中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題1.11 有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型（滬科版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共36題，共六大題型，每個題型6題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型的理解！
【題型1 數(shù)列型規(guī)律探究】
1．（2023春·山東濟(jì)寧·六年級統(tǒng)考期末）如圖，將大小相同的小圓規(guī)律擺放：第1個圖形有5個小圓，第2個圖形有8個小圓，第3個圖形有11個小圓，…依此規(guī)律，第n個圖形的小圓個數(shù)是（）
A．3n?2個B．3n+2個C．5n+1個D．5n?1個
【答案】B
【分析】觀察圖形的變化先計算出前幾個圖形的小圓的個數(shù)，進(jìn)而可得第n個圖形的小圓個數(shù)．
【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1個圖形有5個小圓，即5=2×1+3，
第2個圖形有8個小圓，即8=2×2+3+1，
第3個圖形有11個小圓，即11=2×3+3+2，
?
依此規(guī)律，第n個圖形的小圓個數(shù)是：2n+3+n?1=3n+2 ，
故選：B．
【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是先計算出前幾個圖形的小圓的個數(shù)，找到規(guī)律．
2．（2023春·安徽滁州·七年級?？计谥校┠撤N細(xì)胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律，8小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是（）
A．253B．255C．257D．259
【答案】C
【分析】從特殊出發(fā)，歸納得到一般規(guī)律即可完成．
【詳解】解：根據(jù)題意，1小時后分裂成4個并死去1個，剩3個，3＝2+1；
2小時后分裂成6個并死去1個，剩5個，5＝22+1；
3小時后分裂成10個并死去一個，剩9個，9＝23+1；
……
n個小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是2n+1，
當(dāng)n＝8時，存活個數(shù)是28+1＝257．
故選：C．
【點睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)前幾個的情況得出一般規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示：下列各三角形中的三個數(shù)均有相同的規(guī)律，由此規(guī)律最后一個三角形中，y的值是（）
A．380B．382C．384D．386
【答案】B
【分析】根據(jù)已知圖形得出下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：由4＝1×2+2，
8＝2×3+2，
14＝3×4+2，
22＝4×5+2，
得到規(guī)律：下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，
y＝19×20+2＝382，
故選：B．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出右邊數(shù)字是左邊數(shù)字與1的和，下面數(shù)字是上面兩個數(shù)字乘積與2的和．
4．（2023春·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上，點A表示數(shù)1,現(xiàn)將點A沿數(shù)軸作如下移動，第一次將點A向左移動3個單位長度到達(dá)點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達(dá)點A2，第三次將點A2向左移動9個單位長度到達(dá)點A3，…，按照這種移動規(guī)律進(jìn)行下去，第2021次移動到點A2021，那么點A2021所表示的數(shù)為（）
A．?3029B．?3032C．?3035D．?3038
【答案】B
【分析】從A的序號為奇數(shù)的情形中，尋找解題規(guī)律求解即可.
【詳解】∵A表示的數(shù)為1，
∴A1=1+（-3）×1=-2，
∴A2=-2+（-3）×（-2）=4，
∴A3=4+（-3）×3=-5= -2+（-3），
∴A4=-5+（-3）×（-4）=7，
∴A5=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2，
∴A2021= ?2+2021?12×(?3)=?3032，
故選B.
【點睛】本題考查了數(shù)軸上動點運動規(guī)律，抓住序號為奇數(shù)時數(shù)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
5．（2023春·江西上饒·七年級?？计谥校┌阉姓麛?shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，現(xiàn)用等式 AM=(i，j)表示正整數(shù) M 是第i 組第 j 個數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
【答案】D
【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個數(shù)即可求解；
【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個數(shù)規(guī)律可以表示為：2n-1
則1+3+5+7+???+(2n-1)=12×2n×n=n2，
當(dāng)n=44時，n2=1936 ，
當(dāng)n=45時，n2=2025，
∴ 2020在第45組，且2020-1936=84，即2020為第45組的第84個數(shù)；
故選：D．
【點睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問題的常用方法；
6．（2023春·湖南永州·九年級校考期中）觀察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，則72020的個位數(shù)字是．
【答案】1
【分析】根據(jù)7的指數(shù)從1到5，末位數(shù)字從7，9，3，1，7進(jìn)行循環(huán)，再用2020除以4得出余數(shù)，再寫出72020個位數(shù)字．
【詳解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的幾個式子，易知1次方為末位數(shù)字是7，2次方末位數(shù)字是為9，3次方末位數(shù)字是為3，4次方末位數(shù)字是為1，5次方末位數(shù)字是為7，
∴個位數(shù)字的變化是以7，9，3，1為周期，即周期為4，
∵2020÷4=505，
∴72020的個位數(shù)字為1，
故答案為：1．
【點睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，觀察出結(jié)果個位數(shù)字的特點是解本題的關(guān)鍵．
【題型2 裂差型規(guī)律探究】
1．（2023春·浙江杭州·七年級期末）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為12的矩形，接著把其中一個面積為12的矩形等分成兩個面積為14的矩形，再把其中一個面積為14的矩形等分成兩個面積為18的矩形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形所揭示的規(guī)律計算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．
【答案】511256
【分析】根據(jù)題意及圖形可得12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，….依此規(guī)律可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由圖及題意可得：
12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，…；
依此規(guī)律可得：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= 511256；
故答案為：511256．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加減，關(guān)鍵是根據(jù)題意及圖形得到規(guī)律，然后進(jìn)行求解即可．
2．（2023春·福建泉州·七年級福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）觀察下列等式：
第1個等式：a1=11×3=12×1?13；第2個等式：a2=13×5=12×13?15；
第3個等式：a3=15×7=12×15?17；第4個等式：a4=17×9=12×17?19；
…
請回答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a5=_________=_________；
（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an=_________=_________(n為正整數(shù))；
（3）求a1+a2+a3+???+a2018的值．
（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值
【答案】（1）19×11=12×19?111；（2）12n?12n+1=1212n?1?12n+1；（3）20184037；（4）40310100
【分析】（1）根據(jù)前面4個等式找到規(guī)律即可得出第5個等式；
（2）由題意可知：分子為1，分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，可以拆成分子是1，分母是以這兩個奇數(shù)為分母差的一半，由此得出答案即可；
（3）依照上述規(guī)律，相加后，采用拆項相消法即可得出結(jié)果；
（4）模仿上述規(guī)律，相加后，采用拆項相消法即可得出結(jié)果．
【詳解】解：(1)19×11=12×(19?111)；
(2)1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1?12n+1)；
(3)a1+a2+a3+a4+…+a2018，
=12×(1?13+13?15+?+14035?14037)，
=12×(1?14037)，
=20184037；
(4)15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020，
=15×(15?110+110?115+115?120+120?125+?+12015?12020)，
=15×(15?12020)，
=15×4032020，
=40310100．
【點睛】本題考查的是有理數(shù)運算中的規(guī)律探究，掌握“從具體到一般的探究方法，并運用運算規(guī)律解決問題”是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·北京·七年級景山學(xué)校校考期中）在有些情況下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式：
①|(zhì)7＋2|＝；
②|－12＋15|＝；
（2）用簡單的方法計算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．
【答案】（1）①7+2；②12?15；（2）20194042
【分析】（1）①②根據(jù)正數(shù)的絕對值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對值是其相反數(shù)可得答案；
（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡，再相互抵消可得答案．
【詳解】解：（1）①∵7+2>0 ，
∴|7＋2|＝7+2；
②∵?12+15b，則代數(shù)式中絕對值符號可直接去掉，代數(shù)式等于a，由此即可解決問題．
【詳解】（1）解：①∵a⊕b=12(|a?b|+a+b),a≠b，
∴3⊕2=123?2+3+2=3，
2⊕3=122?3+2+3=3，
?3⊕2=12?3?2?3+2=2，
?3⊕?2=12?3+2?3?2=?2，
故答案為：3，3，2，?2；
②例如：3⊕?2=123+2+3?2=3，
?2⊕?3=12?2+3?2?3=?2，
通過以上例子發(fā)現(xiàn)，該運算是用來求大小不同的兩個有理數(shù)的最大值，
用a，b的式子表示出一般規(guī)律為a⊕b=a,a>bb,b>a；
（2）解：①【?92.5⊕16.33】⊕【?33.8⊕?4】
=16.33⊕?4
=16.33；
②不妨設(shè)a>b，則代數(shù)式中絕對值符號可直接去掉，
∴代數(shù)式等于a，
a為偶數(shù)，b=a?1
最小值=?10+?8+?6+?4+?2+0+2+4+6+8=?10，
故答案為：?10．
【點睛】本題考查了絕對值、有理數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義，把所給代數(shù)式化簡，找到新定義的運算規(guī)律，利用規(guī)律進(jìn)行求解．
4．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·七年級統(tǒng)考期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?20232，1?2?3=1+2?20232+3?20232=?2017．
材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，?2=?2，?1.3=?2．
(1)2?6 =______，?ππ=______；
(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：
(3)若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3n+1，請直接寫出m?m+n的結(jié)果．
【答案】(1)?20072，?64
(2)2023
(3)?20532
【分析】（1）根據(jù)材料1新定義的運算“?”的概念即可求出2?6的值，根據(jù)材料2中的定義即可求出?ππ的值；
（2）根據(jù)新定義函數(shù)把1?2?3?4…?2022?2023變形為加減運算，再根據(jù)運算順序即可求出1?2?3?4…?2022?2023的值；
（3）根據(jù)m=2n=3n+1求出m的值和n的范圍，再求出m+n的值，即可得出m?m+n的值．
【詳解】（1）解：∵a?b=a+b?20232，
∴2?6=2+6?20232=?20072，
∵?π=?4，π=3，
∴?ππ =?43=?64，
故答案為：?20072，?64；
（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023
=1+2+3+……+2023+2022×?20232
=1+20232×2023?2022×20232
=2023；
（3）∵n+1=n+1，2n=3n+1，
∴2n=3n+3，
∴n=?3，
∴m=2×?3 =?6，
∴m+n =?6+n=?9，
∴m?m+n =?9??6=?9?6?20232=?20532．
【點睛】本題考查了新定義運算，有理數(shù)的混合運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·江蘇淮安·七年級洪澤外國語中學(xué)?？计谥校┒x新運算“⊙”：對于有理數(shù)a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．
(1)計算(?5)⊙(?1)的結(jié)果是______．
(2)有理數(shù)m，n滿足(m+2)2+n?3∣=0，求(m⊙n)⊙(?1)的值．
【答案】(1)4
(2)2
【分析】（1）直接利用新定義進(jìn)而計算得出答案；
（2）直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合新定義計算得出答案.
【詳解】（1）解：原式=(?5)⊙(?1)
=(?5)×(?1)+(?1)
=4；
（2）解：∵(m+2)2+n?3∣=0，
∴m=?2，n=3，
原式=(m⊙n)⊙(?1)
=(?2)⊙3⊙(?1)
=(?2)×3+3⊙(?1)
=(?3)⊙(?1)
=(?3)×(?1)+(?1)
=2.
【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.
6．（2023春·湖南邵陽·七年級校聯(lián)考期中）定義一種運算符號“★”：a★b=a2?ab，如：?2★3=?22??2×3=10，那么?3★?2★13的結(jié)果是．
【答案】8
【分析】根據(jù)運算律a★b=a2?ab，先算括號內(nèi)，再算括號外即可
【詳解】解：?3★?2★13
=?32??3×?2★13
=3★13
=8
故答案為8
【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算、新定義，解決本題的關(guān)鍵是會用新定義解答問題
【題型6 定義多個數(shù)的運算】
1．（2023春·陜西西安·七年級?？计谥校σ唤M數(shù)(x , y)的一次操作變換記為P1(x , y)，定義其變換法則如下：P1(x , y)=(x+y , x?y)；且規(guī)定P0(x , y)=P1(Pn?1(x , y))（n為大于1的整數(shù)），如P1(1 , 2)=(3 , ?1),P2(1 , 2)=P1(P1(1 , 2))=P1(3 , ?1)=(2 , 4)，P3(1 , 2)=P1(p2(1 , 2))=P1(2 , 4)=(6 , ?2)，則P2011(1 , ?1)=（）
A．(0 , 21005)B．(0 , ?21005)C．(0 , ?21006)D．(0 , 21006)
【答案】D
【詳解】試題分析：根據(jù)變換的計算法則可得：P1(1，-1)=(0，2)，P2(1，-1)= (2，-2)，P3(1，-1)= (0，4)，P4(1，-1)= (4，-4)，P5(1，-1)= (0，8)，P6(1，-1)= (8，-8)，根據(jù)規(guī)律我們可以得出P20111 , ?1=(0 , 21006).
點睛：本題主要考查的就是新的運算的應(yīng)用以及規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和推測問題，解決這個問題理解新定義的計算法則和找出答案的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.在解決這種問題的時候我們一般都是根據(jù)所給出的新定義求出前面幾個的答案，然后根據(jù)答案找出一般性的規(guī)律，最后根據(jù)一般性的規(guī)律得出答案.
2．（2023春·全國·七年級期中）對于正整數(shù)n，定義Fn=n2,n”或“=”）
(5)計算：?142÷?12④×?7⑥??48÷?17④+?1
【答案】(1)１；?20222023
(2)ABCDF
(3)1an?2
(4)>
(5)?5149
【分析】（1）利用a的圈n次方的意義，進(jìn)行計算即可．
（2）利用a的圈n次方的意義，進(jìn)行判斷．
（3）利用圈n次方的意義，進(jìn)行計算即可．
（4）利用（3）的結(jié)論，進(jìn)行計算即可．
（5）先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答．
【詳解】（1）2022②= 2022÷2022=1 ；?20232022③= ?20232022÷?20232022÷?20232022=?20222023
（2）A、因為a②=a÷a=1a≠0 任意非零數(shù)的圈2次方都等于1，符合題意；
B、a③a÷a÷a=1aa≠ , 任意非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù),符合題意；
C、圈n次方等于它本身的數(shù)是1或?1，符合題意；
D、負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)，符合題意
E．（?2）②=1 ，2②=1 ，不符合題意
F．互為倒數(shù)的兩個數(shù)的圈n次方互為倒數(shù)2③=12，12③ =2 ，符合題意．
（3）an =a÷a÷a÷a÷?÷a=a·1a·1a·1a·?·1a=1an?2
（4）?9⑤ =?193=?1729 ，?3⑦ =?135=?1243 ，
∵?1729>?1243
∴ ?9⑤>?3⑦．
（5）原式=?1?196÷?22×?174??48÷?72+?1
=?1?149+4849?1
=?5149 ．
5．（2023春·江蘇·七年級期末）數(shù)軸上點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點C表示數(shù)c，若規(guī)定m=||c?a|?|c?b||，n=|c?a|+|c?b|
（1）當(dāng)a=?3，b=4，c=2時，則m=______，n=______．
（2）當(dāng)a=?3，b=4，m=3，n=7時，則c=______．
（3）當(dāng)a=?3，b=4，且n=2m，求c的值．
（4）若點A、B、C為數(shù)軸上任意三點，p=|a?b|，化簡：|m?p|?|p?n|+2|m?n|
【答案】（1）3；7；（2）2或-1；（3）152或94或?132或?54；（4）2c?2b或6b?6c或6c?6a或2a?2c或2c?2a或2b?2c或6a?6c或6c?6b
【分析】（1）根據(jù)a,b,c的值計算出c?a=5,c?b=?2，然后代入即可計算出m,n的值；
（2）分c≥4 ，c≤?3， ?3c,b>c>a,c>a>b,c>b>a 六種情況進(jìn)行討論，即可得出答案．
【詳解】（1）∵a=?3，b=4，c=2
∴c?a=5,c?b=?2
∴m=5??2=5?2=3
n=5+?2=5+2=7
（2）∵a=?3，b=4，
若c≥4，則m=c?a?(c?b)=b?a=7
若c≤?3，則m=a?c+(c?b)=a?b=7
若?3b
則p=a?b
m=a?c?(c?b)=a+b?2c
n=a?c+c?b=a?b
當(dāng)a+b?2c≥0時，m=a+b?2c
∴m?p=a+b?2c?(a?b)=2c?2b
p?n=0
m?n=(a+b?2c)?(a?b)=2c?2b
∴原式=(2c?2b)?0+2(2c?2b)=6c?6b
當(dāng)a+b?2ca>c
則p=b?a
m=a?c?(b?c)=b?a
n=a?c+b?c=a+b?2c
∴m?p=0
p?n=b?a?(a+b?2c)=2a?2c
m?n=b?a?(a+b?2c)=2a?2c
∴原式=0?(2a?2c)+2(2a?2c)=2a?2c
④若b>c>a
則p=b?a
m=c?a?(b?c)=2c?a?b
n=c?a+b?c=b?a
當(dāng)2c?a?b≥0時，m=2c?a?b
∴m?p=2c?a?b?(b?a)=2b?2c
p?n=0
m?n=(2c?a?b)?(b?a)=2b?2c
∴原式=(2b?2c)?0+2(2b?2c)=6b?6c
當(dāng)2c?a?ba>b
則p=a?b
m=c?a?(c?b)=a?b
n=c?a+c?b=2c?a?b
∴m?p=0
p?n=a?b?(2c?a?b)=2c?2a
m?n=a?b?(2c?a?b)=2c?2a
∴原式=0?(2c?2a)+2(2c?2a)=2c?2a
⑥若c>b>a
則p=b?a
m=c?a?(c?b)=b?a
n=c?a+c?b=2c?a?b
∴m?p=0
p?n=b?a?(2c?a?b)=2c?2b
m?n=b?a?(2c?a?b)=2c?2b
∴原式=0?(2c?2b)+2(2c?2b)=2c?2b
【點睛】本題主要考查絕對值與合并同類項，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·福建廈門·七年級大同中學(xué)?？计谥校├脠D1的二維碼可以進(jìn)行身份識別，某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學(xué)生的識別圖條，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，將第一行數(shù)字從左到右一次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為a×23+b×22+c×21+d×20，（規(guī)定20=1）如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示該生為5班的學(xué)生．
(1)圖3中所來示學(xué)生所在班級序號是_____________．
(2)我校兩校區(qū)七年級共有18個班，班級編號從1至18，問是否能用該系統(tǒng)全部識別？若能，請說明原因，并在圖4的第一行表示出班級編號為18的班級．若不能，請你運用數(shù)字“1”、“2”，結(jié)合“+”、“?”、“×”、“÷”或乘方運算（每個數(shù)字和符號使用次數(shù)不限）對該系統(tǒng)規(guī)則進(jìn)行改編，并求出改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．
【答案】(1)9
(2)不能，理由見解析，改編規(guī)則見解析，范圍為1至31
【分析】（1）根據(jù)規(guī)定了運算法則進(jìn)行計算即可求解；
（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運算進(jìn)行計算，得出最大的班級變號為15，則不能被全部被識別，改編為：改編為：規(guī)定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一個小正方形，根據(jù)有理數(shù)的混合運算進(jìn)行計算可得知新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．
【詳解】（1）解：圖3中，第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，則序號為1×23+0×22+0×21+1×20=9，
故答案為：9；
（2）不能，∵1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15

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