bn?1?An是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為．
變式4．如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．
（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．
（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．
（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．
（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．
變式5（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．
題型04 翹腳模型
【針對(duì)訓(xùn)練】
例5（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：
如圖，∠B=160°，當(dāng)∠A與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，BC∥DE?
小明認(rèn)為∠D?∠A=20°時(shí)BC∥DE，他解答這個(gè)問題的思路和步驟如下，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：
解：用直尺和圓規(guī)，在DA的右側(cè)找一點(diǎn)M，使∠DAM=∠D（只保留作圖痕跡）．
∵∠DAM=∠D，
∴①_____________
∵∠D?∠DAB=20°
∴∠BAM=②_________°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③__________°，
∴④_____________
∴BC∥DE．
所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)∠D?∠A=20°時(shí)，BC∥DE．
變式1（2023·云南·?？家荒＃┤鐖D，AB∥CD，∠A=30°，∠C=70°，則∠F= °．
變式2（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式．
變式3 ①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線 EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
變式4．①如圖1，ABCD，則∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A＋∠C；③如圖3，ABCD，則∠A＋∠E－∠1＝180°；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C＋∠P．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
變式5．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
題型05 三角板拼接模型
【解題方法】通過一副三角板我們能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依據(jù)平行線的性質(zhì)，我們可以得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角之間的關(guān)系，從而求出對(duì)應(yīng)角度數(shù)..
【針對(duì)訓(xùn)練】
例6（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）將一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則∠1的度數(shù)為（）

A．5°B．10°C．15°D．20°
變式1（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，則∠BND= °．
變式2（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，則∠AFD的度數(shù)是（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
變式3（2021·貴州黔西·中考真題）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（）
A．95°B．100°C．105°D．110°
變式4（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）一副三角板按如圖所示疊放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=30°，∠D=45°，且AC∥DE，則∠BCD= 度．
變式5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江中考真題）一副三角板如圖放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，則∠1=
變式6（2023·福建廈門·廈門市第十一中學(xué)?？级＃┮桓比前迦鐖D方式擺放，點(diǎn)D在直線EF上，且AB//EF，則∠ADE= 度．
變式7（2023·浙江溫州·?？既＃┮桓敝苯侨前迦鐖D放置，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，BE∥DF,∠B=∠DEF=90°，則∠CDE的度數(shù)為．
已知
圖示
結(jié)論（性質(zhì)）
直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行
1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；
2）內(nèi)錯(cuò)角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；
3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；
4）對(duì)頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.
直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD
1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；
2）內(nèi)錯(cuò)角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；
3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；
4）對(duì)頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.
已知
圖示
結(jié)論（性質(zhì)）
證明方法
AB∥DE
∠B+∠C+∠E = 360°
遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
a∥b
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐點(diǎn)數(shù)+1）
已知
圖示
結(jié)論（性質(zhì)）
證明方法
AB∥DE
∠B+∠E=∠C
遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b
所有朝左角之和等于所有朝右角的和
已知：如圖，AB∥CD．
求證：∠AEC=∠A+∠C
方法一
證明：如圖，過點(diǎn)E作MN∥AB
方法二
證明：如圖，延長(zhǎng)AE，交CD于點(diǎn)F．
已知
圖示
結(jié)論（性質(zhì)）
證明方法
AB∥DE
∠1=∠2+∠3
遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）
AB∥DE
∠1+∠3-∠2=180°

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