1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題01 玩轉(zhuǎn)指對(duì)冪比較大小
【方法技巧與總結(jié)】
（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大小.
（2）指、對(duì)、冪大小比較的常用方法：
①底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小；
③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大?。?br>④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定.
（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
【題型歸納目錄】
題型一：直接利用單調(diào)性
題型二：引入媒介值
題型三：含變量問(wèn)題
題型四：構(gòu)造函數(shù)
題型五：數(shù)形結(jié)合
題型六：特殊值法、估算法
題型七：放縮法
題型八：不定方程
【典例例題】
題型一：直接利用單調(diào)性
例1．（2022·江西·二模（文））已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．【答案】C
【解析】
【分析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】
，
因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以，
因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以
所以，
故選：C.
例2．（2022·陜西西安·一模（理））已知，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小
【詳解】
先比較，易知,故，即
又，故時(shí)，時(shí)
故， 而，故，有
故選：A
例3．（2022·河南·許昌高中高三開學(xué)考試（文））已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較大小，進(jìn)而得解.
【詳解】
，，
，
又為定義域上的增函數(shù)，
所以.
故選：D
題型二：引入媒介值
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算化為同底并結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可比較出的大小關(guān)系，分別與中間值比較，得出，分別與中間值比較，得出，綜合即可選出答案.
【詳解】
解：由題意，，，，
即，，
，
而，所以，
，而，
即，
又，，而，則，即，
同理，，，
而，則，即，
綜上得：，
所以.
故選：D.
例5．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分別求出，，的大致范圍，即可比較，，的大小.
【詳解】
由題意得，，故；
，
因，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)得，因此；
由勾股數(shù)可知，又因且，故；
因此.
故選：C.
例6．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
判斷sin2和的大小，比較a與、b與、c與的大小可判斷a與b大小關(guān)系及b與c大小關(guān)系，判斷a與、c與的大小可判斷a與c大小關(guān)系，從而可判斷a、b、c大小關(guān)系．
【詳解】
，
，即b，∴a>b；
∵，，∴，；
∵，，，；
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的值域求出sin2的范圍，以和兩個(gè)值作為中間值，比較a、b、c與中間值的大小即可判斷a、b、c的大?。?br>例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
先由題，易知，而，再將b，c作商，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及基本不等式，求得比值與1作比較即可得出答案.
【詳解】
因?yàn)?，?br>
所以 ，即
故選D【點(diǎn)睛】
本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及基本不等式的綜合，解題的關(guān)鍵是在于運(yùn)算的技巧以及性質(zhì)，屬于中檔偏上題型.
例8．（2022·北京通州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則，，的大小關(guān)系（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；
【詳解】
解：因?yàn)?，即?br>又，即，
所以，即，
綜上可得，
故選：A
題型三：含變量問(wèn)題
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知構(gòu)造函數(shù)，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.再求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最后由角的范圍得出三角函數(shù)的范圍可得選項(xiàng).
【詳解】
由題可設(shè)，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱.
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，
由對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，所以?br>又，，由對(duì)稱性可知，且，因?yàn)?，所以?br>又在上單調(diào)遞減，所以，所以，
故選：A.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查比較大小，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，并運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性得以解決.
例10．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知實(shí)數(shù)x，y，，且滿足，，則x，y，z大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，可得，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.
【詳解】
因，，則，即，
令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，
即，從而當(dāng)時(shí)，，令，，在上單調(diào)遞減，
則由，得，
所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及不同變量結(jié)構(gòu)相似的式子相等，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.
例11．（2022·天津·高三專題練習(xí)）已知，記，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：A
例12．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（文））若2meB．me>em>mmC．me>mm>emD．em>me>mm
【答案】D
【解析】
【分析】
利用冪指函數(shù)的單調(diào)性可得，，構(gòu)造函數(shù)()，可得，從而得到結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
下面比較與的大小，即比較與的大小，
考察函數(shù)()，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>，即，
所以，綜上：當(dāng)時(shí)，.
故選：D
例13．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則下列大小關(guān)系中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
A.構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大??；
B.構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大??；
C.構(gòu)造函數(shù)及函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大??；
D.將轉(zhuǎn)化為，判斷的大小關(guān)系即可.
【詳解】
，則，且，
A.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，A錯(cuò)誤；
B.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，B錯(cuò)誤；
C.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增， ，C正確；
D.
，
又，，D錯(cuò)誤；
故選：C.
例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化簡(jiǎn)，
再根據(jù)的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到其大小關(guān)系．
【詳解】
因?yàn)椋?
函數(shù)在和上均單調(diào)遞減，
又，所以 而,
所以，即，可知最小．
由于，所以比較真數(shù)
與的大小關(guān)系.當(dāng)時(shí)，，所以,
即. 綜上,．
故選：D．
（多選題）例15．（2022·山東威?！と＃┤簦?，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別可判斷A、B、C，結(jié)合C和對(duì)數(shù)換底公式即可判斷D.
【詳解】
對(duì)于A，∵冪函數(shù)y=在單調(diào)遞增，∴根據(jù)可知，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，∵指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，∴根據(jù)可知，故B正確；
對(duì)于C，∵對(duì)數(shù)函數(shù)y=()在上單調(diào)遞減，∴根據(jù)可知，故C正確；
對(duì)于D，由C可知，∴，即，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
（多選題）例16．（2022·廣東佛山·三模）已知，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
作差法判斷選項(xiàng)A；利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷選項(xiàng)B；利用冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去判斷選項(xiàng)C；舉反例排除選項(xiàng)D.
【詳解】
選項(xiàng)A：
由，可得，
則，，
則，則.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：由，可得為上減函數(shù)，
又，則.判斷正確；
選項(xiàng)C：由，可知為R上減函數(shù)，又，則
由，可知為上增函數(shù)，又，則，則
又為上增函數(shù)，則，則.判斷正確；
選項(xiàng)D：令，則，
，
則，即.判斷錯(cuò)誤.故選：BC
題型四：構(gòu)造函數(shù)
例17．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷，即可得解；
【詳解】
解：令，則，則在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，令，，則，因?yàn)?，所以，令，，則，即在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，綜上可得；
故選：A
例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】作差法比較出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較出，從而得出.
【詳解】
，所以，故，又，則在上單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，且在時(shí)，，在時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，其中因?yàn)?，所以，所以，故，?
故選：B
例19．（2022·河南洛陽(yáng)·三模（理））已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，，求其單調(diào)性，從而判斷，，的大小關(guān)系.
【詳解】
構(gòu)造，，
，
在時(shí)為減函數(shù)，且，
所以在恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，即.
故選：D
【點(diǎn)睛】
對(duì)于指數(shù)式，對(duì)數(shù)式比較大小問(wèn)題，通常方法是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小，稍復(fù)雜的可能需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行比較大小，要結(jié)合題目特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，比較出大小.
例20．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，進(jìn)而可得，可得，再利用函數(shù)，可得，即得.
【詳解】
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，
，，
∵，
∴，故，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，所以時(shí)，，即，
∴，
又，
∴，
故.故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題解題關(guān)鍵是構(gòu)造了兩個(gè)不等式與進(jìn)行放縮，需要學(xué)生對(duì)一些重要不等式的積累.
例21．（2022·新疆·模擬預(yù)測(cè)（理））實(shí)數(shù)，，分別滿足，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意得，，，然后與作差結(jié)合基本不等式比較大小，構(gòu)造函數(shù)，可判斷其在上單調(diào)遞減，則，化簡(jiǎn)可得，則，則可比較出與的大小即可
【詳解】
由題意得，，，則
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，
所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋裕?br>所以，
故選：B
例22．（2022·四川雅安·二模）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由于，，，所以只要比較的大小即可，然后分別構(gòu)造函數(shù)，，判斷出其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小即可
【詳解】
因?yàn)椋?，?br>所以只要比較的大小即可，
令，則，所以在 上遞增，
所以，所以，
所以，即，
令，則，
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上為減函數(shù)，
因?yàn)椋?br>要比較與的大小，只要比較與的大小，令，則，
所以在上遞增，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
故選：D
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知的數(shù)變形，然后合理構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題
例23．（2022·浙江·高三專題練習(xí)），則a，b，c的大小順序?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而比較，，的大小，若有兩個(gè)解，則，，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)確定，進(jìn)而得到，即可判斷a、c的大小，即可知正確選項(xiàng).
【詳解】
令，則，，，
而且，即時(shí)單調(diào)增，時(shí)單調(diào)減，又，
∴，.
若有兩個(gè)解，則，，
即，，
令，則，即在上遞增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴當(dāng)時(shí)，，故，
綜上：.
故選：A
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大小.
題型五：數(shù)形結(jié)合（交點(diǎn)問(wèn)題）
（多選題）例24．（2022·河北邯鄲·一模）下列大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A、B選項(xiàng)畫出和的圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行比較，C選項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)作減法，借助對(duì)數(shù)運(yùn)算及基本不等式進(jìn)行比較.
【詳解】
作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，，故A，B正確.
令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤.
，所以，故D正確.
故選：ABD.
例25．（2022·廣東茂名·一模）已知均為大于0的實(shí)數(shù)，且，則大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再作出圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】
解：因?yàn)榫鶠榇笥?的實(shí)數(shù)，
所以，
進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，
故作出函數(shù)圖像，如圖，
由圖可知
故選：C
例26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則，，的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
函數(shù)的零點(diǎn)直接求解即可，函數(shù)的零點(diǎn)利用零點(diǎn)存在性定理求解即可，從而可得答案
【詳解】
解：令，則，得，即，
令，則，得，即，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，所以在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，且，
綜上，，
故選：B
例27．（2022·全國(guó)·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知為函數(shù)的零點(diǎn)，，，則、、的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．【答案】B
【解析】
【分析】
對(duì)、，同時(shí)進(jìn)行6次方運(yùn)算，利用的單調(diào)性比較大小；
先利用零點(diǎn)存在定理判斷出：.
對(duì)、，同時(shí)進(jìn)行3次方運(yùn)算，利用的單調(diào)性比較大??；
對(duì)、b，同時(shí)進(jìn)行平方運(yùn)算，利用的單調(diào)性比較大小.
【詳解】
因?yàn)?，?br>所以，，
所以.
因?yàn)樵谏蠁卧?，所?
因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，所以
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)a.
又，因?yàn)椋?所以；
，因?yàn)?，所以，所以；由零點(diǎn)存在定理，可得：.
所以，，所以.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以
因?yàn)椋?，而，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以
所以.
故選：B
例28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則與的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．不確定
【答案】C
【解析】
【分析】
令，結(jié)合題意可知，進(jìn)而有，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算性質(zhì)即可求解
【詳解】
令，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
由，得
考慮到得，
由，得，
即
故選：C
題型六：特殊值法、估算法
例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
對(duì)給定的冪或?qū)?shù)變形，借助冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合“媒介”數(shù)即可判斷作答.
【詳解】依題意，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，于是得，即，
函數(shù)在單調(diào)遞增，并且有，
則，
于是得，即，則，
又函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則有，
所以.
故選：C
例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
結(jié)合已知條件，比較和的大小，進(jìn)而可得到和的大小，然后利用介值比較與的大小，利用介值和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得和的大小，進(jìn)而得出答案.
【詳解】
由，，可知，
又由，從而，可得，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，從而，即?br>由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，
綜上所述，.
故選：B.例31.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））三個(gè)數(shù)，，的大小順序?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行變換，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明，由此得出三者的大小關(guān)系.
【詳解】
，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.
故選：D
例32．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））若，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得到，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合放縮法得到即可求解．
【詳解】
，，，
，，，
，， ，
故選：．
例33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)將化簡(jiǎn)為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關(guān)系，再根據(jù)兩個(gè)指數(shù)冪的大小結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可比較a,b大小，即可得答案.
【詳解】
由題意：，，故．
又，即，所以，即，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，故，即?br>所以，所以，
所以，所以，
故選：B.
題型七：放縮法
例34．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)，，，則，，的大小順序?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)a、b、c的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可比較出a、b、c的大小，得到正確答案.
【詳解】
因?yàn)椋?，?gòu)造函數(shù)，
則，，，，
在上遞增，在上遞減.則有最大，即，.
若有兩個(gè)解，則，
所以所以
即,
令，則，
故在上單增,所以，
即在上，.
若，則有，即.
故，所以.
當(dāng)時(shí)，有，故
所以.
綜上所述：.
故選：A
例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝，則m，n，p的大小關(guān)系是（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（ ）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
【答案】C【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件，應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的換底公式，可比較m，n，的大小關(guān)系，再由指數(shù)的性質(zhì)有p＝，即知m，n，p的大小關(guān)系.
【詳解】
由題意得，m＝lg4ππ，
，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，則lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，
∴，
∴，而p＝，
∴n＜m＜p．
故選：C．
例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)比較與的大小，利用作商法比較的大小.
【詳解】
由,
因?yàn)?，故?br>所以，
因?yàn)?，故?br>所以
因?yàn)?，故，因?yàn)椋剩?br>所以，
所以，
故，
故選：A
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將寫成對(duì)數(shù)，，利用函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)大小即可，利用作商及放縮的方法可得的大小，屬于較難題目.
例37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到，從而得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到，從而得到和，即可得到答案.
【詳解】
設(shè)，，令，解得.
，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù).
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以.
故，即.
設(shè)，，令，解得.
，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù).
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以.
所以，又因?yàn)?，所?
又因?yàn)?，所以?br>即，綜上.
故選：B
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決比較大小問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵為構(gòu)造函數(shù)和，屬于難題.
例38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根據(jù)比較b，c的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)比較a，b的大小關(guān)系，即可得解.
【詳解】
，所以，
構(gòu)造函數(shù)，
，
，所以，
，必有，，所以
所以，
即
所以單調(diào)遞減，所以
即，
所以
故選：A
【點(diǎn)睛】
此題考查比較三角函數(shù)值的大小，常利用中間值比較，或構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.
例39．（2022·河南開封·三模（理））已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列大小關(guān)系不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
對(duì)所給條件反復(fù)代換，利用正數(shù)的指數(shù)大于0等條件，將所得的結(jié)論繼續(xù)應(yīng)用到等式中去，可判斷選項(xiàng)中的結(jié)論正誤.
【詳解】
由題可知：，，
∴，∴，B選項(xiàng)正確；
∵，∴，∴，∴，∴，C選項(xiàng)正確；
∵，∴，∴，A選項(xiàng)正確；
，而，矛盾，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D.
例40．（2022·四川·樂(lè)山市教育科學(xué)研究所二模（文））設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用其單調(diào)性判斷.【詳解】
解：設(shè)，則，
所以在上遞減，所以，即，
設(shè)，則，遞增，
則，即，
所以，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，則遞減，又，
所以當(dāng)時(shí)，，遞減，
則，即，
因?yàn)?，則，
所以，即，
故，
故選：D
例41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，，則，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．無(wú)法比較
【答案】A
【解析】
【分析】
從選項(xiàng)A或C出發(fā)，分析其對(duì)立面，推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.
【詳解】
假設(shè)，則，，
由得，
因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；
由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；
即有與假設(shè)矛盾，所以，
故選：A
題型八：不定方程
例42．（2022·寧夏·銀川一中一模（文））已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，再根據(jù)已知條件即可得出答案.
【詳解】
解：設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，故，
所以，又，
所以，
所以.
故選：C．
例43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，則，，的大小排序?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：首先設(shè)，利用指對(duì)互化，表示，，，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象判斷大??；方法二：由條件可知，再利用對(duì)稱運(yùn)算，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較大小.
【詳解】
方法一：設(shè).
則，，，
又，所以，可得.
方法二：由.
得，即
，
可得.
故選：D
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查由條件等式，比較大小，本題的關(guān)鍵是熟悉指對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，變形，以及指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.
例44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)，，滿足且，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由得出，排除兩個(gè)選項(xiàng)，然后引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，引入函數(shù)設(shè)，由導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，然后比較的大小得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵實(shí)數(shù)，，滿足，，
∴，，則排除B，C選項(xiàng)，令，
所以，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，即，
∴，
∴，設(shè)，，在上單調(diào)遞減，則，
∴，排除D選項(xiàng).
故選：A.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，解題方法利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合中間值，比較大?。?br>例45．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）己知實(shí)數(shù)，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
對(duì)利用換底公式等價(jià)變形，得，結(jié)合的單調(diào)性判斷，同理利用換底公式得，即，
再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，結(jié)合單調(diào)性， ，繼而得解.
【詳解】
由可得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，即，其次，，所以，
又因?yàn)榍覇握{(diào)遞增，所以由可知，綜上，．
故選：A
（多選題）例46．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
設(shè)，可得，，；根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和換底公式可表示出和，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定結(jié)果.
【詳解】
為正數(shù)，可設(shè)，則，，；
對(duì)于AB，，
，，又，，A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，，
，，又，，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：AD.

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