1.理解圓心角及其所對(duì)的弧、弦之間的關(guān)系；
2.理解并運(yùn)用圓周角定理及其推論；
3.探索并證明垂徑定理會(huì)應(yīng)用垂徑定理解決與圓有關(guān)的問題；
4.理解并運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
考點(diǎn)1： 圓的定義及性質(zhì)
圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形
成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。
圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。
圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。
圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；
2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。
考點(diǎn)2：圓的有關(guān)概念
弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。
直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。
備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍。
弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。
劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。
考點(diǎn)3：垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；
2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長度；
有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分
考點(diǎn)4：垂徑定理的應(yīng)用
經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答
考點(diǎn)5：圓心角的概念
圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。
考點(diǎn)6：圓角角的概念
圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角= 12 圓心角）
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。
在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
考點(diǎn)7：圓內(nèi)接四邊形
圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。
即：在⊙中， ∵四邊是內(nèi)接四邊形
∴

【題型1：垂徑定理及推論】
【典例1】（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（ ）
A．20mB．28mC．35mD．40m
1．（2023?長沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長度為 ．
2．（2023?宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長為（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2023?衢州）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于 cm．
【題型2：圓周角和圓心角】
【典例2】（2023?廣西）如圖，點(diǎn)A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
1．（2023?甘孜州）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2023?河南）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【題型3：弧、弦、圓心角】
【典例3】（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．80°
1．（2023?泰安）如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點(diǎn)，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
2．（2023?棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
3．（2023?宜賓）如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，C為的中點(diǎn)．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（ ）
A．140°B．120°C．110°D．70°
4．（2023?牡丹江）如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．20°B．18°C．15°D．12°
【題型4：圓內(nèi)接四邊形】
【典例4】（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
1．（2023?朝陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半徑為3，則的長為（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
2.（2023?寧夏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AD至點(diǎn)E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝ °．
3．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（ ）
A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
一．選擇題（共9小題）
1．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，則∠AOB的度數(shù)為（ ）
A．38°B．76°C．80°D．60°
2．如圖，△ABC的三點(diǎn)都在⊙O上，AB是直徑，∠BAD＝50°，則∠ACD的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
3．把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝4cm，則球的半徑長是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，連接AC，若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．110°D．130°
5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝35°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．則∠ADC的大小是（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
7．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，則⊙O的半徑長為（ ）
A．2B．2C．4D．10
8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
9．如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點(diǎn)E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，則所對(duì)的圓心角的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
二．填空題（共5小題）
10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長線上一點(diǎn)，若∠BAD＝105°，則∠DCE的度數(shù)是 °．
11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，若∠ABD＝62°，則∠C的度數(shù)是 ．
12．如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個(gè)引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為 cm．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為 ．
14．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，則∠ADC＝ ．
三．解答題（共1小題）
15．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為多少？
一．選擇題（共10小題）
1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．100°B．128°C．104°D．124°
2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，則∠OEB的度數(shù)為（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
3．如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在AB上，若四邊形ACBO為菱形，則∠APB為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC＝26°，則∠DCA的度數(shù)為（ ）
A．38°B．40°C．42°D．44°
5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則BC的長為（ ）
A．5B．3C．2D．1
6．如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則BC的長是（ ）
A．B．πC．2πD．4 π
7．如圖，AB為圓O一條弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于點(diǎn)D，在圓上取一點(diǎn)C，連接AC交OD于M，連接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，則AM＝（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長線相交于點(diǎn)E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACB＝36°，則∠ABO的度數(shù)為（ ）
A．36°B．45°C．54°D．72°
10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
二．填空題（共4小題）
11．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠B＝35°，∠APD＝77°，則∠A的大小是 度．
12．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB，交⊙O于點(diǎn)D，若AB＝6，則BD的長為 ．
13．紹興市是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為 m．
14．如圖，點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，∠ABD＝70°，C為劣弧BD上一點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)為 ．
三．解答題（共2小題）
15．如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．
（1）求該圓弧所在圓的半徑；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．
16．圖1是某希望小學(xué)放心食堂售飯窗口外遮雨棚的示意圖（尺寸如圖所示），遮雨棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是遮雨棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．遮雨棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋遮雨棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留π ）．
1．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
2．（2023?淄博）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長交⊙O于點(diǎn)E．若AD＝2，DE＝3，則⊙O的半徑為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎc(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，則的長為（ ）
A．300πmB．200πmC．150πmD．100πm
4．（2023?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（ ）
A．56°B．33°C．28°D．23°
5．（2023?涼山州）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，則OC＝（ ）
A．1B．2C．2D．4
6．（2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是 °．
7．（2023?襄陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝ 度．
8．（2023?紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是 ．
9．（2023?永州）如圖，⊙O是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為 cm．
10．（2023?常德）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是弦AB的中點(diǎn)，D在上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出長l的近似值s計(jì)算公式：，當(dāng)OA＝2，∠AOB＝90°時(shí)，|l﹣s|＝ ．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

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