TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14209" 【題型1 三角形內(nèi)角和定理的證明】 PAGEREF _Tc14209 \h 1
\l "_Tc15738" 【題型2 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】 PAGEREF _Tc15738 \h 4
\l "_Tc22182" 【題型3 三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22182 \h 6
\l "_Tc1031" 【題型4 三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc1031 \h 10
\l "_Tc25253" 【題型5 三角形折疊中的角度問題】 PAGEREF _Tc25253 \h 16
\l "_Tc24126" 【題型6 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】 PAGEREF _Tc24126 \h 20
\l "_Tc524" 【題型7 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 PAGEREF _Tc524 \h 25
\l "_Tc31752" 【題型8 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 PAGEREF _Tc31752 \h 32
\l "_Tc8784" 【題型9 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc8784 \h 37
\l "_Tc25968" 【題型10 應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】 PAGEREF _Tc25968 \h 40
【知識點(diǎn)1 三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】
（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．
（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
【題型1 三角形內(nèi)角和定理的證明】
【例1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三個內(nèi)角．
求證：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四個說法：①*表示內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠D，∠1+∠BEC=180°，即可推出結(jié)論．
【詳解】解：證明：如圖，作點(diǎn)E作直線AB，使得AB∥CD，
∴∠2=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠D+∠CED=180°．
①*表示兩直線平行，內(nèi)錯角相等；故①不正確，不符合題意；
②@表示∠BEC，故②正確，符合題意；
③④上述證明得到的結(jié)論，在任何三角形均適用；故③不正確，不符合題意；④正確，符合題意；
綜上：正確的有②④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
【變式1-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形 ABC 的邊 AB 上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn) A 到點(diǎn) B 的方向，把鉛筆依次繞點(diǎn) A、點(diǎn) C、點(diǎn) B 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B 的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了 ．
【答案】三角形內(nèi)角和等于180°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后反方向說明旋轉(zhuǎn)度數(shù)等于180°解答．
【詳解】解：筆尖方向發(fā)生了由點(diǎn)B到點(diǎn)A的方向，
∵鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，
∴旋轉(zhuǎn)角度之和為∠A＋∠B＋∠C，
∵筆尖方向變?yōu)辄c(diǎn)B到點(diǎn)A的方向，
∴旋轉(zhuǎn)角度之和為180°，
∴這種變化說明三角形內(nèi)角和等于180°．
故答案為：三角形內(nèi)角和等于180°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理解旋轉(zhuǎn)度數(shù)之和與三角形的內(nèi)角和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內(nèi)角和是180°”的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．
【詳解】解：①．由EF∥AB，則∠ECA=∠A，∠FCB=∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故符合題意．
②．由CE∥AB，則∠A=∠FCE，∠B=∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故符合題意．
③．由CD⊥AB于D，則∠ADC=∠CDB=90°，無法證得三角形內(nèi)角和是180°，故不符合題意．
④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得∠EDA=∠B，∠C=∠AED，那么∠C=∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠A+∠C=180°，故符合題意，
共有：①②④符合條件，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·福建南平·八年級福建省南平第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時，小彬的思路如下．請寫出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明．
已知：如圖，△ABC
求證：
證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
【答案】∠A+∠B+∠C=180°，兩直線平行，同位角相等，后續(xù)證明見解析．
【分析】首先過點(diǎn)D作AB、AC的平行線，利用兩直線平行，同位角相等，可將△ABC的三個角放到一個平角里面，根據(jù)平角=180°即可證明；
【詳解】已知：如圖，△ABC
求證：∠A+∠B+∠C=180°
證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：兩直線平行，同位角相等）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
∴∠3=∠A
又∵DF∥AC
∴∠4=∠C
又∵∠4+∠3+∠2=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和．熟練掌握平行線的性質(zhì)和平角的度數(shù)為180°是解決本題的關(guān)鍵．
【題型2 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】
【例2】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為 ．
【答案】30°或150°
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案．
【詳解】根據(jù)題意得：AB=AC,BD⊥AC，
如圖（1）所示，∠ABD=60°，則∠A=30°，即頂角為30°；
如圖（2）所示，∠ABD=60°，則∠DAB=30°，
∴ ∠BAC=150°，
即頂角為150°；
故答案為：30°或150°．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，三角形的內(nèi)角和定理，注意掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）若△ABC的三個內(nèi)角之比為1:3:5，那么△ABC中最大角的度數(shù)為 ．
【答案】100°
【分析】三角形的內(nèi)角和為180°，然后按比例分配即可．
【詳解】解：由題意得，最大角為180°×51+3+5=100°．
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·廣東江門·八年級?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠C=40°，且∠B:∠A=4:3，則∠B的度數(shù)為 ．
【答案】80°
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：∵∠C=40°，
∴∠B+∠A=180°?40°=140°，
∴∠B=140°×44+3=80°，
故答案為：80°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°．
【變式2-3】（2023春·廣東梅州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù)．

【答案】101°
【分析】連接AD，如圖所示，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出等式，從而根據(jù)題中已知條件作差即可得到答案．
【詳解】解：連接AD，如圖所示：

在△ABC中，∠ABC+∠A+∠ACB=180°①，
在△BCD中，∠DBC+∠D+∠DCB=180°②，
∴由①?②得∠A?∠D+∠ABC?∠DBC+∠ACB?∠DCB=0，即∠A?∠D+∠ABD+∠ACD=0，
∵ ∠A=51°，∠ABD=20°，∠ACD=30°，
∴51°?∠D+20°+30°=0，即∠D=101°．
【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，涉及三角形內(nèi)角和定理，數(shù)形結(jié)合，找到各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
【題型3 三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】
【例3】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若∠B=97°，∠C=40°，則∠GHC的度數(shù)為（ ）

A．147°B．40°C．97°D．43°
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定義可得∠A=43°，再根據(jù)平移性質(zhì)可得∠D=∠A，AC∥DF，得到∠GHC=∠D，即可得到答案．
【詳解】解：∵∠B=97°，∠C=40°，
∴∠A=180°?97°?40°=43°，
由平移的性質(zhì)可知∠D=∠A=43°，AC∥DF，
∴∠GHC=∠D=43°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定義、平移的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和等于180°以及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從C島看A、B島的視角∠ACB為多少？
【答案】90°
【分析】根據(jù)題意在圖中標(biāo)注方向角，得到有關(guān)角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：由題意得，∠DAB＝80°，
∵DA∥EB，
∴∠EBA＝180°﹣∠DAB＝100°，又∠EBC＝40°，
∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝60°，
∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·八年級單元測試）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時，需要拐彎繞海而過，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，則∠C度數(shù)為 ．
【答案】150°
【分析】法一：過B作BD∥AE，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥CF，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以求出∠C的度數(shù)．
法二：延長AB、FC，交于點(diǎn)D，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠A=∠BDC=130°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求得∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，從而求得∠BCF．
【詳解】解：法一，如圖，過B作BD∥AE，
∵BD∥AE，∠A=130°，
∴∠ABD=∠A=130°．
∵BD∥AE，CF∥AE，
∴BD∥CF．
∵∠ABC=160°，∠ABD=130°，
∴∠DBC=∠ABC?∠ABD=160°?130°=30°．
∵BD∥CF，
∴∠DBC+∠C=180°，
∵∠DBC=30°，
∴∠C=180°?∠DBC=150°．
法二，如圖，延長AB、FC，交于點(diǎn)D，
∵AE∥CD，∠A=130°，
∴∠A=∠BDC=130°．
∵∠ABC=160°，
∴∠CBD=180°?∠ABC=20°，
在△CBD中，
∵∠CBD=20°，∠BDC=130°，
∴∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，
∴∠BCF=180°?∠BCD=150°．
故答案為：150°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)B、C在線段AD的異側(cè)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、CD上的點(diǎn)，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求證：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C；
（3）在（2）的條件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）108°
【分析】（1）根據(jù)對頂角相等結(jié)合已知條件得出∠AEG＝∠C，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可證得結(jié)論；
（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代換得∠DGC+∠AHF=180°可判斷EC//BF，兩直線平行同位角相等得出∠B=∠AEG，結(jié)合（1）得出結(jié)論；
（3）由（2）證得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求得∠D的度數(shù)．
【詳解】證明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C
∴AB//CD
（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠DGC+∠AHF=180°
∴EC//BF
∴∠B=∠AEG
由（1）得∠AEG=∠C
∴∠B=∠C
（3）由（2）得EC//BF
∴∠BFC+∠C=180°
∵∠BFC=4∠C
∴∠C=36°
∴∠DGC=36°
∵∠C+∠DGC+∠D=180°
∴∠D=108°
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．
【題型4 三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】
【例4】（2023春·廣東惠州·八年級惠州一中?？计谥校┤鐖D，∠A=70°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，則∠BPC的度數(shù)為（ ）

A．105°B．115°C．125°D．135°
【答案】C
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?70°=110°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=12×110°=55°，
∴∠BPC=180°?55°=125°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、角平分線的相關(guān)計算，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·廣東東莞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度數(shù)．

【答案】40°
【分析】利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．
【詳解】解：∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADC=90°．
∵∠C=50°，
∴∠DAC=90°?∠C=40°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°．
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE=∠EAC=45°．
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=50°，
∴∠B=90°?∠BAD=40°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，直角三角形的兩個銳角互余，垂直的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理解答是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CB的延長線上，AB與EF交于點(diǎn)G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．
(1)求證：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)∠C=50°
【分析】（1）由角平分線的定義可得∠DEF=∠CED，結(jié)合∠AGE=∠CED可得∠AGE=∠DEF，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可證AB∥DE；
（2）由ED平分∠CEF可得∠CEF=2∠CED=100°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ED平分∠CEF，
∴∠DEF=∠CED，
∵∠AGE=∠CED，
∴∠AGE=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）解：∵∠AGE=∠CED，∠AGE=50°，
∴∠CED=50°，
∵ED平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠CED=100°，
∵∠C+∠CEF+∠F=180°，∠F=30°，
∴∠C=180°-100°-30°=50°．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法，牢記三角形內(nèi)角和為180度．
【變式4-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；
(2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；
(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；
(4)若△PCQ中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．
【答案】(1)115，25
(2)不發(fā)生變化，理由見解析
(3)90+12x，x2
(4)45°，60°，120°，135°
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）將（2）中∠A=50°換成∠A=x°，同理即可求解；
（4）設(shè)∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90?12x)°，∠Q=12x°．再由∠PCQ=90°不變，即可分類討論①當(dāng)∠PCQ=3∠CPQ時，②當(dāng)∠PCQ=3∠Q時，③當(dāng)∠CPQ=3∠Q時和④當(dāng)3∠CPQ=∠Q時，分別列出關(guān)于x的等式，解出x即可．
【詳解】（1）∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°?∠A?∠B=70°．
∵CP平分∠ACB，
∴∠BCP=∠ACP=12∠ACB=35°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°．
∵DP平分∠ADE，
∴∠PDG=12∠ADE=30°．
∴∠DPC=180°?∠PDG?∠PGD=115°；
∵∠DPC=115°，
∴∠QPC=180°?115°=65°．
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴∠ACP=12∠ACB，∠ACQ=12∠ACF．
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°，
∴∠Q=90°?∠QPC=25°．
故答案為：115，25；
（2）當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時，∠DPC、∠Q的度數(shù)不發(fā)生變化
理由如下：∵∠A=50°，
∴∠ACB+∠B=130°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD．
∴∠DPC=180°?∠PDE+∠PGD
=180°?12∠B+∠ACB
=180°?12×130°
=115°．
∴∠QCP=65°
由（1）可知∠PCQ=90°不變，
∴∠Q=90°?∠QPC=25°．
∴當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時，∠DPC、∠Q的度數(shù)不發(fā)生變化；
（3）∵∠A=x°，
∴∠ACB+∠B=180°?x°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD．
∴∠DPC=180°?∠PDE+∠PGD
=180°?12∠B+∠ACB
=180°?12×(180?x)°
=(90+12x)°．
∴∠QPC=180°?(90+12x)°=(90?12x)°．
由（1）可知∠PCQ=90°不變，
∴∠Q=90°?∠QPC=90°?(90?12x)°=12x°．
故答案為：(90+12x)，x2；
（4）設(shè)∠A=x°，
由（3）可知∠QPC=(90?12x)°，∠Q=12x°．
∵∠PCQ=90°，
∴可分類討論：①當(dāng)∠PCQ=3∠CPQ時，
∴(90?12x)°=13×90°，
解得：x=120，
∴∠A=120°；
②當(dāng)∠PCQ=3∠Q時，
∴12x°=13×90°，
解得：x=60，
∴∠A=60°；
③當(dāng)∠CPQ=3∠Q時，
∴(90?12x)°=3×12x°，
解得：x=90，x=45
∴∠A=45°；
④當(dāng)3∠CPQ=∠Q時，
∴3×(90?12x)°=12x°，
解得：x=135，
∴∠A=135°．
綜上可知∠A=45°或60°或120°或135°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
【題型5 三角形折疊中的角度問題】
【例5】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠A=20°，點(diǎn)D在邊AC上（如圖1），先將△ABD沿著BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′B交AC于點(diǎn)E（如圖2），再將△BCE沿著BE翻折，點(diǎn)C恰好落在BD上的點(diǎn)C′處，此時∠C′EB=66°（如圖3），則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
【答案】D
【分析】根據(jù)翻折后對應(yīng)角相等得到∠ABC′=∠C′BE=∠EBC=13∠ABC，利用已知條件和三角形的內(nèi)角和等于180°，建立等量關(guān)系可求∠ABC的度數(shù)．
【詳解】解：由題意可得∠ABC′=∠C′BE=∠EBC=13∠ABC，∠C′EB=∠CEB=66°，
設(shè)∠ABC=x，則∠ABC′=∠C′BE=∠EBC=13x，
∵三角形的內(nèi)角和等于180°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°?∠C，即20°+x=180°?∠C；
在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°?∠C，即66°+13x=180°?∠C；
∴ 20°+x=66°+13x，
解得：x=69°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折后對應(yīng)角相等，利用三角形的內(nèi)角和等于180°，設(shè)未知數(shù)并建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)是∠C是兩個三角形的公共角，由此列方程求解．
【變式5-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中， ∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處．若∠A′EC=70°，則∠A′DE的度數(shù)為（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，結(jié)合∠A′EC=70°，得到∠A′ED=∠AED=180°?70°2=55°，再根據(jù)∠A=60°，利用三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【詳解】．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
因?yàn)椤螦′EC=70°，
所以∠A′ED=∠AED=180°?70°2=55°，
因?yàn)椤螦=60°，
所以∠A′DE=∠ADE=180°?60°?55°=65°．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，則∠NCF的度數(shù)為（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【答案】C
【分析】根據(jù)∠A＝20°，∠B＝60°，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，得到∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，結(jié)合∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF代入計算即可．
【詳解】因?yàn)椤螦＝20°，∠B＝60°，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，
所以∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，
因?yàn)椤螦CB=∠ACN+∠BCF+∠NCF，
所以100°=20°+60°+∠NCF，
解得∠NCF=20°．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)D是BC上一個動點(diǎn)，將∠B沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到∠EFD．
(1)如圖，若∠B=50°，則∠AEF+∠FDC=______；
(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系，請您替小明寫出這個數(shù)量關(guān)系并證明．
【答案】(1)100°；
(2)∠AEF+∠FDC=2∠B，證明見解析．
【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折疊的性質(zhì)得
∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，進(jìn)而可求出∠AEF+∠FDC的度數(shù)；
（2）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=180°?∠B，再由折疊的性質(zhì)得
∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°?∠B，進(jìn)而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系．
【詳解】（1）在△BDE中，∠B=50°，
∴∠BDE+∠BED=180°?∠B=180°°?50°=130°．
由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，
∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°．
又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠FDC=180°?(∠BED+∠FED)+180°?(∠BDE+∠FDE)
=360°?(∠BDE+∠BED)?(∠FDE+∠FED)
=360°?130°?130°
=100°．
故答案為：100°；
（2）∠AEF+∠FDC=2∠B．
證明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴∠BDE+∠BED=180°?∠B．
由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE,∠FED=∠BED，
∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°?∠B．
又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠FDC=180°?(∠BED+∠FED)+180°?(∠BDE+∠FDE)
=360°?(∠BDE+∠BED)?(∠FDE+∠FED)
=360°?(180°?∠B)?(180°?∠B)
=2∠B，
即∠AEF+∠FDC=2∠B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【題型6 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】
【例6】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54′，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．103°6′B．104°6′C．103°54′D．104°54′
【答案】C
【分析】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個銳角為∠4，根據(jù)等腰三角板的特點(diǎn)可求出∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出∠5，再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出∠3，進(jìn)而根據(jù)兩直線平行同位角相等即可求出∠2．
【詳解】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個銳角為∠4，如圖，
∵直角三角板含一個45°的銳角，
∴該三角板為等腰三角形，
∴∠4=45°，
∵∠1=58°54′，
又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，
∵∠3+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∴∠2=103°54′，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識，掌握兩直線平行同位角相等是解答本題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·八年級單元測試）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．
(1)若∠A=40°，則∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °．
(2)若∠A=55°，則∠ABD+∠ACD= °．
(3)請你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)140；90；50
(2)35
(3)∠ABD+∠ACD=90°?∠A
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°?∠DBC=90°，進(jìn)而整理可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A=125°，∠DBC+∠DCB=180°?∠DBC=90°，進(jìn)而整理可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，整理得∠ABD+∠ACD=90°?∠A．
【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?40°=140°，
∵在△DBC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°?90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°?90°=50°．
故答案為：140；90；50．
（2）解：∵在△ABC中，∠A=55°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?55°=125°，
∵在△DBC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°?90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=125°?90°=35°．
故答案為：35．
（3）解：∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD=90°?∠A．證明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A，
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB?(∠DBC+∠DCB)=180°?∠A?90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°?∠A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°．
【變式6-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結(jié)論：
①如果∠2=30°，則AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，則∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個判斷即可．
【詳解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正確；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③錯誤；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正確；
所以其中正確的結(jié)論有①②④共3個，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）小宋對三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究
(1)如圖（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，直接寫出∠2的度數(shù)；若∠1=m°，直接寫出∠2的度數(shù)（用含m的式子表示）．
(2)如圖（2），將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，含45°角的三角板的另一個頂點(diǎn)在紙條的另一邊a上，求∠1的度數(shù)．
【答案】(1)130o，(90+m)o
(2)15o
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及平角的定義來解決此題；
（2）如圖，先由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠DBA+∠FCA=180o，再根據(jù)三角板中各角的度數(shù)計算拼接后圖形中有關(guān)角的度數(shù)，再通過三角形內(nèi)角和等于180度計算即可．
【詳解】（1）解：∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
由題意和圖知，∠1+∠3=90o，∠1=40o
∴∠2=180o-（90o-∠1）=90o+∠1=90o+40o=130o；
若∠1=m°，那么
∠2=（90+m）o
（2）解：如圖，把圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，延長CA交直線a于點(diǎn)B，由題意知，
∵a∥b，
∴∠DBA+∠FCA=180o，
∵∠FCA=60o，
∴∠DBA=120o，
∵∠DAE=45o，∠FAC=90o，
∴∠BAD=180o-∠DAE-∠FAC=45o
在△ABD中，∠1+∠DBA+∠BAD=180o，
∴∠1=180o-45o-120o=15o；
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角板中的角度計算問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
【題型7 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】
【例7】（2023春·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°時，求∠EFD的度數(shù)；
(2)如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合）時，如圖2，直接寫出∠EFD、∠C、∠B的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)10°
(2)∠EFD=12∠C?∠B
【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EFD；
（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°?12(∠C+∠B)，外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+12(∠B?∠C)，在ΔEFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD．
【詳解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°?50°?30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°?80°=10°．
（2）∠EFD=12(∠C?∠B)
證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=180°?∠B?∠C2=90°?12(∠C+∠B)
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°?12(∠C+∠B)=90°+12(∠B?∠C)
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°?[90°+12(∠B?∠C)]
∴∠EFD=12(∠C?∠B)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，E為線段CD上一點(diǎn)，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x?1+y?32=0．
(1)求n的值．
(2)求證：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P點(diǎn)在射線DA上運(yùn)動，直接寫出∠APE與∠PEC之間的數(shù)量關(guān)系．（不考慮P與A、D重合的情況）
【答案】(1)n＝45
(2)見解析
(3)①當(dāng)P在線段AD上時，∠PEC+∠APE＝225°②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時，∠PEC﹣∠APE＝45°
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy計算可求n的值．
（2）作PF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APF＝135°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEC＝∠FPE，根據(jù)等量關(guān)系即可求解；
（3）分兩種情況：①當(dāng)P在線段AD上時；②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時；進(jìn)行討論即可求解．
【詳解】（1）解：∵x?1+y?32=0，
∴x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝1，y＝3，
∴n＝15×1×3＝45；
（2）證明：如圖1，過P作PF∥AB，則∠APF＝180°﹣∠BAD＝135°
∵AB∥CD，
∴CD∥PF，
∴∠PEC＝∠FPE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°；
（3）解：分兩種情況：
①當(dāng)P在線段AD上時，如圖2，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝45°，
∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°；
②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時，如圖3，
∵∠PEC＝∠APE+∠PDE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·河南漯河·八年級校考期末）已知△ABC．
（1）如圖（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于點(diǎn) D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 與∠B，∠C 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．
（2）如圖（2），AE 平分∠BAC，F(xiàn) 為 AE 上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC 于點(diǎn) M，∠EFM 與∠B，∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【答案】（1）∠EAD=12 (∠C-∠B)；理由見解析；（2）∠EFM= 12 (∠C－∠B) ；理由見解析.
【分析】（1）分析題意，觀察圖形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分別表示出∠EAC、∠DAC即可；首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠DAC=90°-∠C，據(jù)此可解答；
對于（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行解答即可
【詳解】解：（1）∵AE 平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC=12 (180o－∠B－∠C)，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90o－∠C，
∴∠EAD=∠EAC－∠DAC= 12 (180o－∠B－∠C)－(90o－∠C)= 12 (∠C－∠B)，
即∠EAD=12 (∠C-∠B)；·
（2）如圖，過點(diǎn) A 作 AD⊥BC 于 D，
∵FM⊥BC，
∴AD∥FM，
∴∠EFM=∠EAD= 12 (∠C－∠B)
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和的關(guān)系用∠A表示出其他角
【變式7-3】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE．
(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說明∠A＝2∠CME；
(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．
(3)如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請直接寫出∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見解析；
(2)∠ACE=40°；
(3)∠MNB=135°?∠A
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別計算∠A與∠CME，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)F作FM//AB，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和（1）的結(jié)論解答即可；
（3）延長CM交AN的延長線于點(diǎn)F，設(shè)∠ACH=x，則∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定義得到x+y=45°；利用三角形的內(nèi)角和定理分別用x，y的代數(shù)式表示出∠MNB與∠A，計算∠MNB+∠A即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM=90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，
∴∠AEC+∠BEM=90°．
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM．
∴∠ECD+∠CME=90°．
∴2∠ECD+2∠CME=180°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME=180°．
∵AB//CD，
∴∠ACD+∠A=180°．
∴∠A=2∠CME．
（2）解：過點(diǎn)F作FM//AB，如圖，
∵AB//CD，
∴FM//AB//CD．
∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF．
即∠AFC=∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC．
∵∠AFC=70°，
∴∠CAB+∠DCE=140°．
∵AB//CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°．
∴∠ACE=180°?(∠CAB+∠DCE)
=180°?140°
=40°．
（3）解：∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠MNB=135°?∠A．
延長CM交AN的延長線于點(diǎn)F，如圖，
∵M(jìn)N⊥CM，
∴∠NMF=90°．
∴∠MNB=90°?∠F．
同理：∠HCF=90°?∠F．
∴∠MNB=∠HCF．
∵∠ACH=12∠ECH，
∴設(shè)∠ACH=x，則∠ECH=2x．
∵CM平分∠DCE，
∴設(shè)∠ECM=∠DCM=y．
∴∠MNB=∠HCF=2x+y．
∵AB//CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD=90°．
∴∠ECH+∠ECD=90°．
∴2x+2y=90°．
∴x+y=45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A=90°?∠ACH=90°?x．
∴∠A+∠MNB=90°?x+2x+y=90°+x+y=135°．
∴∠MNB=135°?∠A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平角的意義，過點(diǎn)F作FM//AB是解題的關(guān)鍵．
【題型8 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】
【例8】（2023春·福建廈門·八年級廈門一中?？计谥校┬露x：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍(n為大于1的正整數(shù))，則稱△ABC為“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“_______倍角三角形”.
(2)如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請求出∠ABD的度數(shù).
【答案】(1)2
(2)18°或54°
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠D，根據(jù)n倍角三角形的定義判斷；
（2）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定義分情況討論計算，得到答案．
【詳解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
則∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF為“2倍角三角形”，
故答案為：2；
（2）解：∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，
∴∠DAB＝12∠BAC，∠DBA＝12∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA＝12×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD為“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
當(dāng)∠ADB＝6∠ABD時，∠ABD＝18°，
當(dāng)∠ADB＝6∠BAD時，∠BAD＝18°，則∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
綜上所述，∠ABD的度數(shù)為18°或54°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，正確理解n倍角三角形的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校┒x：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【答案】C
【分析】根據(jù)題意設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別是m、n、α且α=2m，由題意得α=99°或m=99°或n=99°，分這三種情況討論即可．
【詳解】解：設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別是m、n、α且α=2m，
當(dāng)α=99°，則m=49.5°,n=31.5°,
當(dāng)m=99°，則α=2m=198°（舍去）,
當(dāng)n=99°，則m+α=180°-n=81°,
∴3m=81°,
∴m=27°,
∴α=2m=54°．
綜上：倍角α的度數(shù)為99°或54°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理即三角形內(nèi)角和是180°是解決本題的關(guān)鍵，注意分類討論方法的運(yùn)用．
【變式8-2】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）我們定義：
【概念理解】
在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的 4 倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【簡單應(yīng)用】
如圖 1，∠MON=72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM 交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB 于點(diǎn)C（點(diǎn) C不與 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”．
【應(yīng)用拓展】
如圖 2，點(diǎn)D在△ABC 的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度數(shù)．
【答案】【簡單應(yīng)用】：（1）18°，是；（2）詳見解析；【應(yīng)用拓展】： ∠B=30°或∠B=80°
【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故為完美三角形；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由∠EFC+∠BDC=180°證得AD∥EF，DE∥BC，再根據(jù)△BCD是“完美三角形”，得出∠BDC=4∠B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠B的度數(shù).
【詳解】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°，
∵∠MON=4∠ABO
∴△AOB是“完美三角形”；
（2）
證明：
∵∠MON=72°,∠ACB=90°,∵∠ACB=∠OAC+∠MON,∴∠OAC=90°?72°=18°∵∠AOB=72°=3∠OAC
∴ΔAOC是“完美三角形”
（3）
∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°∴∠EFC=∠ADC,∴AD∥EF∴∠DEF=∠ADE,∴∠DEF=∠B,∠B=∠ADE,∴DE∥BC∴∠CDE=∠BCD∵AE平分∠ADC∴∠ADE=∠CDE,∠B=∠BCD
∵ΔBCD是“完美三角形”
∴∠BDC=4∠B∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°∴∠B=30°或∠B=80°
【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度計算，解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì).
【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期末）定義：如果一個三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．
(1)若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，則∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請你判斷△ABD是否為“準(zhǔn)互余三角形”？并說明理由．
②點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度數(shù)．
【答案】(1)17
(2)①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，理由見解析； ②121°或118°．
【分析】（1）根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義可得2∠B+∠A=90°，代入數(shù)據(jù)求出∠B即可；
（2）①由直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB+∠ABC=90°，結(jié)合角平分線的定義可得2∠DAB+∠ABC=90°，進(jìn)而可得△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”；
②根據(jù)△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”可得2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，求出∠EAB=31°或∠EAB=34°，然后分別利用三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【詳解】（1）解：∵∠C>90°，∠A=56°，且△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，
∴2∠B+∠A=90°，
∴∠B=17°，
故答案為：17；
（2）解：①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形；
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴2∠DAB+∠ABC=90°，
∴△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”；
②∵點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，
∵∠ABC=28°，
∴2∠EAB+28°=90°或∠EAB+2×28°=90°，
∴∠EAB=31°或∠EAB=34°，
當(dāng)∠EAB=31°，∠ABC=28°時，∠AEB=180°?31°?28°=121°，
當(dāng)∠EAB=34°，∠ABC=28°時，∠AEB=180°?34°?28°=118°，
∴∠AEB的度數(shù)為：121°或118°．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，理解“準(zhǔn)互余三角形”的定義是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
【知識點(diǎn)2 直角三角形的判定】
有兩個角互余的三角形是直角三角形．
【題型9 直角三角形的判定】
【例9】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級校考階段練習(xí)）如圖，∠C=90°，∠1=∠2，求證△ADE是直角三角形．
【答案】見解析
【分析】由∠C=90°，推出∠A+∠2＝90°．再由∠1=∠2，得出∠A+∠1＝90°，從而∠ADE＝180°?（∠A+∠1）＝90°，即可得答案．
【詳解】∵∠C=90°，
∴∠A+∠2＝90°，
∵∠1=∠2，
∴∠A+∠1＝90°，
∴∠ADE＝180°?（∠A+∠1）＝90°，
∴△ADE是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的定義和三角形的內(nèi)角和定理．
【變式9-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三個內(nèi)角的度數(shù)之比，即可求得三個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三個內(nèi)角的度數(shù)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5，
∴三個內(nèi)角分別為：22+3+5×180°=36°、32+3+5×180°=54°、52+3+5×180°=90°，
∴三角形是直角三角形，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和和三角形的分類，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是180°和三角形的分類是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）在下列條件：① ∠A+∠B+∠C=180°；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A=12∠B=13∠C；⑤ ∠A=∠B=12∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（ ）
A．5個B．4個C．3個D．2個
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理對各個條件進(jìn)行分析，從而得到答案．
【詳解】解：① ∠A+∠B+∠C=180°不能確定△ABC為直角三角形，故①錯誤，不符合題意；
② ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴ △ABC為直角三角形，故②正確，符合題意；
③ ∵ ∠A=∠B=2∠C，
設(shè)∠A=2x，∠B=2x，∠C=x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠A=∠B=72°，∠C=36°，
∴ △ABC不是直角三角形，故③錯誤，不符合題意；
④ ∵ ∠A=12∠B=13∠C，
設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴ △ABC為直角三角形，故④正確，符合題意；
⑤ ∵ ∠A=∠B=12∠C，
設(shè)∠A=∠B=x，則∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，
∴ △ABC為直角三角形，故⑤正確，符合題意；
∴ ②④⑤說法正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點(diǎn)E．寫出圖中所有的直角三角形（不要求證明）．
【答案】△AED，△AEB，△DEC
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理證得∠AED=90°即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，
∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=12∠ADC+∠BAD=90°，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED=90°，
∵AC和BD交于點(diǎn)E，
∴∠DEC=∠AEB=∠AED=90°，
∴△AED，△AEB，△DEC均為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定，涉及平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、鄰補(bǔ)角、銳角互余的三角形是直角三角形等知識，熟練掌握銳角互余的三角形是直角三角形是解答的關(guān)鍵．
【知識點(diǎn)3 直角三角形的性質(zhì)】
直角三角形兩個內(nèi)角互余．
【題型10 應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】
【例10】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，AD為△ABC的高，AE、BF為△ABC的角平分線，∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD= 度．
(2)求∠DAE的度數(shù)．
(3)若點(diǎn)M為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△MFC為直角三角形時，直接寫出∠BFM的度數(shù)．
【答案】(1)30
(2)10°
(3)20°或60°
【分析】（1）利用角平分線的定義求出∠ABC，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAD．
（2）根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
（3）分兩種情形：如圖1中，當(dāng)∠FMC=90°時，如圖2中，當(dāng)∠MFC=90°時，分別求解即可．
【詳解】（1）解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBF=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
故答案為：30．
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°．
∵∠BAC+∠ABF+∠AFB=180°，
∴∠BAC=180°-∠ABF-∠AFB =180°-30°-70°=80°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°．
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
（3）如圖1中，當(dāng)∠FMC=90°時，∠BFM=90°-30°=60°．
如圖2中，當(dāng)∠MFC=90°時，
∵∠AFB=70°,∠CBF=30°，
∴∠C=∠AFB?∠CBF=40°，
∴∠FMC=90°?∠C=90°?40°=50°，
∴∠BFM=∠FMC-∠FBC=50°-30°=20°，
綜上所述，∠BFM度數(shù)為60°或20°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
【變式10-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，點(diǎn)F、A、D、C共線，AB、EF相交于點(diǎn)M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（ ）個．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】利用平行線的性質(zhì)與判定可得∠E=∠BME=∠AMF，根據(jù)同角的余角相等可得∠E=∠C，即可求解．
【詳解】解：∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴AB∥DE，∠E+∠F=90°，
∴∠E=∠BME=∠AMF，
∵EF⊥BC，
∴∠C+∠F=90°，
∴∠E=∠C，
故與∠E相等的角有3個，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2023春·八年級單元測試）如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，則圖中與∠B互余的角有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和互余的定義，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴圖中與∠B互余的角有2個，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，互余定義，找到與∠B和為90°的角是關(guān)鍵．
【變式10-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B．
（1）如圖1，求證：CD⊥AB；
（2）將△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊所在直線上，記為A′點(diǎn)．
①如圖2，若∠B=34°，求∠A′CB的度數(shù)；
②若∠B=n°，請直接寫出∠A′CB的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）詳見解析；（2）①∠A'CB=22°；②∠A'CB=90°﹣2n°．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；
（2）①由∠ACD=∠B，得∠ACD=34°，再結(jié)合（1），得∠BCD=56°，再由折疊的性質(zhì)即可得到答案；
②解題過程同①.
【詳解】（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①當(dāng)∠B=34°時，∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=34°，
由（1）知，∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=56°，
由折疊知，∠A'CD=∠ACD=34°，
∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；
②當(dāng)∠B=n°時，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，
∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉直角三角形的性質(zhì).

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