1.向量a,b滿足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),則b為( )
A.(-3,4)B.(3,4)
C.(3,-4)D.(-3,-4)
2.已知{e1,e2}是平面向量的一組基底,則下列四組向量中,不能作為一組基底的是( )
A.{e1,e1+e2}B.{e1-2e2,e2-2e1}
C.{e1+e2,e1-e2}D.{e1-2e2,4e2-2e1}
3.已知向量a=(1,x),b=(-2,4),a∥(a-b),則x=( )
A.1B.2C.-1D.-2
4.(多選)在平面上的點(diǎn)A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.-2D.+2
5.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,則“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
6.在△ABC中,=4,P為BD上一點(diǎn),若+λ,則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A.B.
C.D.
7.已知在?ABCD中,M,N分別是邊BC,CD的中點(diǎn),AM與BN相交于點(diǎn)P,記a=,b=,用a,b表示的結(jié)果是( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
8.在△OAB中,=a,=b,=p,若p=t,t∈R,則點(diǎn)P在( )
A.∠AOB平分線所在直線上B.線段AB中垂線上
C.AB邊所在直線上D.AB邊的中線上
9.(多選)已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,1),則( )
A.a∥bB.(a+b)⊥c
C.a+b=cD.c=5a+3b
10.已知非零不共線向量,若2=x+y,且=λ(λ∈R),則點(diǎn)Q(x,y)的軌跡方程是( )
A.x+y-2=0B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0
11.已知平面向量a=(1,m),b=(2,5),c=(m,3),且(a+c)∥(a-b),則m= .
12.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1= ,λ2= .
綜合提升組
13.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=(a+b,b+c),n=(c-b,a),若m∥n,則C=( )
A.B.C.D.
14.已知對(duì)任意平面向量=(x,y),把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量=(xcs θ-ysin θ,xsin θ+ycs θ),叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)A(1,-),點(diǎn)B(3,),把點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(-2,2)B.(-1,)
C.(4,0)D.(5,-)
15.(多選)在直角三角形ABC中,P是斜邊BC上一點(diǎn),且滿足=2,點(diǎn)M,N在過(guò)點(diǎn)P的直線上,若=m=n(m>0,n>0),則下列結(jié)論正確的是( )
A.為常數(shù)
B.m+2n的最小值為3
C.m+n的最小值為
D.m,n的值可以為m=,n=2
創(chuàng)新應(yīng)用組
16.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在邊BC上,延長(zhǎng)AD到P,使得AP=9,若=m(m為常數(shù)),則CD的長(zhǎng)度是 .
參考答案
課時(shí)規(guī)范練25 向量基本定理
及向量的坐標(biāo)
1.A 由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),
∴b=(-6,8)=(-3,4).
2.D 因?yàn)閧e1,e2}是平面向量的一組基底,故e1和e2不共線,所以e1和e1+e2不共線,e1-2e2和e2-2e1不共線,e1+e2和e1-e2不共線.因?yàn)?e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2和4e2-2e1共線.故選D.
3.D a-b=(3,x-4),因?yàn)閍∥(a-b),所以3x=x-4,所以x=-2,故選D.
4.BC 點(diǎn)A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),
選項(xiàng)A中,=(-2,1),=(4,0),=(-2,-1),所以,故A錯(cuò)誤;
選項(xiàng)B中,=(2,1),=(-2,1),=(0,2),所以成立,故B正確;
選項(xiàng)C中,=(-4,0),=(0,2),=(2,1),所以-2成立,故C正確;
選項(xiàng)D中,=(2,1),=(0,2),=(-2,1),所以+2,故D錯(cuò)誤.故選BC.
5.A 由題意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,則“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要條件.
6.
C 由題知=4+,所以+4,由于B,P,D三點(diǎn)共線,所以4λ+=1,∴λ=故選C.
7.
D 過(guò)點(diǎn)N作BC的平行線分別交AB,AM于點(diǎn)E,F,則EF=BM.
因?yàn)镋N∥BC,所以,所以-a+b=-a+b,則=a+-a+b=a+b,故選D.
8.A 是△OAB中邊OA,OB上的單位向量,在∠AOB平分線所在直線上,∴t在∠AOB平分線所在直線上,∴點(diǎn)P在∠AOB平分線所在直線上,故選A.
9.BD 由題意2×2-(-3)×(-1)≠0,故A錯(cuò)誤;a+b=(-1,1),(a+b)·c=-1+1=0,故(a+b)⊥c,故B正確,C錯(cuò)誤;5a+3b=5(2,-1)+3(-3,2)=(1,1)=c,故D正確.故選BD.
10.A 由=,得=λ(),即=(1+λ)-
又2=x+y,所以消去λ得x+y-2=0,故選A.
11 ∵a=(1,m),b=(2,5),c=(m,3),∴a+c=(m+1,m+3),a-b=(-1,m-5).又(a+c)∥(a-b),∴(m+1)(m-5)+m+3=0,即m2-3m-2=0,解得m=
12.
- 由題意,作圖像如圖所示,)=-又因?yàn)?λ1+λ2,所以λ1=-,λ2=
13.B ∵m=(a+b,b+c),n=(c-b,a),且m∥n,∴(a+b)×a-(c-b)×(b+c)=0,整理得c2=a2+b2+ab.
又c2=a2+b2-2abcsC,∴csC=-C∈(0,π),∴C=故選B.
14.B 設(shè)點(diǎn)P(m,n),則=(m-1,n+),根據(jù)題意,若將繞其起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),即可得,故=(m-1)cs-(n+)sin,(m-1)sin+(n+)cs,
整理得=,-.
由A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)可知=(2,2),故解得則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,).故選B.
15.ABD 如圖所示,
由=2,可得=2()
若=m=n(m>0,n>0),則,
∵M(jìn),P,N三點(diǎn)共線,=1,=3.
當(dāng)m=時(shí),n=2,故A,D正確;
m+2n=(m+2n)=2=3,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí),等號(hào)成立,故B正確;
m+n=(m+n)=+1≥2+1=+1,當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí),等號(hào)成立,故C錯(cuò)誤.故選ABD.
16或0 如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AC所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(4,0),C(0,3).
由=m,得=m()+),
整理得=-2m+(2m-3)
=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).
又因?yàn)锳P=9,所以64m2+(6m-9)2=81,解得m=或m=0.
當(dāng)m=0時(shí),=(0,-9),此時(shí),C,D重合,CD=0;
當(dāng)m=時(shí),直線PA的方程為y=x,直線BC的方程為=1,
聯(lián)立兩直線方程可得x=m,y=3-2m.即D,
∴CD=CD的長(zhǎng)度是或0.

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