中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題7.10 平行線的證明章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（北師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19005" 【題型1 對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc19005 \h 1
\l "_Tc31650" 【題型2 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】 PAGEREF _Tc31650 \h 3
\l "_Tc31956" 【題型3 添加條件判定平行】 PAGEREF _Tc31956 \h 8
\l "_Tc9290" 【題型4 由平行線的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc9290 \h 10
\l "_Tc11058" 【題型5 由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】 PAGEREF _Tc11058 \h 14
\l "_Tc25424" 【題型6 在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】 PAGEREF _Tc25424 \h 19
\l "_Tc18027" 【題型7 利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc18027 \h 24
\l "_Tc25835" 【題型8 利用平行線的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明】 PAGEREF _Tc25835 \h 31
\l "_Tc13158" 【題型9 三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】 PAGEREF _Tc13158 \h 36
【題型1 對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】
【例1】（2023下·天津薊州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列說(shuō)法正確的是（）
A．∠1和∠4互為內(nèi)錯(cuò)角B．∠2的同位角只有∠4
C．∠6和∠7互補(bǔ)D．∠2和∠1互為鄰補(bǔ)角
【答案】D
【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角和鄰補(bǔ)角的概念解答即可．
【詳解】A、∠1和∠4互不是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∠2的同位角不是只有∠4，還有幾個(gè)，如∠5也是，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∠6和∠7不一定互補(bǔ)，只有c∥d才互補(bǔ)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∠2和∠1互為鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角和鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角和鄰補(bǔ)角的概念解答．
【變式1-1】（2023下·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上老師用雙手表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（）
A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
C．內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、同位角D．內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角
【答案】D
【分析】?jī)蓷l線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．
【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知
第一個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第二個(gè)圖是同位角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．
【變式1-2】（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，圖中同旁內(nèi)角的數(shù)量共有（）
A．3對(duì)B．4對(duì)C．5對(duì)D．6對(duì)
【答案】C
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義解答即可．
【詳解】解：直線AB、CD被射線PE所截，可以得到兩對(duì)同旁內(nèi)角，∠DQP與∠BPQ，∠QPO與∠PQO；
直線AB、射線PE被直線CD所截，可以得到兩對(duì)同旁內(nèi)角，∠EQC與∠AOD，∠QOP與∠PQO；
直線CD、射線PE被直線AB所截，可以得到一對(duì)同旁內(nèi)角，∠QOP與∠QPO；
因此共有5對(duì)同旁內(nèi)角，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查同旁內(nèi)角的定義，同旁內(nèi)角就是在截線的同一旁，在兩條被截線之間的兩個(gè)角．
【變式1-3】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列說(shuō)法正確的是（）
①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁內(nèi)角；④∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角

A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：兩條直線a，b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線a，b的同一側(cè)的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱為同位角，則∠1和∠3是同位角，∠1和∠5不是同位角，那么①正確，②錯(cuò)誤；
兩條直線a，b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線a，b之間的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱為同旁內(nèi)角，則∠1和∠2是同旁內(nèi)角，那么③正確；
兩條直線a，b被第三條直線c所截，在截線c的兩側(cè)，且在被截兩直線a，b之間的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱為內(nèi)錯(cuò)角，則∠1和∠4不是內(nèi)錯(cuò)角，那么④錯(cuò)誤；
綜上，正確的為①③，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
【題型2 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】
【例2】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，請(qǐng)直接寫出∠AOC和∠BOF的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3) ∠AOC=2x=（3607）°﹣47α°，∠BOF=（3607）°+37α°．
【詳解】試題分析：
（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，結(jié)合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，結(jié)合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度數(shù)；
（2）設(shè)∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，結(jié)合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度數(shù)；
（3）設(shè)∠BOE=x，則由已知條件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-32x，這樣結(jié)合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.
試題解析：
（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=12×76°=38°．
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=12∠COE=12×142°=71°，
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴設(shè)∠BOE=x，則∠DOE=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
則∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得：x=36°，
故∠AOC=72°．
（3）設(shè)∠BOE=x，
∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE=x，∠COA=2x，
∴∠BOC=180°-2x，
∴∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=90°-12x，
∴∠BOF=90°﹣32x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，
∴|2x﹣（90°﹣32x）|=α°，
解得：x=（1807）°+27α°或x=（1807）°﹣27α°，
當(dāng)x=（1807）°+27α°時(shí)，
∠AOC=2x=（3607）°+47α°，
∠BOF=90°﹣32x=（3607）°﹣37α°；
當(dāng)x=（1807）°﹣27α°時(shí)，
∠AOC=2x=（3607）°﹣47α°，
∠BOF=90°﹣32x=（3607）°+37α°．
【變式2-1】（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中?？计谀┤簟?的對(duì)頂角是∠2，∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，則∠1＝ °．
【答案】145
【分析】根據(jù)余角、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答案．
【詳解】解：∵∠3的余角是∠4，∠4=55°，
∴∠3=90°?∠4=35°，
∵∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，
∴∠2=180°?∠3=145°，
∵∠1的對(duì)頂角是∠2，
∴∠1=∠2=145°，
故答案為：145．
【點(diǎn)睛】本意考查了余角、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)D，∠ADC=90°．若∠ADE與∠ADC的度數(shù)之比為1:3，則∠CDF的度數(shù)是 °．

【答案】120
【分析】根據(jù)題意求得∠ADE=30°，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠BDF=∠ADE=30°，根據(jù)∠CDF=∠BDC+∠BDF即可求解．
【詳解】∵∠ADC=90°，∠ADE與∠ADC的度數(shù)之比為1:3，
∴∠ADE=90°×13=30°，
∵直線AB、EF相交于點(diǎn)D，
∴∠BDF=∠ADE=30°，
∵∠BDC=180°?∠ADC=90°，
∴∠CDF=∠BDC+∠BDF=90°+30°=120°，
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）當(dāng)α＝60°時(shí)，射線OE′從OE開(kāi)始以12°/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OF′從OF開(kāi)始以8°/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OF′也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？
（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為_(kāi)________秒．
【答案】（1）60，75；（2）152秒；（3）3或12或21或30
【分析】（1）根據(jù)題意利用互余和互補(bǔ)的定義可得：∠EOC與∠FOD的度數(shù)．
（2）由題意先根據(jù)α=60°，得出∠EOF=150°，則射線OE'、OF'第一次重合時(shí)，其OE'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)+OF'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)=150，列式解出即可；
（3）根據(jù)題意分兩種情況在直線OE的左邊和右邊，進(jìn)而根據(jù)其夾角列4個(gè)方程可得時(shí)間．
【詳解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=12∠AOD=12×150°=75°；
故答案為：60，75；
（2）當(dāng)α=60°，∠EOF=90°+60°=150°．
設(shè)當(dāng)射線OE′與射線OF′重合時(shí)至少需要t秒，
可得12t+8t=150，解得：t=152；
答：當(dāng)射線OE′與射線OF′重合時(shí)至少需要152秒；
（3）設(shè)射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
由題意得：12t+8t=150?90或12t+8t=150+90或8t+12t=360+150?90或12t+8t=360+150+90，
解得：t=3或12或21或30．
答：射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為3或12或21或30秒．
【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的定義，角平分線的定義，角的計(jì)算，第三問(wèn)有難度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．
【題型3 添加條件判定平行】
【例3】（2023下·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（）

A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°
【答案】B
【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．
【詳解】解：A、∵∠1=∠3，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得l1∥l2，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、根據(jù)∠2=∠3，不能判斷直線l1∥l2，故該選項(xiàng)符合題意
C、∵∠4=∠5，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得l1∥l2，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、∵∠2+∠4=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得l1∥l2，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，正確把握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023下·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使AB∥CD（填一個(gè)即可）．

【答案】∠EDC=∠A（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)平行線的判定定理可得：
∠EDC=∠A；∠A+∠ADC=180°；∠B+∠DCB=180°都可判斷AB∥CD，
故答案為：∠EDA=∠A（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023下·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列條件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5，則一定能判定AB∥CD的條件有 (填寫所有正確的序號(hào))．

【答案】①③④
【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)分析判斷．
【詳解】解：①若∠B＋∠BCD=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得AB∥CD，符合題意；
②若∠1=∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AD∥BC，不合題意；
③若∠3=∠4，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥CD，符合題意；
④若∠B=∠5，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AB∥CD，符合題意；
⑤若∠D＝∠5，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AD∥BC，不合題意；
故答案為①③④．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，熟練掌握兩直線平行的判定方法是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=120°，添加一個(gè)條件，仍不能判定AB∥CD，添加的條件可能是（）

A．∠BOE=60°B．∠DOF=30°
C．∠AOF=30°D．∠BOE+∠AOF=90°
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、∵OE平分∠BOD，∠BOE=60°，
∴∠BOD=2∠BOE=120°
∵∠D=120°
∴∠BOD=∠D=120°
∴AB∥CD，故A不符合題意；
B、∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°
∵∠DOF=30°
∴∠DOE=∠FOE?∠DOF=90°?30°=60°
∵OE平分∠BOD
∴∠BOD=2∠DOE=120°
∵∠D=120°
∴∠BOD=∠D=120°
∴AB∥CD，故B不符合題意；
C、∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°
∵∠AOF=30°
∴∠BOE=180°?∠AOF?∠FOE=60°
∵OE平分∠BOD
∴∠BOD=2∠BOE=120°
∵∠D=120°
∴∠BOD=∠D=120°
∴AB∥CD，故C不符合題意；
D、∵∠BOE+∠AOF=90°，
∴∠FOE=90°
不能判斷AB∥CD，故D符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【題型4 由平行線的性質(zhì)求角度】
【例4】（2023下·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在同一平面內(nèi)，∠ABC=110°，AD∥BC，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，那么∠AEB度數(shù)為．
【答案】35°或55°
【分析】畫出相應(yīng)的簡(jiǎn)圖，再利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：①如圖，

∵AD∥BC，∠ABC=110°，
∴∠BAD=180°?∠ABC=70°，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=12∠BAD=35°，
∴∠AEB=35°；
②如圖，

∵AD∥BC，∠ABC=110°，
∴∠BAD=∠ABC=110°，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=12∠BAD=55°，
∴∠AEB=55°．
綜上所述，∠AEB的度數(shù)為：35°或55°．
故答案為：35°或55°．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．
【變式4-1】（2023下·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，a∥c,b∥d，∠1=30°，求∠3的度數(shù)．

【答案】30°
【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，解答即可．
【詳解】解：∵a∥c，∠1=30°，
∴∠2=∠1=30°，
又∵b∥d，
∴∠3=∠2=30°，
∴∠3的度數(shù)為30°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對(duì)以上知識(shí)的熟練掌握．
【變式4-2】（2023下·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，∠G=∠FEH=90°，∠GEF=45°，∠H=60°，若∠AEG=26°，則∠DFH= ．

【答案】41°
【分析】由平角關(guān)系可求得∠BEH，過(guò)點(diǎn)H作HM∥AB，則AB∥CD∥HM，由平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【詳解】解：∵∠AEG+∠GEF+∠FEH+∠BEH=180°，∠GEF=45°，∠AEG=26°，
∴∠BEH=180°?(∠AEG+∠GEF+∠FEH)=19°，
過(guò)點(diǎn)H作HM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥HM，
∴∠EHM=∠BEH=19°，∠DFH=∠MHF，
∵∠MHF=∠EHF?∠EHM=60°?19°=41°，
∴∠DFH=41°；
故答案為：41°．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023下·貴州黔南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE=90°，點(diǎn)E在線段AB上，∠FCG=90°，點(diǎn)F在直線AD上，∠AHG=90°．

(1)圖中與∠D相等的角有__________；
(2)若∠ECF=25°，求∠BCD的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)C（點(diǎn)C不與B，H兩點(diǎn)重合）從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BG的方向運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，求∠BAF的度數(shù)．
【答案】(1)∠DCG，∠ECF，∠B
(2)155°
(3)25°或155°
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等以及平行線的性質(zhì)，即可得到與∠D相等的角；
（2）根據(jù)∠ECF=25°，∠DCE=90°，可得∠FCD=65°，再根據(jù)∠BCF=90°，即可得到∠BCD=65°+90°=155°；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在線段BH上；點(diǎn)C在BH延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAF的度數(shù)為25°或155°．
【詳解】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠DCG，
∵∠FCG=90°，∠DCE=90°，
∴∠ECF=∠DCG，
∴∠D=∠ECF，
∵AB∥DC，
∴∠DCG=∠B，
∴∠D=∠B；
∴與∠D相等的角為∠DCG，∠ECF，∠B；
（2）解：∵∠ECF=25°，∠DCE=90°，
∴∠FCD=65°，
∵∠BCF=90°，
∴∠BCD=65°+90°=155°；
（3）解：分兩種情況進(jìn)行討論：
①如圖a，當(dāng)點(diǎn)C在線段BH上時(shí)，點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，此時(shí)∠ECF=∠DCG=∠B=25°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF=∠B=25°；
②如圖b，當(dāng)點(diǎn)C在BH的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在線段AD上．
∵∠B=25°，AD∥BC，
∴∠BAF=180°?25°=155°，
綜上所述，∠BAF的度數(shù)為25°或155°．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
【題型5 由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】
【例5】（2023下·重慶云陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④∠MGK=21°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)題意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正確；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正確；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°?∠FGA?∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°?2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③錯(cuò)誤；
設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④錯(cuò)誤，
綜上，①②正確，共2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)頂角相等，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023下·四川南充·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，∠C=∠EDF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．∠ADE=∠BB．DF∥ACC．∠BFD=∠AEDD．∠B+∠CED=180°
【答案】D
【分析】結(jié)合已知條件，利用平行線的性質(zhì)定理和判定定理逐項(xiàng)判斷即可得出答案．
【詳解】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，故A選項(xiàng)結(jié)論正確，不合題意；
∵DE∥BC，
∴∠EDF+∠DFC=180°，
又∵∠C=∠EDF，
∴∠C+∠DFC=180°，
∴DF∥AC，故B選項(xiàng)結(jié)論正確，不合題意；
∴∠BFD=∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C，∠C+∠CED=180°，
∴∠BFD=∠AED，故C選項(xiàng)結(jié)論正確，不合題意；
∵∠C+∠CED=180°，∠C不一定等于∠B，
∴現(xiàn)有條件無(wú)法推出∠B+∠CED=180°，故D選項(xiàng)結(jié)論不正確，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥AB，EF是△DEC的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論： ①∠BDE=∠DBE； ②EF∥BD； ③∠CDE=∠ABC； ④S四邊形ABED=S△ABF．其中，正確的是（）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】利用DE∥AB，BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，可以判斷出①②正確；再根據(jù)∠A 與∠ABC不一定相等，再利用∠A 與∠CDE相等，可判斷出③不一定正確；根據(jù)EF∥BD，推出△BDF與△BDE是等底等高的三角形，最后利用等式性質(zhì)可得到④正確．
【詳解】∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，∠ABC=∠DEC，
∵BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，
∴∠ABD=∠DBE，∠DEF=∠FEC，
∴∠BDE=∠DBE，
∠FEC=∠DBC，
∴EF∥BD，
故①②正確；
∴∠A 與∠ABC不一定相等，
由題意可知∠A=∠CDE，
∴∠CDE與∠ABC不一定相等，
故③錯(cuò)誤；
∵EF∥BD，
∴△BDF與△BDE是等底等高的三角形，
∴S△BDF=S△BDE，
∴S四邊形ABED=S△ABF，
故④正確，
∴①②④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，平行線間的距離處處相等等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根據(jù)題目已知∠CKG＝∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根據(jù)AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明GD=GC，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正確；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正確；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCG+∠GCK=180°，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠D+∠DCG+180°?2∠GKC=180°，
∴∠D+∠DCG=2∠GKC，
又∵AD∥BC，
∴∠AGK=∠CKG，
∴∠D+∠DCG=2∠AGK，
要使GK∥CD，就要使∠D=∠AGK且∠D=∠DCG，
∴就要GD=GC，
但題目沒(méi)給出這個(gè)條件且利用現(xiàn)有條件也無(wú)法證明GD=GC，
∴故③錯(cuò)誤；
設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
【題型6 在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】
【例6】（2023下·北京東城·八年級(jí)北京二中?？计谀┭a(bǔ)全證明過(guò)程，并在（）內(nèi)填寫推理的依據(jù)．
已知：如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E=∠1，
求證：AD是∠BAC的角平分線．

證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC
∴∠EGD=∠ADC=90°（①___________）
∴AD∥EG（②___________）
∴∠E=∠③___________，
∠1=∠BAD（④___________）
∵∠E=∠1
∴∠CAD=∠BAD
∴AD是∠BAC的角平分線（⑤___________）
【答案】垂直的定義，同位角相等、兩直線平行, DAC，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，角平分線的定義．
【分析】根據(jù)垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義逐步分析即可解答．
【詳解】證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠EGD=∠ADC=90°（垂直的定義），
∴AD∥EG（同位角相等、兩直線平行），
∴∠E=∠ DAC，
∠1=∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠E=∠1，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的角平分線（角平分線的定義）．
故答案為：垂直的定義，同位角相等、兩直線平行, DAC，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，角平分線的定義．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023下·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)完成證明過(guò)程和填寫上推理依據(jù)．
如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠4，試判斷∠ACB與∠3的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

解：∠ACB=∠3，理由如下：
∵∠1+∠2=180°
又∵（______）+∠2=180°（鄰補(bǔ)角定義）
∴（______）=∠1（__________________）
∴（______）∥AB（__________________）
∴∠AFE=∠4（__________________）
∵∠B=∠4，
∴（______）=∠B（__________________）
∴EF∥BC（__________________）
∴∠ACB=∠3（__________________）
【答案】∠5；∠5，同角的補(bǔ)角相等；DE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠AFE，等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：∠ACB=∠3，理由如下：
∵∠1+∠2=180°
又∵∠5 +∠2=180°（鄰補(bǔ)角定義）
∴∠5 =∠1（同角的補(bǔ)角相等）
∴DE∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠AFE=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠B=∠4
∴∠AFE =∠B（等量代換）
∴EF∥BC（同位角相等，兩直線平行）
∴∠ACB=∠3（兩直線平行，同位角相等）．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理．
【變式6-2】（2023下·重慶彭水·八年級(jí)校聯(lián)考期末）推理填空：
如圖，點(diǎn)D，E，H分別在△ABC的邊AB，BC，AC上，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F且滿足∠B+∠BCF=180°；若DE∥AC，∠1=∠3．求證：∠B=∠F．

證明：∵DE∥AC（已知）
∴∠1= （兩直線平行，同位角相等）
∵∠1=∠3（已知）
∴∠3=∠2（）
∴DF∥BC（）
∴∠4=∠B（兩直線平行，同位角相等）
∵∠B+∠BCF=180°（已知）
∴ ∥ （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
∴∠4= （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴∠B=∠F（等量代換）
【答案】∠2；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB；CF；∠F
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，進(jìn)而等量代換得到∠3=∠2，由此可證明DF∥BC得到∠4=∠B，再證明AB∥CF得到∠4=∠F，即可證明∠B=∠F．
【詳解】證明：∵DE∥AC（已知）
∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
∵∠1=∠3（已知）
∴∠3=∠2（等量代換）
∴DF∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠4=∠B（兩直線平行，同位角相等）
∵∠B+∠BCF=180°（已知）
∴AB∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
∴∠4=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴∠B=∠F（等量代換）
故答案為：∠2；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB；CF；∠F．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù)．如圖，點(diǎn)D，E分別為三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，∠AED=∠C，∠DEF=∠B，∠EFG=90°．求證FG⊥AB．
證明：∵∠AED=∠C
∴DE∥BC（）
∴∠DEF=∠EFC（）
∵∠DEF=∠B
∴∠EFC=∠B
∵∠EFC+∠EFB=180°
∴∠B+∠EFB=180°（）
∴DB∥EF（）
∴∠AGF+∠EFG=180°（）
∵∠EFG=90°
∴∠AGF=90°
∴FG⊥AB（）
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由∠AED=∠C判定DE∥BC，得到∠DEF=∠EFC，利用等量代換得到∠B+∠EFB=180°，推出DB∥EF，則有∠AGF+∠EFG=180°，根據(jù)∠EFG=90°，算出∠AGF=90°，即可證明．
【詳解】解：證明：∵∠AED=∠C，
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）
∴∠DEF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠DEF=∠B，
∴∠EFC=∠B，
∵∠EFC+∠EFB=180°，
∴∠B+∠EFB=180°（等量代換）
∴DB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
∴∠AGF+∠EFG=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵∠EFG=90°，
∴∠AGF=90°，
∴FG⊥AB（垂線的定義）
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂線的定義，靈活運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)得出角的關(guān)系式解題的關(guān)鍵．
【題型7 利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】
【例7】（2023下··浙江·八年級(jí)期末）已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．
（1）如圖1，求證：HG⊥HE；
（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；
（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）40°
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；
（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；
（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED，
∵M(jìn)Q∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵M(jìn)Q∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝12 ∠AFE，
即12(180°?10x)=13x，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023上·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1+∠2=180°,∠A=∠3．

(1)求證：AB∥CD；
(2)若∠B=78°,∠BDE=2∠3，求∠DEA的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)∠DEA=146°
【分析】（1）由∠1+∠2=180°得到DE∥AC，即可得到∠A＝∠DEB，再根據(jù)等量代換得到∠3＝∠DEB即可證明；
（2）由平行的性質(zhì)得到∠BDC+∠B=180°，求出∠3=34°即可求出答案．
【詳解】（1）∵∠1+∠2=180°，
∴DE∥AC，
∴ ∠A＝∠DEB，
∵ ∠A＝∠3，
∴ ∠3＝∠DEB，
∴ AB∥CD；
（2）∵ AB∥CD，
∴ ∠BDC+∠B=180°，
∵ ∠B=78°，∠BDE=2∠3，
∴ 2∠3+∠3+78°=180°，
∴ ∠3=34°，
∵ AB∥CD，
∴ ∠3+∠DEA=180°，
∴ ∠DEA=146°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023下·安徽六安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1，已知點(diǎn)B和點(diǎn)C分別是AF和DE上的點(diǎn)，∠DAF=∠BCD，∠F=∠ECF．

(1)試說(shuō)明：AD∥BC；
(2)如圖2，連接AC，已知AC⊥CF，∠ECF=m∠BCF．
①當(dāng)m=1時(shí)，∠DAF=62°，求∠ACB的度數(shù)；
②若∠ACD+∠ABC=150°，則∠D=__________．（用含m的代數(shù)式表示）
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①∠ACB=31°；②∠D=60°1+m
【分析】（1）先根據(jù)∠F=∠ECF證明DE∥AF，得到∠DAF+∠D=180°，進(jìn)而可證∠BCD+∠D=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可證AD∥BC；
（2）①由AD∥BC可得∠CBF=62°，由DE∥AF可得∠BCE=118°，進(jìn)而求出∠ECF=∠BCF=59°，結(jié)合AC⊥CF可求出∠ACB=31°；
②由DE∥AF可求得∠ACB=30°，進(jìn)而求出∠BCF=60°，∠BCE=60°1+m，然后根據(jù)兩直線平行同位角相等可求∠D的度數(shù)．
【詳解】（1）∵∠F=∠ECF
∴DE∥AF
∴∠DAF+∠D=180°
∵∠DAF=∠BCD
∴∠BCD+∠D=180°
∴AD∥BC
（2）①∵AD∥BC，∠DAF=62°
∴∠CBF=62°
∵DE∥AF
∴∠BCE=180°?62°=118°
∵∠ECF=∠BCF
∴∠ECF=∠BCF=12×118°=59°
∵AC⊥CF
∴∠ACF=90°
∴∠ACB=90°?59°=31°
②∵DE∥AF
∴∠ACD+∠ACB+∠ABC=180°
∵∠ACD+∠ABC=150°
∴∠ACB=30°
∵AC⊥CF
∴∠ACF=90°
∴∠BCF=90°?30°=60°
∵∠ECF=m∠BCF
∴∠ECF=60°m
∴∠BCE=60°1+m
∵AD∥BC
∴∠D=∠BCE=60°1+m
故答案為：60°1+m
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023下·浙江·八年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)直角三角形和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線a,b，且a//b,△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，操作發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1．若∠1=48°，求∠2的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠A=30°,∠1的度數(shù)不確定，同學(xué)們把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若∠A=30°，AC平分∠BAM，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
【答案】（1）42°；（2）見(jiàn)解析；（3）∠1=∠2，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由平角定義求出∠3=42°，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥a．由平行線的性質(zhì)得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，則∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)C 作CP∥a，由角平分線定義得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行線的性質(zhì)得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，
∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°；
（2）理由如下：
過(guò)點(diǎn)B作BD∥a．如圖2所示：
則∠2+∠ABD=180°，
∵a∥b，
∴b∥BD，
∴∠1=∠DBC，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，
∴∠2+60°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=120°；
（3）∠1=∠2，理由如下：
過(guò)點(diǎn)C 作CP∥a，如圖3所示：
∵AC平分∠BAM
∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，
又∵a∥b，
∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，
∴∠PCA=∠CAM=30°，
∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，
又∵CP∥a，
∴∠2=∠BCP=60°，
∴∠1=∠2．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線定義、平角的定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型8 利用平行線的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明】
【例8】（2023下·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD ，連接BD，E是直線FD上的一點(diǎn)，∠ABC=140°，∠CDF=40°．

(1)判斷BC與EF平行嗎？為什么？
(2)若BD∥AE，∠BAE=110°，則BD是否平分∠ABC？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)BC∥EF，理由見(jiàn)解析
(2)BD平分∠ABC，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由AB∥CD，∠ABC=140°，得到∠BCD=40°，則∠BCD=∠CDF，即可證明BC∥EF；
（2）BD∥AE，∠BAE=110°，則∠ABD=180°?∠BAE=70°，求出∠CBD=70°，則∠ABD=∠CBD，即可證明BD平分∠ABC．
【詳解】（1）BC∥EF，
理由如下：∵AB∥CD，∠ABC=140°，
∴∠BCD=180°?∠ABC=180°?140°=40°，
∵∠CDF=40°，
∴∠BCD=∠CDF，
∴BC∥EF；
（2）BD平分∠ABC，理由如下：
∵BD∥AE，∠BAE=110°，
∴∠ABD=180°?∠BAE=180°?110°=70°，
∵∠ABC=140°，
∴∠CBD=∠ABC?∠ABD=140°?70°=70°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握利用平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求證：AE∥PF．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】由∠BAP+∠APD =180°可得AB∥CD，進(jìn)而得到∠BAP=∠CPA,然后根據(jù)角的和差可得∠EAP=∠FPA運(yùn)用內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行證明即可.
【詳解】證明：∵∠BAP+∠APD =180°
∴AB∥CD
∴∠BAP=∠CPA
∵∠1 =∠2
∴∠BAP-∠1=∠CPA-∠2，即∠EAP=∠FPA
∴AE∥PF
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)定理和判定定理.
【變式8-2】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知BC∥AD,∠C=∠A,∠3=∠4．求證：

(1)AB∥CD
(2)∠1=∠2
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C=∠6，根據(jù)已知∠C=∠A，可得∠A=∠6，進(jìn)而可得AB∥CD；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及已知條件得出∠ABE=∠CBG，進(jìn)而結(jié)合圖形，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ BC∥AD（已知）
∴∠C=∠6（兩直線平行，同位角相等）
∵∠C=∠A（已知）
∴∠A=∠6（等量代換）
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）)
（2）∵ AB∥CD（已知）
∴∠4=∠ABE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵ BC∥AD（已知）
∴∠3=∠CBG（兩直線平行，同位角相等）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠ABE=∠CBG（等量代換）
∵∠ABE=∠2+∠5，∠CBG=∠1+∠5
∴∠2+∠5=∠1+∠5，
∴∠1=∠2（等式的性質(zhì)）
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校c(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在F右側(cè)時(shí)，求證：BD//EF；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在F左側(cè)時(shí)，求證：∠DGE=∠BDG+∠FEG；
(3)如圖3，在2的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，∠DBF?∠DNG=∠EDN，則∠DBF的度數(shù)是多少．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)60°
【分析】（1）通過(guò)證明∠DBF=∠EFG，利用同位角相等，兩直線平行即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)E作GH∥BD，交AD于點(diǎn)H，利用（1）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)∠BDM=∠MDG=α，則∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°-4α，∠PDM=180°-α；利用已知條件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠DBF-∠DNG=∠EDN，得到關(guān)于α的方程，解方程求得α的值，則∠B=180°-4α，結(jié)論可求．
【詳解】（1）證明：∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG=∠ADG，
又∵∠BDG=∠BGD，
∴∠ADG=∠DGB，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∵∠DBF=∠DEF，
∴∠DBF=∠EFG，
∴BD//EF；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)G作GH//BD，交AD于點(diǎn)H，如圖，
由（1）可知：BD//EF，
∴GH//EF，
∴∠BDG=∠DGH，∠GEF=∠HGE，
∵∠DGE=∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE=∠BDG+∠FEG；
（3）解：設(shè)∠BDM=∠MDG=α，
則∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°?4α，
∴∠PDM=180°?α，
∵DN平分∠PDM，
∴∠PDN=∠MDN=90°?12α，
∴∠EDN=∠PDN?∠PDE=90°?12α?(180°?4α)=72α?90°，
∴∠GDN=∠MDN?∠MDG=90°?12α?α=90°?32α，
∵DG⊥ON，
∴∠DNG=90°，
∴∠DNG=90°?(90°?32α)=32α，
∵DE//BF，
∴∠DBF=∠PDE=180°?4α，
∵∠DBF?∠DNG=∠EDN，
∴180°?4α?32α=72α?90°，
解得：α=30°，
∴∠DBF=180°?4α=60°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出角度的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【題型9 三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】
【例9】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．點(diǎn)F與A位于線段BC所在直線的兩側(cè)，分別延長(zhǎng)AB、AC至點(diǎn)D、E．

【特殊化思考】
若∠A=∠F時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：
（1）當(dāng)F在∠A內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；
（2）當(dāng)F在∠A外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；
（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．無(wú)論點(diǎn)F在∠A內(nèi)部（如圖③）還是∠A外部（如圖④）時(shí)，都有CG∥BH，請(qǐng)選擇一幅圖進(jìn)行證明；

【一般化探究】
若∠A∠B，即可推得∠AHF>∠CDE；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠CDE，結(jié)合題意可得∠AHF?∠B=30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠HGB=30°，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠EGF=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠F=80°．
【詳解】（1）證明： ∵CD∥AB，
∴∠B=∠CDE，
∵∠AHF是△BHG的一個(gè)外角，
∴∠AHF>∠B，
∴∠AHF>∠CDE．
（2）解：∵CD∥AB，
∴∠B=∠CDE，
∵∠AHF?∠CDE=30°，
∴∠AHF?∠B=30°，
∵∠AHF是△BHG的一個(gè)外角，
∴∠AHF=∠B+∠HGB，
∴∠HGB=∠AHF?∠B=30°，
∵∠HGB=∠EGF，
∴∠EGF=30°，
∵∠BEF=70°，∠BEF+∠EGF+∠F=180°，
∴∠F=180°?∠BEF?∠EGF=180°?70°?30°=80°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州中學(xué)?？计谥校┮阎?，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0∠CEF；當(dāng)m

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多