TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23975" 【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】 PAGEREF _Tc23975 \h 1
\l "_Tc31815" 【題型2 利用圓心角、弧、弦的關系求角度】 PAGEREF _Tc31815 \h 4
\l "_Tc10364" 【題型3 用圓心角、弧、弦的關系求線段長度】 PAGEREF _Tc10364 \h 7
\l "_Tc32201" 【題型4 利用圓心角、弧、弦的關系求周長】 PAGEREF _Tc32201 \h 12
\l "_Tc22928" 【題型5 利用圓心角、弧、弦的關系求面積】 PAGEREF _Tc22928 \h 15
\l "_Tc14052" 【題型6 利用圓心角、弧、弦的關系求弧的度數(shù)】 PAGEREF _Tc14052 \h 19
\l "_Tc478" 【題型7 利用圓心角、弧、弦的關系比較大小】 PAGEREF _Tc478 \h 23
\l "_Tc6462" 【題型8 利用圓心角、弧、弦的關系進行證明】 PAGEREF _Tc6462 \h 26
\l "_Tc18089" 【題型9 利用圓心角、弧、弦的關系確定線段間的倍數(shù)關系】 PAGEREF _Tc18089 \h 30
\l "_Tc3701" 【題型10 利用圓心角、弧、弦的關系求最值】 PAGEREF _Tc3701 \h 34
【知識點 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系
三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年級課時練習）如圖所示，在⊙O中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對的圓心角之間的關系逐項分析即可．
【詳解】解：∵在⊙O中，AB=CD，
∴AB=CD，故①正確；
∵BC為公共弧，
∴ AC=BD，故④正確；
∴AC=BD，故②正確；
∴∠AOC=∠BOD，故③正確；
綜上分析可知，正確的有4個．
故選：D．
【點睛】本題考查了弧，弦、圓心角之間的關系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等以及推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
【變式1-1】（2023秋·全國·九年級專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．相等的圓心角所對的弧相等B．在同圓中，等弧所對的圓心角相等
C．弦相等，圓心到弦的距離相等D．圓心到弦的距離相等，則弦相等
【答案】B
【分析】圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關系的前提“在同圓和等圓中”，據(jù)此逐項判定即可．
【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故此選項不符合題意；
B、在同圓中，等弧所對的圓心角相等，故此選項符合題意；
C、在同圓和等圓中，弦相等，圓心到弦的距離相等，故此選項不符合題意；
D、在同圓和等圓中，圓心到弦的距離相等，則弦相等，故此選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關系，解題關鍵是熟練掌握在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對弧、圓心角所對弦、圓心到弦的距離中有一組量相等，則其余各組量也相等．
【變式1-2】（2023秋·全國·九年級專題練習）判斷下列命題是真命題還是假命題（寫在橫線上）：
（1）在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧也相等．
（2）在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等．
（3）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對的弦的弦心距也相等．
（4）在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對的弦也不相等．
【答案】 真命題 假命題 真命題 假命題
【分析】根據(jù)圓的相關性質(zhì)分別判斷各命題的真假．
【詳解】解：對于（1），在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧也相等，原命題為真命題；
對于（2），在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧不一定相等，因為一條弦對應兩條弧，原命題為假命題；
對于（3），在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對的弦的弦心距也相等，原命題為真命題；
對于（4），在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對的弦有可能相等，如圓心角分別為30°和330°所對的兩條弧，其所對的弦相等，原命題為假命題．
故答案為：真命題，假命題，真命題，假命題．
【點睛】本題考查了同圓或等圓中圓心角，弧長，弦長的關系，熟練掌握相關性質(zhì)定理是解題的關鍵．
【變式1-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，點A是CB中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【答案】B
【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關系得出各線段、角的關系即可解答．
【詳解】解：A、∵點A是CB中點，
∴AB=AC，
∴AB=AC，
無法得出AB=OC，故選項A錯誤；
B、如圖：連接BO，
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠AOC，
∵BO=AO=CO，
∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，
∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此選項正確；
C、∵AB=AC，AB+AC>BC，
∴BC≠2AC，故選項C錯誤；
D、無法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故選項D錯誤．
故選：B．

【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，正確把握相關定理是解題關鍵．
【題型2 利用圓心角、弧、弦的關系求角度】
【例2】（2023秋·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，則∠BCO的度數(shù)是（ ）

A．30°B．35°C．40°D．55°
【答案】B
【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°．
【詳解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°
∴∠AOC=∠AOD=70°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°，
故選：B．
【點睛】此題考查了弧與圓心角的關系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．

【答案】70°
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦三者的關系可解答．
【詳解】解：∵AB=CD，
∴∠COD=∠AOB=70°，
故答案為：70°．
【點睛】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關系，解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．
【變式2-2】（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖半徑OA，OB，OC將一個圓分成三個大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分線，∠AOE=13∠AOC，則∠DOE等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】A
【分析】先根據(jù)已知易得AB=BC=AC，從而可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，然后根據(jù)已知可求出∠AOD=60°，∠AOE=40°，從而利用角的和差關系，進行計算即可解答．
【詳解】解：∵半徑OA，OB，OC將一個圓分成三個大小相同扇形，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
∵OD是∠AOB的角平分線，
∴∠AOD=12∠AOB=60°，
∵∠AOE=13∠AOC，
∴∠AOE=13×120°=40°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=100°，
故選：A．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握圓心角、弧、弦的關系是解題的關鍵．
【變式2-3】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級校考期中）如圖，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧DF的中點，若∠EOD=32°，則∠CDA的度數(shù)是（ ）

A．37°B．74°C．53°D．63°
【答案】C
【分析】首先根據(jù)“同弧或等弧所對的弦長相等，對的圓心角也相等”求得∠DOA=74°，再根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如下圖，連接OA，

∵A是劣弧DF的中點，即DA=FA，
∴∠DOA=∠FOA，
∵∠EOD=32°，
∴∠DOA=∠FOA=12(180°?∠EOD)=74°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=12(180°?∠DOA)=53°，
即∠CDA=53°．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了弧與圓心角的關系、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．
【題型3 用圓心角、弧、弦的關系求線段長度】
【例3】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（ ）

A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，進而得到CD=2CG=8，再證明BE=CD，則BE=CD=8．
【詳解】解：如圖所示，連接OC，
∵點B是CD的中點，AB是⊙O的直徑，
∴AB⊥CD，BC=BD，
∴CD=2CG，
∵AB=10，
∴OC=OB=12AB=5，
∵BG=2，
∴OG=3，
在Rt△COG中，由勾股定理得CG=OC2?OG2=4，
∴CD=2CG=8，
∵點C是BE的中點，
∴BC=EC，
∴BC=EC=BD，
∴BE=CD，
∴BE=CD=8，
故選D．

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023秋·江蘇·九年級專題練習）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長為8，C為折疊后AB的中點，則OC長為（ ）

A．2B．3C．1D．2
【答案】C
【分析】延長OC交⊙O于點D，交AB于點E，連接OA、OB、AC、BC，根據(jù)圓心角、弧、弦、的關系由AC=BC得到AC=BC，可以判斷OC是AB的垂直平分線，則AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用點C和點D關于AB對稱得出CE=2，最后計算OE?CE即可得出答案．
【詳解】解：延長OC交⊙O于點D，交AB于點E，連接OA、OB、AC、BC，如圖，
∵C為折疊后AB的中點，
∴AC=BC，
∴AC=BC，
∵OA=OB，
∴OC是AB的垂直平分線，
∴AE=BE=12AB=4，
在Rt△AOE中，OE=OA2?AE2=52?42=3,
∴DE=OD?OE=5?3=2，
∵ADB沿AB折疊得到ACB，CD⊥AB，
∴點C和點D關于AB對稱，
∴CE=DE=2，
∴OC=OE?CE=3?2=1，
故選C
【點睛】本題主要考查了圖形的折疊變換，圓的對稱性，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系以及勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握圓的對稱性及折疊前后的對應關系．
【變式3-2】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點C是直徑AB的三等分點ACAB，
∴ABx2時，dx1>dx2B．當dx1>dx2時，x1>x2
C．當x1+x2=1時，dx1=dx2D．當x1=2x2時，dx1=2dx2
【答案】C
【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角的關系，即可求解．
【詳解】解：A、當x1>x2時，dx1可能大于dx2，故本選項不符合題意；
B、當dx1>dx2時，x1可能大于x2，故本選項不符合題意；
C、當x1+x2=1時，dx1=dx2，故本選項符合題意；
D、當x1=2x2時，dx1不一定等于2dx2，故本選項不符合題意；
故選：C
【點睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關系，熟練掌握弧、弦、圓心角的關系是解題的關鍵．
【題型8 利用圓心角、弧、弦的關系進行證明】
【例8】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點，DE⊥AB于E，求證：BD2?AD2=AB?AC．

【答案】見解析
【分析】在BA上截取BF=CA，連接DF，DC，由D為BAC的中點，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE?EF=BE?AE=CA，因此BD2?AD2=BE2?AE2=(BE+AE)(BE?AE)=AB·AC．
【詳解】證明：在BA上截取BF=CA，連接DF，DC，如圖，

∵D為BAC的中點，
∴DB=DC，∠DBF=∠ACD，
在△DBF,△DCA中，
DB=DC∠DBF=∠DCABF=CA，
∴△DBF≌△DCA(SAS)，
∴DF=DA，
∵DE⊥AB，
∴AE=EF，
∴BF=BE?EF=BE?AE=CA，
在Rt△BDE,Rt△ADE中，BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，
∴BD2?AD2=BE2?AE2=(BE+AE)(BE?AE)=AB·AC，即BD2?AD2=AB?AC．
【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．
【變式8-1】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點E，且AB=CD．求證：CE=BE．

【答案】見解析
【分析】由弧、弦、圓心角的關系進行證明，結(jié)合等角對等邊，即可得到結(jié)論成立．
【詳解】證明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB?BC=CD?BC，
即AC=BD，
∴∠B=∠C，
∴BE=CE；
【點睛】本題考查了弧、弦、圓心角的關系，解題的關鍵是掌握所學的知識進行證明．
【變式8-2】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在⊙O上依次取點B，A，C使BA=AC，連接AC，AB，BC，取AB的中點D，連接CD，在弦BC右側(cè)取點E，使2CE=AC，且CE∥AB，連接BE．

(1)求證：△DBC?△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的長．
【答案】(1)見解析
(2)47
【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明△DBC?△ECB；
（2）作DH⊥AC于點H，求出DC=47，再根據(jù)△DBC?△ECB得DE=CD,從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）∵BA=AC，
∴BA=CA，
∵2CE=AC，
∴BA=2CE，
∵D為AB的中點，
∴BA=2BD，
∴BD=CE，
∵CE∥AB，
∴∠DBC=∠ECB，
∵BC=BC，
∴△DBC?△ECB
（2）作DH⊥AC于點H，

∵BA=CA，
∴∠ACB=∠ABC=30°，∠DAH=∠ACB+∠ABC=60°.
∵BA=CA=8，
∴DA=4，HA=2，HC=HA+AC=10，HD=23，
在Rt△DHC中，DC=DH2+HC2=232+102=47
∵△DBC?△ECB，
∴BE=CD=47．
【點睛】本題主要考查了圓的有關概念，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關鍵．
【變式8-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點A、B、C、D是⊙O上的點，AD為直徑，AB∥OC．

(1)求證：點C平分BD．
(2)利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出AB的中點P（保留作圖痕跡）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接OB，因為AB∥OC，得到∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，又因為半徑相等，則∠OAB=∠OBA，即可證明點C平分BD；
（2）分別以A、B為圓心，大于12AB為半徑，畫弧交于一點，連接該點與圓心交AB于一點即為AB的中點P．
【詳解】（1）證明：如圖，連接OB，

∵OC∥AB，
∴∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠DOC=∠COB，
∴點C平分BD；
（2）解：如圖所示：點P為所求：

【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及基本作圖等知識內(nèi)容，正確掌握基本作圖的方法是解題的關鍵．
【題型9 利用圓心角、弧、弦的關系確定線段間的倍數(shù)關系】
【例9】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB為半圓的直徑．求作矩形MNPQ，使得點M，N在AB上，點P，Q在半圓上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)題意，先找到圓心O，過點O作OC⊥AB交⊙O于點C，然后在OC的兩側(cè)分別作正方形，則MN=2MQ，矩形MNPQ即為所求．
【詳解】解：如圖所示，
①過點O作OC⊥AB交⊙O于點C，
②作∠AOC,∠BOC的角平分線，交⊙O于點Q,P，
③作QM,PN垂直于AB，垂足分別為M,N，
則矩形MNPQ即為所求．
理由如下，∵OQ是∠AOC的角平分線，OD⊥AB，
∴∠AOQ=∠QOD=45°，
又MQ⊥AO
則△QMO是等腰直角三角形，四邊形QMOD是矩形，
∴QM=MO，則四邊形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形，
又MO=OD=ON
∴MN=2MQ．
【點睛】本題考查了作垂線，作角平分線，正方形的性質(zhì)，熟練掌握弧與圓心角的關系是解題的關鍵．
【變式9-1】（2023春·九年級課時練習）如圖，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于點D，比較大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【分析】過點O作OF⊥AB于點E，交⊙O于點F，根據(jù)
【詳解】解：如圖，過點O作OF⊥AB于點E，交⊙O于點F，
∴AF=BF，AE=12AB
∵ AB=2AC
∴∠AOF=∠AOC
∵AD⊥OC，AE⊥OE
∴AD=AE=12AB
即AB=2AD
故答案為：=
【點睛】本題考查了垂徑定理，角平分線的判定定理，等弧所對的圓心角相等，掌握垂徑定理是解題的關鍵．
【變式9-2】（2023?鐵嶺模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點O，則BC與AC的關系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能確定
【分析】連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=12OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD=12BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，
∵把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點O，
∴OD=12OE，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD=12BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴BC=12AC，
故選：A．
【變式9-3】（2023?長安區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC=3BC，則弦AC與弦BC的關系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【分析】如圖，過點O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，證明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，設CD＝CB＝x，則AD＝BD=2x，計算AC和BC的比可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點O作OD⊥AB，交AC于D，連接BD，OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=3BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
設CD＝CB＝x，則AD＝BD=2x，
∴BCAC=xx+2x=12+1，
∴AC＝（2+1）BC．
故選：C．
【題型10 利用圓心角、弧、弦的關系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點M，N在⊙O上，且點N是弧BM的中點，P是直徑AB上的一個動點，連接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度數(shù)為40°，則PM+PN的最小值為（ ）

A．10B．53C．52D．5
【答案】D
【分析】，作點N關于AB的對稱點C，連接MC,OC，當P點在MC上時，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值，進而根據(jù)圓心角與弧的關系可得△OMC是等邊三角形，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，作點N關于AB的對稱點C，連接MC,OC，當P點在MC上時，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值

∵BM的度數(shù)為40°，點N是弧BM的中點，
∴MC的度數(shù)為40°+12×40°=60°，
又OM=OC，
∴△OMC是等邊三角形，
∵AB=10
∴MC=OM=5，
故選：D．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，弧與圓心角的關系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握是解題的關鍵．
【變式10-1】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，AB是半圓O的直徑，半圓的半徑為4，點C，D在半圓上，OC⊥AB,BD=2CD，點P是OC上的一個動點，則BP+DP的最小值為 ．
【答案】43
【分析】依題意，作點D關于OC的對稱點為D1，連接BD1，BD1長即為BP+DP最小值；過點D1作D1Q⊥AB，構(gòu)造RtΔQD1B和RtΔQOD1進行對應線段求解；
【詳解】作點D關于OC的對稱點為D1，連接BD1，OD1；過點D1作D1Q⊥AB；
由題知，OC⊥AB，BD=2CD，∴BC=3CD，可得CD對應的圓心角∠COD=30°；
又點D關于OC的對稱點為D1，
∴∠COD1=30°，∠AOD1=60°，∴BD1長為BP+DP的最小值
在RtΔQOD1中，OD1=4，∴OQ=2，D1Q=23；
在RtΔQD1B中，BQ=OQ+OB=6，D1Q=23，∴BD1=62+(23)2=43；
故填：43；
【點睛】本題綜合性考查圓的對稱性及“將軍飲馬問題”的求解，關鍵在于熟練使用輔助線進行對應的直角三角形構(gòu)造進行計算；
【變式10-2】（2023·山東棗莊·九年級學業(yè)考試）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10cm，M是半圓AB的一個三等分點，N是半圓AB的一個六等分點，P是直徑AB上一動點，連接MP，NP，則MP+NP的最小值是 cm．
【答案】52
【分析】試題分析：作N關于AB的對稱點N′，連接M N′交AB于點P，則點P即為所求的點，再根據(jù)M是半圓AB的一個三等分點，N是半圓AB的一個六等分點可求出∠MO N′的值，再由勾股定理即可求出M N′的長．
【詳解】作N關于AB的對稱點N′，連接M N′交AB于點P，則點P即為所求的點，
∵M是半圓AB的一個三等分點，N是半圓AB的一個六等分點，
∴∠MOB= 180°3 =60°，∠BO N′ = 180°6 =30°，
∴∠MO N′ =90°，
∵AB=10，
∴OM=O N′ =5，
∴M N′ = OM2+ON′2=52+52=52，
即MP+NP的最小值是52 .
故答案為：52．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，圓心角、弧、弦的關系，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【變式10-3】（2023春·九年級課時練習）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點，若OB=2，則CE+DE長的最小值為 ．
【答案】22
【分析】如圖，作點D關于OB的對稱點D′，連接D′C交OB于點E′，連接OD′，利用軸對稱的性質(zhì)，得出當點E移動到點E'時，CE+DE長最小，此時的最小值為CD'的長度．
【詳解】如圖，作點D關于OB的對稱點D′，連接D′C交OB于點E′，連接OD′，
此時E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=OC2+OD'2=22，
故答案為22．
【點睛】本題考查與圓有關的計算，掌握軸對稱的性質(zhì)及圓心角與圓弧的關系是正確計算的前提，理解軸對稱解決路程最短問題是關鍵．

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