2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)突破05 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題與拐點(diǎn)偏移問(wèn)題
目錄
1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念
所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往。如下圖所示。

圖1 極值點(diǎn)不偏移 圖2 極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)右偏。
2、對(duì)稱(chēng)變換
主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.
(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)，若證 ，則令.
(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．
(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．
(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．
【注意】若要證明的符號(hào)問(wèn)題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．
構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效
3、應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；
②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.
4、比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
題型一：極值點(diǎn)偏移:加法型
例1．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：．
【解析】（1）由題可知的定義域?yàn)椋?br>.
令，則的兩根分別為，．
當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．
（2）原方程可化為，
設(shè)，則，．
令，得．∵在上，，在上，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，且當(dāng)，趨向于0時(shí)，趨向于，
當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于．
則在和上分別有一個(gè)零點(diǎn)，，
不妨設(shè)，∵，∴，
設(shè)，則，
．
當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，而，
∴當(dāng)時(shí)，，，即．
∵，
∴．
∵在上單調(diào)遞減，
∴，即．
例2．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，證明.
【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>則，
令，解得，令，解得，
所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知：必有.
要證，即證，即證，
又，即證.
令，其中，
則，
令，則
在時(shí)恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即，所以；
接下來(lái)證明，
令，則，又，即，所以，
要證，即證，有，
不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即證，
即證，即證，
令，，則，
令，其中，則，
所以，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即，所以，
綜上，.
例3．（2023·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)①證明函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；
②設(shè)①中函數(shù)的零點(diǎn)為，記（其中表示中的較小值），若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：.
【解析】（1）由已知，
函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令有，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）①的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
又，，且在區(qū)間內(nèi)的圖像連續(xù)不斷，
∴根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
∴當(dāng)時(shí)，，故，即；
當(dāng)時(shí)，，故，即，
∴可得，
當(dāng)時(shí)，，由得單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，由得單調(diào)遞減：
若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，
則，
∴要證，需證，又，
而在內(nèi)遞減，
故需證，又，
即證，即
下證：
記，，
由知：，
記，則：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故，而，所以，
由，可知.
∴，即單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，，即，故，得證.
變式1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為其極小值點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若存在，使得，求證：．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>，依題意得，得，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，，，故，在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，，故，在內(nèi)單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，符合題意.
綜上所述：.
（2）由（1）知，，
不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)，時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)，時(shí)，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)榇嬖?，使得，所以?br>要證，只要證，
因?yàn)?，所以，又在?nèi)單調(diào)遞減，
所以只要證，又，所以只要證，
設(shè)，
則
，
令，則，
因?yàn)?，所以，在上為減函數(shù)，所以，
即，
所以在上為減函數(shù)，
所以，即.
綜上所述：.
變式2．（2023·湖北武漢·高二武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，所以，得，
當(dāng)，，當(dāng)，，
故函數(shù)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，
所以，得，
所以，得，
令，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故.
先證，需證.
因?yàn)?，下面證明.
設(shè),
則,
故在上為增函數(shù),故,
所以,則,
所以,即得，
下面證明：
令，當(dāng)時(shí)，所以成立,
所以，所以.
當(dāng)時(shí)，記,
所以時(shí)，所以為減函數(shù)得,
所以,即得.
所以得證，
綜上，.
變式3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的最大值；
(2)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)和，若，，求的最小值．
【解析】（1）因?yàn)椋渲校?br>則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)任意的，，即，
令，其中，則，，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以，，故，所以，的最大值為.
（2）由題意可知，，設(shè)，
由可得，則，
可得，，所以，，令，其中，
所以，，
令，其中，則，
因?yàn)椋?，可得，由可得?br>所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
又因?yàn)榍遥?br>所以，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，.
變式4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若函數(shù)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、、，且，求的最大值．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且．
①，，由，可得；由，可得.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此在處取得極大值，故當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；
②，令，其中，則，
由可得，由可得，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，故，
由可得，由可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此在處取得極小值，故當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，
令得或，令，由②知，
而，，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，因此，故，
所以函數(shù)在和上各存在唯一的零點(diǎn)，分別為、，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，
所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、、，
所以由（1）知，，，
由，兩式相除得到．
令，則，則，，得，，
因此，所以，則．
令，其中，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，
即，故在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．
變式5．（2023·廣西玉林·高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋裕?br>設(shè)，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以， 即，
又因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，即．
變式6．（2023·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若為定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?
由為定義域上的增函數(shù)可得恒成立.
則由得，
令，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
故,
則有 解得.
故a的取值范圍為
（2）
由有
有
即
即.
令
由可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；則，
即，
解得或(負(fù)值舍去)，
故.
變式7．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（）．
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．
【解析】（1）由已知，的定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，，恒成立，
∴此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），
則由（1）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需證明，即有.
下面證明，
設(shè)
，，
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，
∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命題得證.
變式8．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；
時(shí)，令得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：時(shí)，由（1）知至多有一個(gè)零點(diǎn).
時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，即，故沒(méi)有零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，即，
又，
由（1）知在上有一個(gè)零點(diǎn).
又，
由（1）知在有一個(gè)零點(diǎn)，
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為
不妨設(shè)，則，且，
令
，
則，
由于（且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上單調(diào)遞增，
所以即.
變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
【解析】（1）由，得.
令，，則，
令，則.
所以，函數(shù)在上單增，故.
①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單增，，
此時(shí)對(duì)恒成立，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，，
故存在使得，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.
（2）證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.
不妨設(shè)，，則，整理得.
于是，
即.
變式10．（2023·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，，，
曲線在處的切線方程為，即；
（2）令，可得，
令，，設(shè)函數(shù)與相切于，
由、、可得，，，
，的大致圖象如下，
當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
即有兩個(gè)零點(diǎn)，所以的取值范圍為，
，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，
要證，只要證，
不妨設(shè)，由，則，
構(gòu)造函數(shù)，
，
∵，∴，∴在是遞增，
又，∴，∴，
∴，又，∴，
而，，在上遞減，∴，即，
∴.
變式11．（2023·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在，且，使得，求證：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
令，得或，
在上，，在上，，在上，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）可知，
設(shè)，，
則，
因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時(shí)，，即.
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，
所以，即.①
設(shè)，，
則.
因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，
所以，即.②
由①得，由②得，所以.
題型二：極值點(diǎn)偏移:減法型
例4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．
(2)若，求證：．
【解析】（1）定義域?yàn)?，?br>令，解得：或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
的極大值為，極小值為.
（2）由（1）知：，，．
令，，
則；
令，則；
令，則，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，
對(duì)任意恒成立．
，，又，，
在上單調(diào)遞增，，，即；
令，，
則；
在上單調(diào)遞增，，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
，對(duì)任意恒成立．
，．又，，
在上單調(diào)遞增，且，，；
由得：，，.
例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為、且，求證：.
【解析】（1）由可得，令，其中，
則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，
，令可得，列表如下：
如下圖所示：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
（2）證明：，其中，
所以，，由已知可得，
上述兩個(gè)等式作差得，
要證，即證，
因?yàn)?，設(shè)函數(shù)的圖象交軸的正半軸于點(diǎn)，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，，
設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，
函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象在處的切線方程為，
聯(lián)立可得，即點(diǎn)，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，
所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由圖可知，則，所以，，
因?yàn)?，可得?br>函數(shù)在處的切線方程為，
聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，
所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，，可得，
因此，，故原不等式成立.
例6．（2023·四川成都·高二川大附中?？计谥校┮阎瘮?shù).
（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；
（2）設(shè)分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.
【解析】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù) 單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時(shí)，參數(shù) 的取值范圍為，則可知函數(shù) 在定義域上不單調(diào)時(shí)， 的取值范圍為 ；（2）易知 ，設(shè) 的兩個(gè)根為 ，并表示出，則，令，則，再利用導(dǎo)數(shù)法求的取值范圍.
詳由已知，
（1）①若在定義域上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，
而，所以；
②若在定義域上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立，
而，所以.
因?yàn)樵诙x域上不單調(diào)，所以，即.
（2）由（1）知，欲使在有極大值和極小值，必須.
又，所以.
令的兩根分別為，，
即的兩根分別為，，于是.
不妨設(shè)，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以
.
令，于是，
，
由，得，
又，所以.
因?yàn)椋?br>所以在上為減函數(shù)，
所以.
題型三：極值點(diǎn)偏移:乘積型
例7．（2023·全國(guó)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．
【解析】（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，證明，進(jìn)而只需要證明只需要證明，也即是，從而令，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可證出結(jié)論．
【詳解】（1）由．
所以．
所以．
令，則為上的增函數(shù)，且．
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．
所以．
又．
所以．令，則
所以為上的增函數(shù)．
又．
令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，而，因此函數(shù)與直線有唯一交點(diǎn)，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得．
即，故，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．
故而．
（2）由題意有兩個(gè)零點(diǎn)．
所以，即．
所以等價(jià)于：有兩個(gè)零點(diǎn)，證明.
不妨令．
由．
要證，只需要證明．
即只需證明：．
只需證明：，即．
令．
只需證明：．
令．
則，即在上為增函數(shù)．
又．
所以．
綜上所述，原不等式成立．
例8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.
【解析】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在遞增，在遞減，則，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在遞增，在遞減.
又∵，，，，且，.
要證，即證.
∵，∴，
又∵，∴只證即可.
令，，
恒成立，
∴在單調(diào)遞增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
例9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)求證：，；
(2)若存在、，且當(dāng)時(shí)，使得成立，求證：.
【解析】（1）證明：構(gòu)造函數(shù)，其中，
則
，
因?yàn)?，則，，
即當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，即.
（2）證明：先證明對(duì)數(shù)平均不等式，其中，
即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，，
本題中，若，則，
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合乎題意，所以，，
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，
則，即，
所以，，
因?yàn)椋瑒t，
所以，，
所以，，
所以，，所以，，
由對(duì)數(shù)平均不等式可得，可得，所以，.
變式12．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)證明：若，則；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．
【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋缘葍r(jià)于．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故．
因?yàn)椋?，于是?br>（2）不妨設(shè)，由（1）可知，也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，于是，由于在單調(diào)遞減，故等價(jià)于．
而，故等價(jià)于．①
設(shè)，則①式為．
因?yàn)椋?br>設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，
所以，從而，因此在單調(diào)遞增．
又，故，故，于是．
變式13．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．
(2)若的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，求證：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，
即當(dāng)時(shí)，恒成立，
設(shè)，
所以，即，
，
設(shè)，
則，
所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以，
若恒成立，則．
所以時(shí)，恒成立，a的取值范圍為.
（2）由題意知，，
不妨設(shè)，由得，
則，
令，
則，即：．
要證，
只需證，
只需證，
即證，
即證（），
令（），
因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
所以成立，
故．
變式14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若存在，，使，求證：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，則總成立，
故函數(shù)即在上單調(diào)遞增，
且，，所以存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
故在上存在唯一極值點(diǎn)，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)．
（2）由知，
整理得，（*），
不妨令，則，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有，即，
那么，
因此，（*）即轉(zhuǎn)化為，
接下來(lái)證明，等價(jià)于證明，
不妨令（），
建構(gòu)新函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，
所以，故即得證，
由不等式的傳遞性知，即．
變式15．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)
(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.
【解析】（1）因?yàn)?，所?
所以，又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，
所以，解得..
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒（x）在定義域上為增函數(shù)，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
時(shí)，時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即.
（3）
定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.
當(dāng)時(shí)，
在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一個(gè)零點(diǎn)（）.
當(dāng)時(shí)，，所以在（，+∞）上存在一個(gè)零點(diǎn)，
綜上函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
不妨設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)
由，所以，
所以，所以，
要證，
只需證，
只需證，
由，
只需證，
只需證，
只需證，
令，只需證，
令，
，
∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，
即成立，
所以成立.
題型四：極值點(diǎn)偏移:商型
例10．（2023·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且，證明：.
【解析】（1），是減函數(shù)，是增函數(shù)，
所以在單調(diào)遞減，
∵，
∴時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.
（2）由題意得，，即
，，
設(shè)，，則由得，，且.
不妨設(shè)，則即證，
由及的單調(diào)性知，.
令，，則
，
∵，∴，，
∴，取，則，
又，則，
又，，且在單調(diào)遞減，∴，.
下證：.
（i）當(dāng)時(shí)，由得，；
（ii）當(dāng)時(shí)，令，，則
，
記，，則，
又在為減函數(shù)，∴，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞增，
又，，
∴，
又，
從而，由零點(diǎn)存在定理得，存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
所以，，
又，
，
所以，，
顯然，，
所以，，即，
取，則，
又，則，
結(jié)合，，以及在單調(diào)遞增，得到，
從而.
例11．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【解析】(1)的定義域?yàn)椋?br>由得，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因?yàn)?，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?，?br>又因?yàn)?，所以?br>即．
因?yàn)椋?，即?br>綜上，有結(jié)論得證．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，其中利用的對(duì)稱(chēng)差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題必備的知識(shí)和技能.
方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.
例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又?
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
（2）因?yàn)?，故?br>即，故，
設(shè)，則，
不妨設(shè)，由（1）可知原命題等價(jià)于：已知，證明： .
證明如下：
若，恒成立；
若， 即 時(shí)，
要證：，即證，而，即證，
即證：，其中
設(shè)，，
則，
因?yàn)?，故，故?br>所以，故在為增函數(shù)，所以，
故，即成立，
所以成立，
綜上，成立.
變式16．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，
（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，其中.
①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，由得，由可得.
所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）（i）方程可化為，即．
令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
易知函數(shù)的值域?yàn)椋?br>結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．
又因?yàn)椴皇欠匠蹋?）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．
令，其中，則．
由可得或，由可得，
所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，函數(shù)的極小值為，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.
作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（ii）要證，只需證，即證．
因?yàn)?，所以只需證．
由（?。┲?，不妨設(shè)．
因?yàn)?，所以，即，作差可得?br>所以只需證，即只需證．
令，只需證．
令，其中，則，
所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．
所以原不等式得證．
題型五：極值點(diǎn)偏移:平方型
例13．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；
【解析】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?
由得：，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，
即是方程的兩不等實(shí)根，
令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.
令，則，所以在上遞增，在上遞減，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.
所以0，即0.
令，要證，只需證，
解法1（對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造）：令，
則，
令，
則，
所以在上遞增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（對(duì)數(shù)均值不等式）：先證，令，
只需證，只需證，
令，
所以在上單調(diào)遞減，所以.
因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以.
例14．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.
【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.
令，則，
令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取極大值也是最大值.
因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
令，則，當(dāng)時(shí)，解得.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取極大值為.
又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
且時(shí)，.
所以，且.
因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.
將兩式相除得，
令，則，，變形得，.
又因?yàn)?，，因此要證，只需證.
因?yàn)?，所以只需證，即證.
因?yàn)?，即證.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，，
即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.
例15．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若存在，，使得，則．
【解析】（1），，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
所以，要使，則有，而，故，
所以的取值范圍為．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
設(shè)，所以，，
①若，則，成立；
②若，先證，此時(shí)，
要證，即證，即，，
令，，
，
所以在(1,2)上單調(diào)遞增，所以，
即，，所以，
因?yàn)?，，所以?br>即．
變式17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若，且，證明: .
【解析】（1）
當(dāng)時(shí)，， ， 所以單調(diào)遞增；， ， 所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，， 所以單調(diào)遞減；， 所以單調(diào)遞增；
（2）證明：
， ∴ ，
即當(dāng)時(shí)，
由（1）可知，此時(shí)是的極大值點(diǎn)，因此不妨令
要證，即證：
①當(dāng)時(shí)，成立；
②當(dāng)時(shí)
先證
此時(shí)
要證，即證：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增
∴，∴①式得證.
∴
∵，
∴ ∴ ∴
變式18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，，求證：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，
可得切線的斜率為，且，
所以切線的方程為，
即為；
（2）證明：由題意可得，
若，則，所以在遞增，
因此不存在，使得，所以；
設(shè)，，則，
令，，
所以在遞減，又，所以在恒成立，
從而在遞減，從而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因?yàn)?，所以?br>因此要證，
只需證明，
即證，③
設(shè)，，則，
所以在上為增函數(shù)，
又因?yàn)?，所以，即③式成?
所以獲證.
題型六：極值點(diǎn)偏移:混合型
例16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若存在，滿(mǎn)足，求證：．
【解析】（1）.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.
（2）由題（1）可知，當(dāng)時(shí)才存在，滿(mǎn)足，
不妨設(shè)，
設(shè)，則
，
因?yàn)椋?，所以?br>所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即
故，
因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
下面證明：；
因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，得證.
例17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：
①；
②.
【解析】（1）由，化簡(jiǎn)得：，兩邊平方，解得：.
（2）不妨令，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，舍去；
當(dāng)時(shí)，為定值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，兩個(gè)分段函數(shù)在處函數(shù)值相同，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，舍去；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，即分段函數(shù)在處函數(shù)值相等，要想存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則有三種類(lèi)型，第一種：，顯然，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以，即，由于，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，綜上：；第二種情況：，顯然滿(mǎn)足，
接下來(lái)證明，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以，又，所以，又，所以，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上：；第三種情況：，由第一種情況可知滿(mǎn)足，由第二種情況可知：，則，
綜上：，證畢.
②由①可知：當(dāng)時(shí)，由得：，整理得：，即；
當(dāng)時(shí)，，整理得：，整理得：，因?yàn)?，所以，綜上：，證畢.
例18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且，當(dāng)時(shí)，求證：不等式恒成立.
【解析】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>方程在有兩個(gè)不同根，
即方程在有兩個(gè)不同根，
即方程在有兩個(gè)不同根；
令，則，
則當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的取值范圍為；
（2）證明：欲證 兩邊取對(duì)數(shù)等價(jià)于要證，
由（1）可知，分別是方程的兩個(gè)根，
即，
所以原式等價(jià)于，因?yàn)椋?br>所以原式等價(jià)于要證明.
又由，作差得，，即.
所以原式等價(jià)于，令，，
則不等式在上恒成立.
令，
又，
當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)時(shí)，，
所以在上單調(diào)增，
又，,
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.
變式19．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明：且．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>又由得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
的減區(qū)間為：，增區(qū)間為：，
（2）證明：方法一：由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．
由，知，
令，則，
當(dāng)時(shí)，減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，增函數(shù)．
所以．
因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)椋?br>問(wèn)題等價(jià)于直線和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
，且，
所以，從而．
令，則，解得，
，而，
下面證明時(shí)，，
令，
則，
令，則，
在為減函數(shù)，，
在為減函數(shù)，，
在為減函數(shù)，，即．
方法二：由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．
由，知，
令，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
所以．
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即，得．
因?yàn)閷?shí)數(shù)是的兩個(gè)根，
所以，從而．
令，則，變形整理，
要證，則只需證，即只要證，
結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可．
因?yàn)?，所以只要證，整理得．
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，即，
所以成立，故成立．
變式20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若方程有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）如果，且，求證：．
【解析】（1）因?yàn)?，所以，令，解得，令，解得?br>即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）可得函數(shù)在處取得最大值，，
所以函數(shù)的圖象大致如下：
．
易知函數(shù)的值域?yàn)椋?br>因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的根，
所以，即，，解得．
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）證明：由，，不妨設(shè)，
構(gòu)造函數(shù)，，，
則，
所以在，上單調(diào)遞增，，
也即對(duì)，恒成立．
由，則，，
所以，
即，又因?yàn)椋?，且在上單調(diào)遞減，所以，
即證．
即．
變式21．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）設(shè)，函數(shù)．
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，則切線方程為，即．
（2）①若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，
∵，，
∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；
②若，有唯一零點(diǎn)；
③若，令，得，
在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；
在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；
故在區(qū)間上，的極大值為，
由于無(wú)零點(diǎn)，須使，解得，
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（3）證明：設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，
∵，，∴，，
∴，，
∵，故，故，
即，即，
設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（），
設(shè)，
∴，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，∴，
∴．
變式22．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)討論f（x）的單調(diào)性；
(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：.
【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，令，解得
即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)令，解得，
即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）若時(shí)，都有，
即，恒成立.
令，則，，
令，所以，
當(dāng)時(shí)，
，單調(diào)遞增，，
所以，在單調(diào)遞減，
所以=，所以
（3）原式可整理為，
令，原式為，
由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
則為兩根，其中，不妨令，
要證，
即證，，
只需證，
令，，，
令，則，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減.
又，
故
，所以恒成立，
即成立，
所以，原式得證.
變式23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個(gè)命題：
①；②；③；
請(qǐng)從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明．
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)不合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
要，只需，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，則由得，
所以，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．
（2）當(dāng)時(shí)，，，
令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，
若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，
令得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，則，
設(shè)，因?yàn)?，，則，
因?yàn)椋?，?br>則，取對(duì)數(shù)得，
令，，則，即
①令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，
則，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即?br>亦即，
因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，
則，整理得，
所以，故①成立
②令，則，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，則，在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即，
所以，
即，故②成立．
③令，，則，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，則，
∴，則，
兩邊約去后化簡(jiǎn)整理得，即，
故③成立．
變式24．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性和最值；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：.
【解析】（1），其中
若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，
故無(wú)最值.
若，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故，無(wú)最小值.
（2）方程即為，
故，
因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以
所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即為：
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
所以，所以，
不妨設(shè)，，故，
要證：即證，
即證，即證，
即證，
設(shè)，則，
故，所以在上為增函數(shù)，
故，所以在上為增函數(shù)，
所以，故成立.
變式25．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知函數(shù).
(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，，
由可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
，由可得，列表如下：
所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：
且當(dāng)時(shí)，，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）證明：因?yàn)椋瑒t，
令，其中，則有，
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根、，令，，
則關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，
要證，即證，即證，即證，
由已知，所以，，整理可得，
不妨設(shè)，即證，即證，
令，即證，其中，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.
變式26．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中．
(1)若，求的極值：
(2)令函數(shù)，若存在，使得，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極小值為，無(wú)極大值.
（2）證明：，
令，則上述函數(shù)變形為，
對(duì)于，，則，即在上單調(diào)遞增，
所以若存在，使得，則存在對(duì)應(yīng)的、，
使得，
對(duì)于，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)，
所以，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
即，又，所以，
又的單調(diào)性可知，即有成立，
所以.
變式27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，都有，即，
亦即對(duì)恒成立.
令，只需.
.
令，則，所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單增，所以，
所以當(dāng)時(shí)，.
所以，所以在上單減，
所以.
所以.
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）可化為：.
令，上式即為.
由（1）可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則為的兩根，其中.
不妨設(shè)，要證，只需，即，
只需證.
令.
則
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
由零點(diǎn)存在定理可得：存在，使得.
當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減；
又，所以.
.
因?yàn)椋?，
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即證.
題型七：拐點(diǎn)偏移問(wèn)題
例19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
（2）若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：.
【解析】（1），切點(diǎn)為.
，.
切線為：，即.
（2）
.
令， ，，
，
，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù)，
，所以.
即.
得：，
得到，即：.
例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，證明：．
【解析】（1）根據(jù)題意，可知的定義域?yàn)椋?br>而，
當(dāng)時(shí)，，，
為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，存在大于1的實(shí)數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，；
不可能成立，
所以，即的取值范圍為.
（2）證明：不妨設(shè)，
正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，
有（1）可知，，
又為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，
又，
所以只要證明：，
設(shè)，則，
可得，
當(dāng)時(shí)，成立，
在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，
又，
當(dāng)時(shí)，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
例21．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)（?。┤魧?duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（ⅱ）設(shè)，且，求證:.
【解析】（1）由已知得，切點(diǎn)，
則切線斜率，
所以切線方程為.
（2）（?。┮李}意知，只要，，
因?yàn)椋?br>，，
所以在遞減，在遞增，
所以，，
所以，
解得：.
（ⅱ）證明：因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br>由得，
即，
令
令，，則，
，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以
即，
又因?yàn)椋?br>所以，即.
變式28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，求證：
【解析】試題分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到要證的結(jié)論．
解析：（1）①時(shí)，，即 ，則在和 上單增，在上單減；②時(shí)，，，則在上單增
③時(shí)，即，則在和上單增，在上單減.
（2）由得：；
；設(shè)函數(shù).因?yàn)?，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增；因而函數(shù)的最小值為.
由函數(shù)知，即，又，故.
變式29．（2023·江蘇鹽城·江蘇省東臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，．
(1)若在處取得極值，求的值；
(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵谔幦〉脴O值，
所以，解得．
驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，
令，即，解得；
令，即，解得；
在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值．
（2）因?yàn)椋?br>所以．
①若，， ，
所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．
②若，，
(i)當(dāng)時(shí)，，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(ii)當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(iii)當(dāng)時(shí)，，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）證明：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以．
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為．
所以，
即，所以或．
因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在滿(mǎn)足條件，
所以．
變式30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若在處取得極值，求的值；
(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求證：．
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)樵谔幦〉脴O值，
所以，解得：．
驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，
易得在處取得極大值．
（2）因?yàn)椋?br>所以，
①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②若，，
當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為1，
所以，
即，所以，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)不存在，滿(mǎn)足等號(hào)成立條件，
所以．
變式31．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對(duì)實(shí)數(shù)，令，正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求的最小值.
【解析】（1）.
若，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
若，當(dāng)時(shí)，，即在（，上均單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
若，則，即在上單調(diào)遞增.
若，當(dāng)時(shí)，，即在，上均單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，
，
，
，
令，，
由于，知當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增.
從而，，
于是，，即，
而，所以，
而當(dāng)，時(shí)，取最小值6.
變式32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：.
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵谔幦〉脴O值，
所以，解得．
驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，在處取得極大值．
（2）因?yàn)?
所以．
①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
②若，，
當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
（3）證明：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以．
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為．
所以，
即，所以或．
因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在滿(mǎn)足條件，
所以．
減
極小值
增
增
極大值
減

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