TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18399" 【題型1 平行線在三角板中的運用】 PAGEREF _Tc18399 \h 1
\l "_Tc12629" 【題型2 平行線在折疊中的運用】 PAGEREF _Tc12629 \h 15
\l "_Tc2244" 【題型3 旋轉(zhuǎn)使平行】 PAGEREF _Tc2244 \h 21
\l "_Tc3826" 【題型4 利用平行線求角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc3826 \h 25
\l "_Tc16164" 【題型5 利用平行線解決角度定值問題】 PAGEREF _Tc16164 \h 36
\l "_Tc28110" 【題型6 平行線的閱讀理解類問題】 PAGEREF _Tc28110 \h 45
\l "_Tc19908" 【題型7 平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19908 \h 55
\l "_Tc11510" 【題型8 平行線與動點的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc11510 \h 59
\l "_Tc2386" 【題型9 與角平分線有關(guān)的三角形角的計算問題】 PAGEREF _Tc2386 \h 69
\l "_Tc24788" 【題型10 與平行線有關(guān)的三角形角的計算問題】 PAGEREF _Tc24788 \h 78
\l "_Tc17728" 【題型11 與折疊有關(guān)的三角形角的計算問題】 PAGEREF _Tc17728 \h 91
【題型1 平行線在三角板中的運用】
【例1】（2023下·浙江溫州·八年級?？计谥校⒁桓敝苯侨前迦鐖D1，擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，當(dāng)AC為∠DCE的角平分線時，直接寫出此時t的值；
(2)當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，求∠DCA與∠ECB的數(shù)量關(guān)系．
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板ABC的其中一邊與ED平行時，請直接寫出此時t的值．
【答案】(1)3
(2)∠ECB?∠DCA=15°
(3)15或24或33
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE=12∠DCE=15°，然后求出t的值即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，即可得出∠ECB?∠DCA=15°；
（3）分三種情況進行討論，分別畫出圖形，求出t的值即可．
【詳解】（1）解：如圖2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，

∴∠DCE=30°，
∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE=12∠DCE=15°，
∴t=155=3，
答：此時t的值是3；
（2）解：當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，如圖3；

由旋轉(zhuǎn)得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，
∴∠ECB?∠DCA=45°?5t?30°?5t=15°；
（3）解：分三種情況：
①當(dāng)AB∥DE時，如圖4，

此時BC與CD重合，
t=30+45÷5=15；
②當(dāng)AC∥DE時，如圖5，

∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠D=90°，
∴∠ACE=90°+30°=120°，
t=120÷5=24；
③當(dāng)BC∥DE時，如圖6，

∵BC∥DE
∴∠BCD=∠CDE=90°
∴∠ACD=90°+30°+45°=165°
∴t=165÷5=33
綜上，t的值是15或24或33．
故答案為：15或24或33．
【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的計算，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．
【變式1-1】（2023下·河南安陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
(1)觀察猜想，∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系是________；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系是________；
(2)類比探究，若按住三角板ABC不動，順時針繞直角頂點C轉(zhuǎn)動三角形DCE，試探究當(dāng)∠ACD等于多少度時CE//AB，畫出圖形并簡要說明理由；
(3)拓展應(yīng)用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時DE與AC的位置關(guān)系．
【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°
(2)當(dāng)∠ACD=60°或120°時，CE//AB
(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE
【分析】（1）由三角板的特點可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根據(jù)∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；
（2）分類討論結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解；
（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分類討論結(jié)合平行線的判定和性質(zhì)即可得出DE與AC的位置關(guān)系．
【詳解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB?∠ACD=∠DCE?∠ACD，即∠BCD=∠ACE．
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．
故答案為：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；
（2）分類討論：①如圖1所示，
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠DCE?∠ACE=90°?30°=60°；
②如圖2所示，
∵CE//AB，
∴∠BCE=∠B=60°，
∴∠ACD=360°?∠ACB?∠DCE?∠BCE=360°?90°?90°?60°=120°．
綜上可知當(dāng)∠ACD=60°或120°時，CE//AB；
（3）根據(jù)（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，
∴3∠ACD+∠ACD=180°，
∴∠ACD=45°．
分類討論：①如圖3所示，

∵∠ACD=45°，
∴∠BCD=45°=∠CDE，
∴BC//DE．
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴AC⊥DE；
②如圖4所示，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACD=45°=∠CDE，
∴AC//DE．
【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023上·湖南長沙·八年級?？计谀┤鐖D，兩個形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)．
（1）①如圖1，∠DPC＝ 度．
②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0°

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