1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題15單調(diào)性問題
【考點(diǎn)預(yù)測】
知識(shí)點(diǎn)一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題
1．函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2．已知函數(shù)的單調(diào)性問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．
知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；
（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；
（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；
（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；
（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；
求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．
（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；
（3）恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；
（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；
【方法技巧與總結(jié)】1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.
注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.
【題型歸納目錄】
題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像
題型二：求單調(diào)區(qū)間
題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍
題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論
題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論
情形一：函數(shù)為一次函數(shù)
情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)
情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型
1.可因式分解
2.不可因式分解型
情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型
題型六：分段分析法討論
【典例例題】
題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像
例1．（2022·陜西·漢臺(tái)中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·云南曲靖·二模（文））設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是( )
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）.
題型二：求單調(diào)區(qū)間
例4．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)滿足，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．(-?,0)B．(1,+∞)C．(-?,1)D．(0,+∞)
例5．（2021·西藏·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是( )
A．B．C．D．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：
（1）求的定義域
（2）求出.
（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出，穿針引線.
（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.
題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，3)，則b＋c＝（ ）
A．－12B．－10C．8D．10
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
例13．（2022·河北·高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是_________．
例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若函數(shù)h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
例15．（2020·江蘇·邵伯高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值是______.
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等.
（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍.
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.
題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論
例17．（2022·山東臨沂·三模）已知函數(shù)，其圖象在處的切線過點(diǎn)．
(1)求a的值；
(2)討論的單調(diào)性；
例18．（2022·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
例19．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a的值．(2)當(dāng)時(shí)．設(shè)函數(shù)，求證：與在上均單調(diào)遞增；
例20．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù).
當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間
題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論
情形一：函數(shù)為一次函數(shù)
例21．（2022·江西·二模（文））己知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
例22．（2022·北京八十中模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
例23．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
討論函數(shù)的單調(diào)性；
情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)
例24．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)函數(shù)，其中.
當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
例25．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知函數(shù) ，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
例26．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，其中.
討論的單調(diào)性；
例27．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).
討論的單調(diào)性；
情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型
1.可因式分解
例28．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
討論的單調(diào)性；
例29．（2022·天津·二模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
例30．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)
討論f（x）的單調(diào)性；
例31．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)．
討論函數(shù)的單調(diào)性；
例32．（2022·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性；
例33．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
例34．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
2.不可因式分解型
例35．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．
討論函數(shù)的單調(diào)性；
例36．（2022·天津南開·三模）已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為
討論的單調(diào)性；
【方法技巧與總結(jié)】
1．關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．
2．需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．
3．利用草稿圖像輔助說明．
情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型例37．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)．
討論的單調(diào)性;
例38．（2022·全國·二模（理））已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
例39．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中．
試討論函數(shù)的單調(diào)性；
例40．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
討論的單調(diào)性；
題型六：分段分析法討論
例41．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（，且）
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【方法技巧與總結(jié)】
1．二次型結(jié)構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，變號(hào)函數(shù)為一次函數(shù)．此種情況是最特殊的，故應(yīng)最先討論，遵循先特殊后一般的原則，避免寫到最后忘記特殊情況，導(dǎo)致丟解漏解．
2．對(duì)于不可以因式分解的二次型結(jié)構(gòu)，我們優(yōu)先考慮參數(shù)取值能不能引起恒正恒負(fù)．
3．注意定義域以及根的大小關(guān)系．
【過關(guān)測試】一、單選題
1．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．或
2．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（理））已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·江西師大附中三模（理））下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測（文））“函數(shù)在上是增函數(shù)”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測）已知,且為自然對(duì)數(shù)),則下列結(jié)論一定正確的是
（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（2022·廣東·信宜市第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，下列說法正確的是（ ）
A．在處的切線方程為B．的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．的極大值為D．方程有兩個(gè)不同的解
10．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意，都有，則使不等式成立的的值可以為（ ）
A．B．1C．2D．3
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（ ）
A．y＝x﹣（）xB．y＝x+sinx
C．y＝3﹣xD．y＝x2+2x+1
12．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（ ）
A．B．C．1D．
三、填空題
13．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測（理））若命題為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
14．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）寫出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)____________.
①的定義域?yàn)椋?br>②；
③當(dāng)時(shí)，.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果 ，則的取值范圍是___________．
16．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，若非零正實(shí)數(shù)滿足，則的小值是_______．
四、解答題
17．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)無零點(diǎn)，求的取值范圍．
18．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（文））已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中k∈R.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，.

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