重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用正弦定理，結(jié)合題中所給的條件，求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)正弦定理可得，
即，解得，
故選：B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題目.
2. 已知向量 , 則ABC=
A. 30B. 45C. 60D. 120
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：由題意，得，所以，故選A．
【考點(diǎn)】向量的夾角公式．
【思維拓展】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題．
3. 下列各式中不能化簡為的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量加、減運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】對(duì)于A：，故A不合題意；
對(duì)于B：，故B滿足題意；
對(duì)于C：，故C不合題意；
對(duì)于D：，故D不合題意.
故選：B
4. 已知單位向量，滿足，若向量，則＝（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計(jì)算出，及，從而利用向量余弦夾角公式計(jì)算得到，再利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出.
【詳解】因?yàn)?，是單位向量?br>所以，
又因?yàn)?，?br>所以，
，
所以，
因?yàn)椋?br>所以．
故選：B．
5. 若平面向量，滿足，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，的最小值是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)向量夾角為，設(shè)與的夾角為，利用和，得到，進(jìn)而得到的最小值
【詳解】由題意得，設(shè)向量夾角為，則，
，設(shè)與的夾角為，
，，
，，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用，
得到，關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)與的夾角，得出的最小值，難度屬于中檔題
6. 如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，G為EF上的一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可根據(jù)條件得出，并可設(shè)，然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得出，從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出，解出即可．
【詳解】解：，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
，
設(shè)
，
又，
，解得.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
7. 所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量基本定理，用作為基底表示出.即可求得，由余弦二倍角公式即可求得.
【詳解】所在平面內(nèi)一點(diǎn)，
所以
因?yàn)?br>所以
由余弦二倍角公式可得
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)a、b、c使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則的值為（）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，由此得出方程組，分和，兩種情況討論，即可求解.
【詳解】設(shè)，
可得，其中，且，
因?yàn)閷?shí)數(shù)使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以
由上式對(duì)任意恒成立，故必有，
若，則由式①知，顯然不滿足式③，所以，
所以，由式②知，則，
當(dāng)時(shí)，則式①，③矛盾.
所以，由式①，③知，所以.
故選：B.
【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：有關(guān)三角函數(shù)綜合問題的求解策略：
1、根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而加深理解函數(shù)的性質(zhì).
2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 已知、、均為非零向量，下列命題錯(cuò)誤的是（）
A. ，B. 可能成立
C. 若，則D. 若，則或
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量積的定義可判斷A選項(xiàng)；利用特例法可判斷BCD選項(xiàng).
【詳解】仍是向量，不是向量，A錯(cuò)；
不妨取，，，則，
，此時(shí)，B對(duì)；
若，，，則，但，C錯(cuò)；
若，，則，但，，D錯(cuò).
故選：ACD.
10. 若直線與函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)，，已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先判斷的奇偶性，即可判斷A，從而得到、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出、，即可判斷B、C，設(shè)，則，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷D.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>則，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由，所以，所以為奇函數(shù)，
又直線與函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)，，
則、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且、的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以，又，，
所以，解得，所以，則，又，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，又，故C正確；
對(duì)D，不妨設(shè)，則，
所以，，
，，
所以
，故D正確.
故選：CD
11. 已知，且方程無實(shí)數(shù)根，下列命題正確的是（）
A. 方程也一定沒有實(shí)數(shù)根
B. 若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立
C. 若，則必存在實(shí)數(shù)，使成立
D. 若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】依題意可得函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，所以或恒成立，從而得到或恒成立，然后再逐一判斷即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榉匠虩o實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，
所以或恒成立.
因?yàn)榛蚝愠闪ⅲ?br>所以沒有實(shí)數(shù)根，故A正確；
若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，故B正確；
若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，
所以不存在實(shí)數(shù)，使，故C錯(cuò)誤；
若，則，可得，因此不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，故D正確；
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為_____（用坐標(biāo)表示）．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定義求解.
【詳解】向量在向量上的投影向量是，
故答案為：.
13. 如圖，在和中，是的中點(diǎn)，，，若，則與的夾角的余弦值等于______.

【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)得，由求，又，即可得，進(jìn)而求與的夾角的余弦值.
【詳解】由圖知：，，
∴，
又，且，，
∴，
∴，而，即，
又，
∴.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)幾何圖形，結(jié)合向量加減法的幾何應(yīng)用及數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，進(jìn)而求向量夾角余弦值.
14. 已知平面向量，，，，滿足，，，則的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】先將所求向量式轉(zhuǎn)化變形，參變向量分離，再由變形向量式的幾何意義判斷最值狀態(tài)，最后坐標(biāo)運(yùn)算求解最值.
【詳解】設(shè)，
則
設(shè)，，不妨設(shè)，，
，，，即為的重心.
則，
點(diǎn)位于圓上或圓內(nèi)，故當(dāng)在射線與圓周交點(diǎn)時(shí)，最大，即最大時(shí).
由得，.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】向量式的最值問題求解，要重視三個(gè)方面的分析：一是其本質(zhì)上與函數(shù)的最值求解一致，變形時(shí)要搞清參變向量，從而把握變形方向；二是要重視向量本身數(shù)形兼具的特點(diǎn)，利用幾何意義求解最值；三是坐標(biāo)應(yīng)用，向量坐標(biāo)化將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在△中，為中線上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，.
（1）用向量，表示；
（2）設(shè)向量，，求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合向量線性運(yùn)算，再用，表達(dá)即可；
（2）用，表達(dá)，結(jié)合三點(diǎn)共線即可求得.
【小問1詳解】
∵中線上一點(diǎn)，且，
∴
；
小問2詳解】
∵，，，
∴，又，，三點(diǎn)共線，
∴，解得，故的值為.
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，滿足.
（1）求的值；
（2）已知，，，若函數(shù)最大值為3，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
【分析】(1) 化簡得，即得的值；（2）先求出，再換元利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）由題意知，，即，
所以，即.
（2）易知，，，
則，，
所以，
令，
則，，其對(duì)稱軸方程是.
當(dāng)時(shí)，的最大值為，解得；
當(dāng)時(shí)，的最大值為，解得（舍去）.
綜上可知，實(shí)數(shù)的值為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積，考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.
17. 如圖，在等腰梯形中，，，，是的中點(diǎn).
（1）記，且，求，值；
（2）記，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由，將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律及定義得到方程，解得即可；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示出數(shù)量積，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【小問1詳解】
依題意，
所以，
即，
即，又，解得，（負(fù)值舍去）；
【小問2詳解】
過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，?br>所以，，，，，
所以，，，
因?yàn)?，所?br>所以，
所以
，
令，，
設(shè)且，則，
當(dāng)時(shí)，，則，又，
所以；
當(dāng)時(shí)，，則，又，
所以；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，且，
所以，
所以，即的取值范圍為.
18. 如圖，A?B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（O為圓心），且（為銳角）.點(diǎn)C為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段交線段于點(diǎn).
（1）求（結(jié)果用表示）；
（2）若
①求的取值范圍：
②設(shè)，記，求函數(shù)的值域.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義以及幾何意義結(jié)合圖形分析運(yùn)算；
（2）①根據(jù)數(shù)量積結(jié)合三角函數(shù)運(yùn)算求解；②結(jié)合圖形分析可得，根據(jù)向量的相關(guān)知識(shí)運(yùn)算整理，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值，運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
【小問2詳解】
①.
設(shè).由題意得，則
所以
因?yàn)椋瑒t
所以，則；
（2）設(shè)，
則，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
即.
，令
∵，則，即
∴在上單調(diào)遞增，則
所以函數(shù)值域是.
19. 如圖所示，為等邊三角形，，為的內(nèi)心，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).
（1）求出的值.
（2）求的范圍.
（3）若，當(dāng)最大時(shí)，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，依題意點(diǎn)在圓上，設(shè)，即可表示，，，根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)表示及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
（2）由（1）知，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（3）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，得到，又，兩邊同除，令，，將原式化為，再根據(jù)求出的取值范圍，即可得解；
【小問1詳解】
以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
由正弦定理得外接圓半徑，則，進(jìn)而可得，．
因?yàn)辄c(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)，
則，，，
所以
．
【小問2詳解】
由（1）知，
又因?yàn)?，所以?br>即.
【小問3詳解】
因?yàn)?br>，
所以，
代入整理得，，
顯然，兩邊同時(shí)除以，
得，
令，，則，
即，
所以，即，
解得，所以（即）的最大值為．
此時(shí)，所以，
所以，，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)及不等式問題.

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