1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n+1,n的第一個(gè)取值應(yīng)是( )
A.1B.2
C.3D.4
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn=na1+d時(shí),假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),公式成立,則Sk=( )
A.a1+(k-1)d
B.
C.ka1+d
D.(k+1)a1+d
3.某小鎮(zhèn)在今年年底統(tǒng)計(jì)有人口20萬,預(yù)計(jì)人口年平均增長率為1%,那么五年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為( )
A.20×(1.01)5萬
B.20×(1.01)4萬
C.20×萬
D.20×萬
4.對(duì)于不等式2n+1不成立;
n=3時(shí),23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.
∴n的第一個(gè)取值應(yīng)是3.
2.C 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Sk=ka1+d.
3.A 某小鎮(zhèn)在今年年底統(tǒng)計(jì)有人口20萬,預(yù)計(jì)人口年平均增長率為1%,那么
1年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%),
2年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)2,
3年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)3,
4年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)4,
5年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)5=20×(1.01)5.
4.D 在n=k+1時(shí),沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.
5.4 039 設(shè)每個(gè)30分鐘進(jìn)去的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an},則a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,…,an=2n-(n-1).
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,依題意,只需求
S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(211-10)
=(2+22+23+…+211)-(1+2+…+10)==212-2-55=212-57=4039.
6.74 設(shè)B型號(hào)健身器材這6個(gè)月投放量為{bn},公比為q,則bn是以b1=64為首項(xiàng),q=的等比數(shù)列,q≠1,∴其前6項(xiàng)和為S6==1330,∴5a+300+1330≥2000,解得a≥74,故a的最小值為74.
7.證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k,k∈N*時(shí),不等式成立,即有1++…+k,
則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1++…++…+k++…+,
又+…+2k=1,
即1++…++…+k+1,
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
綜上可得,對(duì)于任意n∈N*,1++…+n成立.
8.證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),x1=5=31+2,y1=1-2×31=-5,滿足條件,命題成立.
(2)假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即xk=3k+2,yk=1-2·3k成立.
當(dāng)n=k+1時(shí),
由2xk+1+3yk=7,有xk+1=(7-3yk)==2+3k+1,
由6xk+yk+1=13,有yk+1=13-6xk=13-6×(3k+2)=1-2·3k+1.
所以n=k+1時(shí)命題也成立.
綜上(1)和(2)可知,對(duì)一切n∈N*,命題xn=3n+2,yn=1-2·3n(n∈N*)成立.
9.5 (n+1)(n-2) 由題意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以歸納出每增加一條直線,交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線的條數(shù).所以f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,
猜測(cè)得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4).有f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),
所以f(n)=(n+1)(n-2).n=3時(shí),也滿足此式.
10.B 由題意可知,該大學(xué)畢業(yè)生兩種還款方式所還的本金最終都是240000元,∴兩種還款方式的本金沒有差額.∵該大學(xué)畢業(yè)生決定2024年8月初將剩余貸款全部一次還清,∴從2019年9月初第一次還款到2024年8月初這5整年即60個(gè)月兩種還款方式所還的利息也是一樣的.
∴按原約定所有還款數(shù)額-按現(xiàn)計(jì)劃的所有還款數(shù)額=原約定還款方式從2024年9月起到最后還完這整60個(gè)月所還的利息.
∵每月應(yīng)還本金:240000÷120=2000(元),
2024年8月還完后本金還剩240000-2000×60=120000(元).
∴2024年9月應(yīng)還利息為:120000×0.5%,
2024年10月應(yīng)還利息為:(120000-2000)×0.5%,
2024年11月應(yīng)還利息為:(120000-2000×2)×0.5%,
…
最后一次應(yīng)還利息為:(120000-2000×59)×0.5%.
后60個(gè)月所還的利息為:120000×0.5%+(120000-2000)×0.5%+(120000-2000×2)×0.5%+…+(120000-2000×59)×0.5%=0.5%×[120000+(120000-2000)+(120000-2000×2)+…+(120000-2000×59)]=0.5%×[120000×60-2000×(1+2+…+59)]=18300(元).
11.證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-,右邊=,等式成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即
1-+…++…+,
當(dāng)n=k+1時(shí),1-+…+
=+…+
=+…+
=+…+
=+…+,
根據(jù)(1)和(2),可知1-+…++…+成立,
原等式得證.
12.解 根據(jù)題意,當(dāng)孩子18歲生日時(shí),孩子在一周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r)17,同理,孩子在2周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r)16,
孩子在3周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r)15,
……
孩子在17周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r),
可以看成是以a(1+r)為首項(xiàng),(1+r)為公比的等比數(shù)列的前17項(xiàng)的和,
此時(shí)將存款(含利息)全部取回,則取回的錢的總數(shù)
S=a(1+r)17+a(1+r)16+…+a(1+r)=[(1+r)18-(1+r)].
13.解 (1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120;
(2)猜想:Sn=Tn(n∈N*).
證明:①當(dāng)n=1時(shí),S1=T1;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí),Sk=Tk,
即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1),
則當(dāng)n=k+1時(shí),
Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)·…·(2k)(2k+1)(2k+2)=(2k+1)(2k+2)
=2k+1×1×3×…×(2k-1)(2k+1)=Tk+1.
即n=k+1時(shí)也成立,
由①和②可知n∈N*,Sn=Tn成立.
14.(1)解 由題意知:an+1=an+bn,bn+1=an+bn.
(2)證明 ∵an+1=an+bn,且an+bn=3000,
∴an+1=an+(3000-an),∴an+1=an+1200,
∴an+1-2000=(an-2000),又a1-2000=0,
∴數(shù)列{an-2000}是常數(shù)列.
15.解 (1)由=anSn,令n=1,則,得S1=,
當(dāng)n≥2時(shí),由an=Sn-Sn-1,得=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn=,
令n=2,得S2=,令n=3,得S3=,即S1=,S2=,S3=
(2)由(1)知S1=,S2=,S3=,猜想Sn=,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),由猜想知顯然成立;
②假設(shè)n=k猜想成立,即Sk=,
則當(dāng)n=k+1時(shí),由(1)有Sk+1=,
即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想Sn=也成立.
綜合①和②可知,猜想Sn=成立,即Sn=
(3)由(2)知a1=,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=,
綜合知an=,又bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1,
則bn=(-1)n+1(n+1)2.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
Tn=1--+-+…+-
=1-=;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=Tn-1+bn=+=.
綜上可得Tn=.
16.解 (1)由題意,得b1==0.65(g/mL),
a1==1.55(g/mL).
當(dāng)n≥2時(shí),bn=(300+100)=(3),
an=(200+100bn)=(3),
∴an-bn=),
∴等比數(shù)列{an-bn}的公比為,其首項(xiàng)a1-b1=1.55-0.65=0.9,
∴an-bn=0.9·n-1.
(2)由題意可知,問題轉(zhuǎn)化為解不等式0.9·n-11+7.49,
∴至少要操作8次才能達(dá)到要求.

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