【能力提高練】   第二節(jié) 向量基本定理與向量的坐標(biāo)1．(2022?重慶市育才中學(xué)二模)已知向量，，若，則(    )A． B． C． D．【解析】  因?yàn)?/span>，，且，所以，解得，所以，所以，所以，故選：D【答案】  D2．(2022?深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三(下)第二次檢測(cè))(多選)若平面向量和互相平行，其中，則(    )A． B．0 C． D．2【解析】  因?yàn)槠矫嫦蛄?/span>和互相平行，所以或，即，或，，所以或，所以或，故選：AD【答案】  AD3．(2022?寧夏銀川一中一模)在直角中，，，以為直徑的半圓上有一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，若，則的最大值為(       )A．4 B．C．2 D．【解析】  依題意在直角中，，，以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)是的中點(diǎn)，則.，所以滿足，設(shè)(為參數(shù)，)，依題意，即，，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選：C【答案】  C4．(2022?河南商丘三模)如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近B的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)F，若，則(       )A． B． C． D．【解析】  連結(jié)DE，由題意可知，，所以，則，所以，所以，，則，故，又，所以，，則，故選：A【答案】  A5．(2022?河南南陽(yáng)中學(xué)模擬)中，若，點(diǎn)E滿足，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)(       )A． B． C． D．【解析】  在△ABC中，由余弦定理得：設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>A、B、D三點(diǎn)共線，所以，解得：，所以，即因?yàn)?/span>AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因?yàn)?/span>，所以.故選：A【答案】  A6．(2022?安徽北大培文蚌埠實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試)已知D，E為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，，若，則(       )A．-3 B．3 C． D．【解析】  因?yàn)?/span>，則，所以，所以，所以，，故.故選：A.【答案】  A7．(2022?湖北省武漢市漢鐵高級(jí)中學(xué)高三階段練)(多選)如下圖所示，B是AC的中點(diǎn)，，P是平行四邊形BCDE內(nèi)含邊界的一點(diǎn)，且，以下結(jié)論中正確的是(       )A．當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，，B．當(dāng)時(shí)，C．若為定值時(shí)，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段D．的最大值為【解析】  依題意，，A選項(xiàng)，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于，則，且，所以，則點(diǎn)的軌跡是，，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，，令、的中點(diǎn)為，由于，即，所以三點(diǎn)共線.設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，交于，則，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是，點(diǎn)的軌跡是，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，由于平行四邊形在的左上方，三點(diǎn)共線，所以，，故當(dāng)取得最大值，取得最小值時(shí)，取得最大值，D選項(xiàng)正確.故選：CD【答案】  CD8．已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)(　　)A．△ABC的內(nèi)心　　　　 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心   D．AB邊的中點(diǎn)【解析】　取AB的中點(diǎn)D，則2＝＋，因?yàn)?/span>＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，所以P，C，D三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心．【答案】　C9．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，點(diǎn)O為△ABC的外心，若＝x＋y，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)為(　　)A．   B．C．   D．【解析】　取AB的中點(diǎn)M和AC的中點(diǎn)N，連接OM，ON，則⊥，⊥，＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x．由⊥，得2－y·＝0，①由⊥，得2－x·＝0，②又因?yàn)?/span>2＝(－)2＝2－2·＋，所以·＝＝－，③把③代入①，②得解得x＝，y＝．故實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)為．【答案】　A10．(2022?陜西省西安中學(xué)高三四模)已知向量，若與共線，則實(shí)數(shù)_________．【解析】  因?yàn)?/span>與共線，，解得或．故答案為：或.【答案】  1或11．(2022?山東濟(jì)寧三模)在邊長(zhǎng)為的等邊中，已知，點(diǎn)在線段上，且，則________.【解析】  因?yàn)?/span>，所以，又，即，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，，三點(diǎn)共線，由平面向量三點(diǎn)共線定理得，，即，所以，又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，故.故答案為：.【答案】  12．如圖所示，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°．若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．【解析】  法一：以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，設(shè)C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C．又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，則xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得解得所以m＋n＝＋＝3．法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，則cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，聯(lián)立①②，解得所以m＋n＝＋＝3．【答案】  3 

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